由磁矩计算磁场强度的公式在航天器磁矩测量中的应用

张新邦，陈德祥，王东盛，冯强涛

（1. 北京控制工程研究所，北京 100190； 2. 中国科学院 光电技术研究所，成都 610207）

0 引言

磁学中关于磁场的生成和磁场强度的计算公式有多种论述：1）认为磁场由磁荷产生，应用磁库仑定律计算磁荷产生的磁场强度。提出磁偶极子由一对等量异号的点磁荷±组成，两个点磁荷之间距离为，偶极子的磁矩=。2）认为磁场由电流产生，应用毕奥-萨伐尔定律计算电流产生的磁场强度。提出电流环生成磁矩=，其中是通过的电流，是环的面积。这两种论述中的磁矩模型完全不一样：偶极子模型中没有横截面积，电流环模型中没有长度。两模型对近场的计算结果相差甚远，但对远场计算出的场强却十分一致。于是以此为基础将前两种观点结合延伸，整理得到由磁矩计算磁场强度的公式。在由磁矩的偶极子模型和电流环模型推导此公式时，文献[3]的推导过程烦琐低效，文献[4]内有其简洁漂亮的推导过程，但其推导目的只是为了说明两个模型在远距离处得到的磁场强度完全相同，没有进一步的拓展论述。

航天器磁特性试验研究中一个重要内容是通过测量磁场强度间接获知航天器本体磁矩，现已形成有效的磁试验规范。目前常用的方法有偶极子法、赤道作图法和球面作图法3 种。偶极子法是将卫星看作磁偶极子，此法简单，适用于对准确度要求不高的场合。赤道作图法采用多极子模型，应用单轴转台使卫星处于水平旋转状态，在卫星赤道平面上测量磁场强度，计算得到卫星磁矩。球面作图法是在卫星球坐标系中，由磁位函数的球谐分析得到磁矩的基本方程，测量中应用二轴转台测量包围卫星的某个球面上的磁场强度，计算得到卫星磁矩。赤道作图法和球面作图法可以得到较高测量精度（误差＜4%）的数据，但数据处理过程比较复杂，需要专家参与。

为探索航天器内部多磁源情况下更为简便的磁测量新方法，本文提出新球面作图法，即将磁矩计算磁场强度的公式与球面作图法相结合，根据测得的点磁场强度计算得到航天器磁矩，并进行仿真计算以验证该方法的有效性。

1 由磁矩计算磁场强度的公式

图1 由磁矩求磁场强度示意[3]Fig. 1 Schematic diagram of magnetic field intensity calculated by magnetic moment[3]

当物体（磁矩载体）的尺寸相对于物体到点的距离是小量（距离大于物体尺寸6 倍）时，则有

式中为距离，m。

式(1)内的磁场强度与距离的立方成反比下降，即符合立方反比定律，所以又简称其为反立方公式。

2 反立方公式的一般工程应用

对于满足磁矩载体尺寸相对于载体到测点距离是小量的磁源称之为点磁源，不满足的称为体磁源。反立方公式描述了点磁源与外部磁场强度的关系，因此当点磁源和测点的位置已知，则由磁矩可计算出测点磁场强度，也可由测点磁场强度计算出磁矩。

对于体磁源，处理方法是将其分割成许多尺寸足够小的符合点磁源要求的单元，对每个小单元应用反立方公式，调用由点磁源磁矩求磁场强度的子程序，然后将全部小单元的结果相加得到测点的磁场强度。关键是需要磁源体内磁化强度分布规律（如均匀磁化或磁化强度以某曲线分布）已知，这样才能计算出各小单元磁矩（一般情况下可近似认为是均匀磁化）。反之，已知测点磁场强度、体磁源磁化强度分布规律，在上面成果的基础上，可以计算出体磁源的磁矩。理论上在磁化强度分布规律已知情况下，只需要一个测点的磁场强度数据就可以计算出体磁源磁矩。

因此，体磁源内磁化强度分布规律是关键。由均匀介质组成的球形体是均匀磁化；细长圆柱体不是均匀磁化，但在圆柱体的长度与直径之比不大时，可近似为均匀磁化。下面讨论圆柱体长度与直径之比较大时的情况。

先假设细长圆柱体（简称为“磁棒”）均匀磁化，应用基于反立方公式的体磁源求外部磁场强度方法，得到外部磁场强度分布数据。再将磁棒相等于同样长度的偶极子，应用磁库仑定律计算得到外部的场强分布数据。若这两个结果完全一样，则说明偶极子模型中的磁棒是均匀磁化。

但近距离测量证明偶极子模型不正确，即磁棒不是均匀磁化，尤其在圆柱体长度与直径的比值较大情况下更是如此，因此需要研究其磁化强度曲线。张新邦等对此进行了研究：以某磁力矩器为例，坡莫合金（各向同性）为磁介质的圆柱体长0.8 m，直径0.02 m，磁化率10 000，线圈产生磁场强度为300 A/m（轴向）；将圆柱体横切成80 等分，得到81 个截面，计算得到各截面的磁化强度（见图2），进而得出总磁矩为24 A·m。

图2 细长圆柱体磁化强度曲线[8]Fig. 2 Magnetization curve of slender cylinder[8]

工程上可将图2 中曲线近似为余弦曲线，将实际磁化强度分成2 部分：一部分是直线（均匀磁化部分），其高度为；另一部分是余弦曲线（非均匀磁化部分），余弦曲线的幅值为。当比值=/很小，表示非均匀磁化程度高，值大说明非均匀磁化程度低。如值已知，应用反立方公式求其磁矩时只需要1 个外部测点数据。

3 反立方公式在航天器磁测量中的应用

进行航天器磁测量时，如能远距离得到其磁场强度的准确测量值，则可将其视为点磁源，直接根据测量值反演计算得到磁矩值；如果是近距离测量且被测部件磁特性已知（如磁力矩器），则不用转台，由测量值可计算出磁矩；如是近距离测量且航天器磁特性未知，则需要二轴转台，应用基于反立方公式的球面作图法（或称为新球面作图法）得到磁矩值。以下以卫星为例具体说明，将其视为非均匀磁化的球体。

3.1 多磁源情况

对多磁源的分析可分2 种情况。若清楚卫星内部结构，包括各磁源的坐标及大小形状等，可在卫星周边安装多个磁强计，磁强计数目大于或等于磁源数目。设各磁源的磁矩为未知数，根据每个磁强计实际测量值等于接收的各个磁源信息的总和，以此建立方程组并求解即可。注意得到的可能是病态方程组，应采用较多的磁强计和应用最小二乘法以减小误差。若不清楚卫星内部结构，则应用新球面作图法解决。

3.2 新球面作图法

新球面作图法是指，在数据采集过程应用球面作图法思路，数据处理过程应用反立方公式的对点磁源求磁矩方法，数据处理简单方便，易于推广应用。如图3 所示，坐标系内半径为的大球是测量球面，半径为的小球是卫星本体；卫星本身是黑盒子，不知其内部结构。

图3 新球面作图法示意Fig. 3 Schematic diagram of the new spherical mapping method

设卫星总磁矩为。在大球面上均匀布置个磁场强度测量点，各点测量值为B(=1, 2, …,)。计算卫星磁矩时假设卫星为点磁矩，位置在坐标原点，于是根据测量值B可计算出相应的卫星磁矩m，个测量点对应有个m值。当测量点数目

其中积分曲面为测量球面，为测量球面的面积。

下面通过仿真算例作进一步说明，并对误差进行分析。

先假设卫星内部只在点处有点磁矩m（见图4）。

图4 新球面作图法应用示意图Fig. 4 Schematic diagram of application of the new spherical mapping method

将测量球面分成面积大小基本相等的个小块，其中某块内有测点，此块面积为d。

根据反立方公式可以：

1）由m计算出点的磁场强度B；

2）由B计算出卫星磁矩m（m与m有很大的差别）；

3）根据式(3)在测量球面对m求均值得到卫星磁矩。

以上的运算过程都是线性关系。因为m的位置和点位置都已知，则有=Cm，其中为3 阶方阵，里面元素都是常数，即m和是线性关系，同样m和也是线性关系，于是m和是线性关系。

定义磁矩计算的相对误差

设测量球面半径=1 m，卫星半径= 0.5 m；点p(=,,)位于距坐标原点最远处，分别为、、轴与卫星球面的3 个交点。

对测量球面分割成块，m(=,,)的值分别取3 个单位矢量，于是应用式(4)得到9 个磁矩计算值的相对误差，取其中最大值w。当m取其他值，则是3 个单位矢量的叠加，应用式(3)得到的相对误差由于叠加原理也小于w。卫星体内其他任意点与原点的距离都不大于，所以其他点的计算误差也小于w。

再假设卫星体内有众多的点磁矩m，由于各m与其对应的计算均值同样是线性关系，应用叠加原理，所有点磁矩组合后的计算误差也小于w，即应用新球面作图法的计算误差小于w（忽略了敏感器测量误差等其他因素）。

在卫星实体和测量球面确定后，计算误差w主要与测点数有关，按照上面条件进行计算，结果如表1 所示。可见：随着测点数的增大，误差越来越小；当趋于无穷大则误差趋于0。

表1 测点数与相对误差Table 1 Number of measuring points vs. relative error

按照上述方法，对卫星内部有3 个点磁矩的情况进行仿真计算。其中，磁矩的单位为A·m，位置的单位为m。设3 个点磁矩值分别为m=[10,0, 0]，m=[0, 15, 0]，m=[0, 0, 20]；位置分别为=[0.5, 0, 0]，=[ 0, 0.5, 0]，=[ 0, 0, 0.5]；卫星实际总磁矩=[10, 15, 20]。应用新球面作图法，测点数取60，计算得到卫星磁矩=[9.98, 14.91,20.41]；计算误差w=1.6%。

3.3 新球面作图法小结

1）新球面作图法需要测量包围卫星的某个球面上磁场强度。设半径为大球是测量球面，半径为小球是卫星实体；=/，一般要求≥2，因为越大计算误差越小。但的增大会使测点信号减弱，所以需要有一个合适的值。

2）测量中需要测点是均匀分布，由于无法在球面布置完全均匀的测量点，所以将测量球面分成许多（个）面积相等或相近的小块，设某小块的面积d，小块上有一个测量点，其测量计算得到磁矩为，对与d的积求和，再除以测量球面积即为卫星磁矩。

3）在和确定后，计算误差w随着测点数的增加而减小，若趋于无穷大则w趋于0。

4 结束语

由磁矩计算磁场强度的反立方公式直接描述了磁场强度与磁矩间的关系，与球面作图法结合，为航天器磁试验中的本体磁矩测量等工作提供了一种易于推广的新方法。

1）反立方公式描述了点磁源与外部磁场强度的关系。对于体磁源可将其分割成许多小单元，然后对每个小单元按点磁源处理。关键是需要磁源体内磁化强度分布规律，一般情况下可近似认为体磁源是均匀磁化。

2）细长圆柱体（如磁力矩器）是一类特殊的体磁源，当圆柱体长度与直径之比较大时，其体内非均匀磁化现象明显，工程上可将其非均匀磁化部分的磁化强度曲线近似为余弦曲线。

3）测量卫星磁矩时，若清楚卫星内部结构（包括内部各磁源坐标及大小形状等），可在卫星周边安装多个磁强计，建立磁强计测量值与卫星内部各磁源信息的方程组并求解即可。

4）若不清楚卫星内部结构，可应用新球面作图法，即在采集数据时应用球面作图法的思路，在数据处理时应用基于反立方公式的由场强计算点磁矩方法，计算出本体磁矩。在测量点数≥30 时，相对误差≤4%。