角标变量与范围集的关系表示形式及其应用

吴 炎

(海南热带海洋学院 a.学报编辑部；b.理学院，海南 三亚 572022)

0 引言

在科技论著中，不同的量之间的关系经常使用公式(用数学符号表示几个量之间的关系的式子[1])进行表示，譬如，自变量与因变量的关系，可用函数式进行表示；不同量之间的大小关系可用量之间的不等式进行表示；自变量与其范围的关系，可用自变量与表示其范围的集合的关系式，或自变量的不等式进行表示，等等。由于科技论著中表示量之间的公式以及构成公式的符号，广泛使用了量符号上附加的角标或角标变量，因此正确使用量符号上附加的角标或角标变量，直接影响到论著中公式的正确性与科学性，进而影响到论著的内涵质量。这不仅对于作者与编辑纠正论著错误内容并提升论著质量具有现实意义，对于高校相关学科教师指导学生论文写作、让学生从中受益具有重要的教育意义和价值。

由于在众多量和符号中绝大多数变量均为有具体物理含义的实体变量，故我们重点针对当前文献未曾论及的变量的角标变量与取值范围关系的表示形式及其在编辑加工中的应用问题进行了深入研究，主要给出了量(含实体变量)的角标变量、组合角标变量等定义，以及实体变量的角标变量与取值范围关系的规范表示形式，归纳了这类关系在公式中已经自明的常见类型，同时运用其表示形式、相关定义、专业知识和国家标准等，对深层次的角标变量与取值范围关系的错误表示公式进行识别和纠正，为作者修改论著以及编辑对科技论著中同类问题的编辑加工提供必要的纠错依据与方法技巧。

1角标变量与范围集关系的表示形式及相关问题

1.1角标变量和相关组合变量的定义

为了方便，本文除了使用量、变量外，仍用实体变量定义[11]34，使用几个常见数集记号：+、、、、、分别表示正整数集、非负整数集、整数集、有理数集、实数集和复数集[13]；并且记(n)={0,1,…，n}和={1,2,…，n}。

1.1.1量的角标变量和实标组合变量

定义1(角标变量和实标组合变量)把位于量符号的左上、下角或右上、下角位置的，在可数集或不可数集的非空子集范围内取值变化的变量称为量的角标变量。角标变量的取值范围也称为角标变量的范围集。把一个角标变量α作为另一个实体变量(或变量)Q的角标而构成的新的变量(如αQ，或αQ，Qα，Qα)，叫做实标组合变量(或量标组合变量)。

注意2这里所谓的可数集就是与正整数集对等的集合(即能与正整数集建立起一一对应关系的集合)[15]20，不能与正整数集对等的集合都称为不可数集[15]20。譬如，数集+、、、等都是由数组成的可数集[15]21；而、和n(n∈+)以及实数区间(a,b)(a≠b)等都是由数组成的不可数集[15]21。由非数的对象为元素构成的可数或不可数集也数不胜数，如地球上某一民族所有成员构成的集合是可数集，地球上所有水分子构成的集合是不可数集，如此等等。

1.1.2角标变量符号常用字母

余梦生在对国家标准的解读中指出“当量的下标所表示的是物理量的符号时，则同物理量的符号一样，仍用斜体……当下标为表示数字(含连续数)的字母时，则用斜体字母”[6]。因此，除了特殊规定外，单个角标变量一般使用斜体字母，且使用小写字母较多，如i、j、k、m、n、α等；但在特殊情况下，也常使用大写斜体字母或其他符号，譬如，欧氏空间n(n∈+)中含某一给定点P的开邻域Up(⊂n)[15]42，角标变量P用大写斜体字母表示。

1.1.3组合角标变量

定义2(组合角标变量)角标变量与另外的角标(含所有作为角标的变量，如角标变量、实体变量等，以及非变量的角标符号、字母等)构成的新的角标变量，称为组合角标变量。在这里，角标变量与角标变量构成的、实体变量与角标变量构成的新的角标变量，可分别叫做标标组合的角标变量和实标组合的角标变量。

例1在矩阵A=(aij)n×n(n∈中，实体变量aij(A中第i行第j列元素)的角标变量ij是由角标变量i与角标变量j构成的组合角标变量，i和j的范围集都是

例3复数域(或实数域)上所有m×n矩阵(m,n∈+)构成的向量空间m×n(或m×n)中，上角标m×n就是由变量m与n构成的组合角标变量(注意m×n不是或的指数)，m与n的取值范围均为+。

再如，为了进行矩阵运算和证明，经常把给定的矩阵进行分块。

例4假设把n阶方阵A分块为

1.2角标变量与范围集关系的表示形式

由定义1可知，角标变量的范围集可以是不可数集、可数集或有限集。因此下面根据国家相关标准、专业知识和表示集合的字母与符号[13]，对角标变量与范围集关系的表示问题进行讨论，给出如下规范的表示形式，为作者和编辑在科技论著的修改工作中识别相关错误提供方便。

1.2.1元素与集合关系的表示形式

无论角标变量α的范围集M是可数集、不可数集还是有限集，角标变量α与范围集M的关系都可以使用元素与集合的关系进行表示：α∈M。

在许多研究领域中，上述表示形式常用于角标变量的范围集为不可数集的情形。

例5假设角标变量β的范围集B为非数组成的不可数集(可数集或有限集类似处理)，且B与对等。于是可通过映射方法把B中的元素进行编码进而可用编码来代替B中元素，如令xB(编码)表示B中与中实数x一一对应的元素，则B可写成B={xB|x∈}，于是角标变量β与范围集B的关系也可表示为β∈{xB|x∈}。

例6[16]设G是实数域上所有n阶可逆矩阵做成的群(不可数集)，构作G到G的一类变换组成的集合：H={τX|x∈G,τX:G→G,A→XA=τX(A)}，则按照映射合成(变换乘法)法则有τXY(A)=(XY)A=X(YA)=τXτY(A)(∀X,Y∈G)也是G到G的变换，即τXY∈H，其中由于G是群必有XY∈G。这时，τXY可以看作是组合角标变量XY确定的变换。因此，变换τXY的角标变量XY与范围集的关系可表示为XY∈G。

1.2.2不等式表示形式

当角标变量的范围集是由数构成的、元素可比较大小的可数集或不可数集或有限集(如有理数集、整数集及其子集，实数集及其子集等)时，则角标变量与范围集的关系均可使用该变量与其范围集中元素的不等式进行表示，而且这种表示形式比较直观也经常在科技论著中被使用。但由数构成的、元素不可比较大小的数集(如复数集及其子集)，不能使用不等式表示形式。

下面以实体变量的2个角标变量α、β(不一定是整数)为例，归纳出角标变量α(或β)与其范围集M(或H)关系的不等式表示形式(单个以及多个角标变量与此类似)。

(i)假设M的上界和下界分别为m1、m2，H的最大、最小值分别为h1、h2，当m1,m2∈M时，则角标变量α(或β)与范围集M(或H)的关系可表示为

m1≤α≤m2(或h1≤β≤h2)。

(1)

当M=H(必有m1=h1，m2=h2)时，式(1)中两个关系可统一表示为m1≤α，β≤m2；当α、β的最小取值(m1=h1)自明时，式(1)中两个关系也可统一表示为α,β≤m2。当m1∉M,m2∈M或m1∈M,m2∉M时，则α与M的关系可分别表示为m1<α≤m2或m1≤α

注意3当M≠H时，如M={x∈| 2≤x≤6}，H={y∈| 2≤y≤6},上面两个不等式有完全不同的意义，2≤α≤6(α∈)与2≤β≤6(β∈)为不同的不等式；且不能写成2≤α,β≤6。

(ii)设M、H的下界分别为m1(∈M)、h1(∉H)，且均无上界，则α(或β)与M(或H)的关系可表示为m1≤α<+∞(或h1<β<+∞)。其他情形类似讨论。

当M=H且m1=h1∉M时，以上两个不等式可统一表示为m1<α,β<+∞。

(iii)假设M和H均为无上、下界的无限集，则α(或β)与其范围集M(或H)的关系可表示为

-∞<α<+∞(或-∞<β<+∞)。

当M=H时，以上两个不等式关系可统一表示为-∞<α,β<+∞。

注意4当M≠H(如M=,H=)时，上面两个不等式也赋予完全不同的意义。

例7[15]8设α∈,Aα={x∈|α-1

1.2.3等式表示形式

角标变量与范围集中元素的等式关系(关系存在的条件下)由于其表示形式直观、明了，因此这种表示形式在科技论著中经常使用。

(i)范围集为非数的对象组成的可数集或有限集

当角标变量α和β的范围集分别为非数构成的可数集A和有限集B时，由于可数集A与正整数集+对等，有限集B与+的有限子集对等，故可以通过一一对应把A(或B)中的元素进行编码并用编码来代替其中的元素，若用kA(或lB)表示A(或B)中与+(或中整数k(或整数l)一一对应的元素，则A又可表示为A={kA|k∈+}，B可表示为故α(或β)与A(或B)中元素的等式表示形式为

α=1A,2A,…，nA,…(或β=1B,2B,…,tB)。

当然上述关系也可用元素与集合的关系进行表示：α∈{kA|k∈+}(或

注意5若是A(或B)中元素不经编码转化，则上述等式表示形式不能使用。

(ii)范围集是由数组成的可数集或有限集

设角标变量α和β的范围集分别为N1和N2，且N1和N2均为由数组成的可数集(或有限集)，则α(或β)与范围集N1(或N2)中元素的关系可用等式形式表示(单个以及多个角标变量与此类似)。

1)范围集为可数集时的等式表示形式

第一，假设N1={n1,n2,…，nk,…}，N2={m1,m2,…，mk,…}(k∈+；n1和m1分别为α、β的最小取值)，则α(或β)与其范围集关系的等式表示形式为

α=n1,n2,…，nk,…(或β=m1,m2,…,mk,…)。

当nk=mk(k∈+)时，上述两个等式表示形式可统一表示为α，β=n1,n2,…，nk,…。

第二，若是范围集N1和N2均无下界(均与正整数集对等)，则可使用映射编码方法转化为(i)中情形的等式关系进行表示。

2)范围集为有限集时的等式表示形式

假设N1={n1,n2,…，nk}和N2={m1,m2,…，ml}(其中：k,l∈+；n1和m1分别为α、β的最小取值；nk和ml分别为α、β的最大取值)，则α(或β)与其范围集N1(或N2)中元素关系的等式表示形式为

α=n1,n2,…，nk(或β=m1,m2,…,ml)。

当k=l,ni=mi(i=1,2,…，k)时，上述两个等式关系表示形式可统一表示为α,β=n1,n2,…nk。

其他表示形式均为以上形式的特殊情形，或为上述几种情况的综合或推广形式。

2角标变量与范围集关系表示形式的应用

在许多科技论著使用到的公式中，经常出现角标变量与范围集关系缺失的问题或范围集不明的错误问题，主要原因是，作者未经审核而直接引用其他作者文献中这类关系缺失或不明的公式，或认为论文中角标变量的范围集是大家熟悉的数集或数集的有限子集而把角标变量与范围集关系忽略不写，致使论文出现可读性障碍甚至错误。这类缺失问题实际上类似于文献[11]中序数变量范围集的缺失问题[11]34，已由文献[11]做了讨论。以下主要考虑在科技论著的审、编、校工作中，对于角标变量与范围集关系并未缺失的深层次问题，如何应用角标变量与范围集关系的表示形式对其错误进行识别和纠正。

2.1角标变量与范围集关系自明问题的识别

对于量的角标变量与范围集的关系既无缺失又不自明的深层次问题，作者或编辑如何在论著的修改加工或审读工作中及时发现这类关系式存在错误，是论著修改中确保其科学性与可读性的重要环节。下面我们以科技论文的审、编、校工作中发现的一些典型错误为范例，分析其错误原因并对错误类型进行归类，指出修改的方法与技巧以供读者与编辑参考。

2.2错用元素与集合关系的表示形式

例9[19]72(文献[19]给出的为修改后的正确形式)假设V={V1,V2,…,Vn}(n≥4)是空间3上的一个点集，并且记ω(p1,p2)为3中点p1与点p2间的垂直平分面，设P为空间3上的点，从而定义新的一个点集

(2)

分析与纠错在对式(2)的审读中，我们发现第一个大括号中的关系i∈n-2可能有误。因为根据涉及i,n,n-2的前后内容和说明，可知文章中i,n,n-2均表示正整数，故i与n-2的关系只能为整数之间的关系，不能为元素与集合关系，故式(2)右边第一个大括号中错用了角标变量i与范围集的关系式i∈n-2，此时在i的下限自明且为1的情况下，经与作者确定后把i∈n-2改为i≤n-2。

2.3元素与集合关系中错用集合符号

例10[19]73(文献[19]给出的为修改后的正确形式)Q(n)依照例9中定义给定，设ω(M,Vi)为中心离散点M与外围离散点Vi间的垂直平分面，对于∀i,j,k∈n，若li=ω(M,Vi)∩ω(M,Vj)，lj=ω(M,Vj)∩ω(M,Vk)都存在，则可定义点集

R(n)={ω(M,Vi)∩ω(M,Vj)∩ω(M,Vk)|∀i,j,k∈n,i≠j≠k}。

(3)

分析与纠错经对式(3)前后内容的审读与分析，发现式(3)及前面的关系式∀i,j,k∈n可能有误，因为由整篇文章内容和说明可知i,j,k,n均表示正整数。但是，关系式∀i,j,k∈n要说明的应是角标变量i,j,k在各自范围集中取值，此关系应为i、j、k与各自范围集的关系，因此，依据集合符号正确使用问题[13]，可断定式(3)前和式(3)中出现的关系式∀i,j,k∈n及符号n都是错误的，经与作者确定：将此关系式∀i,j,k∈n中的n都改为即可。

2.4组合角标变量与范围集关系的深层次错误

例11[20](文献[20]给出的为修改后的正确形式)对车辆动力学非线性模型……，进行线性化和离散化处理后得到线性离散化模型……，其中：Ak=Im+AT,Bk=BT,T为采样时间矩阵，Im为单位矩阵，k∈+。……再将得到的线性离散化模型的离散状态量与控制量组合为新的状态量后得到车辆动力学状态空间方程为……，其中：

X=P(Xij)P-1,

(4)

其中：式(4)中的X11=Δ11,X13=Δ13,X31=Δ31,X33=Δ33是被其他矩阵所确定的矩阵，而式(4)中矩阵Xij(其中(i,j)∈{(i,j)|(i,j)≠(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(3,4);i,j=1,2,3,4})为自由变量矩阵。

分析与纠错在对式(4)中各分块矩阵Xij及其角标变量与范围集关系的审、校中，根据已被确定的矩阵Δ11，Δ13,Δ31,Δ33的具体形式，直观上发现式(4)中未被其他矩阵确定的块矩阵都是自由变量矩阵Xij，其中(i,j)≠(1,1),(1,3),(3,1),(3,3)。但已知的自由变量矩阵Xij的角标变量对(i,j)的范围集却把X34的角标对(3,4)排除在外，使得X34既不是自由变量矩阵又不是被确定的矩阵。因此矩阵Xij的角标变量对的范围集可能存在错误。故在与作者沟通后确定：式(4)中自由变量矩阵Xij的角标变量对的范围集把(3，4)排除是错误的，于是将以上角标变量对与范围集关系改为

(i,j)∈{(i,j)|(i,j)≠(1,1),(1,3),(3,1),(3,3);i,j=1,2,3,4}

即可。

以上范例分析告诉我们，在对复杂的公式及其相关变量关系的审、校工作中，编校人员必须根据题目中涉及对象的定义、前后所满足的条件以及所含关系来进行分析，才能更好地对复杂关系式及其所含变量范围是否存在错误做出正确的判断。

3结论

本文通过研究角标变量与其范围集关系并未缺失的问题，得到了如下结论。

1)给出了识别角标变量与其范围集关系是否正确的重要理论依据：变量与角标变量构成的组合变量、角标变量与自身或其他符号(含变量)构成的组合角标变量等定义，不同情况下的变量(或实体变量)的角标变量与其范围集关系的规范表示形式。而这些表示形式中，既有容易被受众接受的等式、不等式、元素与集合关系的表示形式，也有理论性较强的、必须利用一一映射进行转化才能得到的表示形式。

2)通过实例分析了公式中角标变量与其范围集的关系已经自明的情况，并给出了这类关系已经自明的常见类型。

3)依据国家标准、专业知识和1)中所给的理论依据，分析编校实务工作中角标变量与其范围集关系的深层次错误产生的原因，归纳了错误的类型并给出了纠错方法。

以上结果既为科技论著的作者、编校人员修改论著中涉及角标变量与其范围集关系的错误问题提供纠错依据、方法与技巧，也为作者提高论著的出版质量起着重要的作用。