小学生数学抽象素养发展的教学逻辑

秦静

摘 要 数学抽象是数学的基本思想之一，培养儿童数学抽象素养是实现儿童品格提升和素养发展的逻辑进路。小学数学教学应遵循学科特点和儿童认知规律，沿着培养儿童数学抽象素养的学科路径，充分挖掘数学课程的育人功能，采取有效的教学逻辑：借助直观感知，促进学生抽象数学意识的萌发;经历数学活动，夯实学生数学抽象素养的根基;遵循规律，舒展数学抽象素养的枝叶，让育人为本的学科教育理念落地生根。

关  键  词 数学抽象素养 直观感知 经历过程 遵循规律

引用格式 秦靜.小学生数学抽象素养发展的教学逻辑[J].教学与管理，2022（11）：39-42.

史宁中教授认为，“会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”是基础教育阶段数学教育的终极目标，是每一个学段都应该关注的数学教育目标。数学抽象是数学的基本思想，通过数学教育可以发展学生的抽象思维能力，促进学生数学抽象素养的生成。

小学数学教学应当正确把握数学的基本特征，遵循儿童的认知规律，充分挖掘课程内容本身所具有的促进儿童抽象思维能力发展的育人功能，采取有效的教学逻辑策略，实现儿童的品格提升和素养发展，落实育人为本的学科教育理念。

一、直观感知——以儿童立场埋下数学抽象素养的种子

儿童的思维特点是以具体形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维过度，其思维的发展很大程度上依赖直观和感性经验。加强直观教学，化静态的数学知识为动态的数学活动，强化观察感知，丰富感性体验，才能更好地帮助儿童形成表象，促进数学抽象意识的萌发。

1.设置情境，触及内核，夯实抽象思维基础

费赖登塔尔认为，数学教育不能采用向学生硬性嵌入抽象概念的方式进行，良好的数学情境是数学概念教学的前提。设置富有趣味性和思考性的现实情境，让学生在可感可知的数学活动中，实现对具体材料的感知和识别，发现隐藏在具体情境或感性材料背后的数学属性，激活认知关联，为分类、抽象、归纳、概括概念和规律夯实抽象思维基础。

例如，教学“认识百分数”时，对于学生来说，百分数意义是比较抽象的概念。因此，笔者在教学中化静为动，将静态的文本素材设置为动态的现实生活情境：以学校篮球队教练王老师要对学校篮球队参加的三场比赛的投篮情况进行分析，由此提出问题：可以怎样比较这三场比赛的投篮情况？活动情境提供了三场比赛的数据信息，围绕问题，学生根据自己的思考和判断进行交流讨论，呈现个性化的比较分析方法，在交流碰撞中大家统一了思想：由于三场比赛的投篮次数并不相同，先算出每场比赛投中次数占投篮次数的几分之几，再转化成分母是100的分数更方便比较。

比较中，学生结合具体情境获得了百分数意义的体验，感悟了百分数的本源之理，为之后的抽象、归纳、概括百分数意义提供了充分的思维基础。

2.操作启思，内化体验，感悟数学内在本质

操作是儿童获得数学直观体验的有效途径。心理学研究表明，通过学生亲身操作探索，更能把已知的真理变成自己的真知。数学教学中，要加强动手操作，促进知识的内化体验，感悟数学的内部本质，用丰富的直观体验支撑起学生的抽象思维发生，实现直观到抽象的思维跨越。

例如，教学“两位数加两位数（不进位）”时，出示45+31。教学前，先组织学生试算，很多学生一口就报出了答案，但当教师问这里的5加1、4加3各表示什么呢？为什么可以这样算呢？学生就不知道了。为此，笔者在教学中强化了学生对学具的操作，让学生重新经历摆小棒的过程，获得捆和捆相加、根和根相加的直观体验，再让学生在计数器上拨一拨，初步获得“相同数位上的数相加”的方法感悟，在逐步抽象的物化操作中引导学生体会4和3相加就是把4个十和3个十相加，5和1相加，就是把5个一和1个一相加的道理。教学竖式计算时，充分勾连摆小棒和拨数珠的操作感悟，帮助学生从数学层面抽象出加法的计算法则和方法。

通过操作，将抽象的数的运算转化为直观的物化动作，让学生在动态抽象的层面上充分感悟计算的方法和算理，形成两位数加两位数计算方法的动作表象，一方面夯实了计算的思维过程，另一方面厘清了方法背后的内涵，促进了法则的归纳抽象和理解运用。

3.技术支撑，展开想象，助推抽象思维萌发

信息技术与学科教学融合后，形象生动的多媒体演示可以演绎数学抽象的想象空间，赋予静态的数学知识以动态的发展过程，激发学生展开直观想象和学习兴趣，催生学生更深层次的数学思考，助推数学抽象思维的萌发。

例如，教学“认识圆柱和圆锥”，在“我会做圆柱”的活动中，教师给出一个长方形，让学生做出一个圆柱，在学生一头雾水之际，教师提示从想象、运动的角度展开思考，学生尝试操作后，教师运用多媒体技术进一步进行生动直观的动态演示，长方形沿着长或宽旋转一周所形成的运动轨迹，清晰直观地展现在学生的眼前，所形成的两种不同的圆柱体呼之欲出，学生自然地进入对圆柱的深度思考。

可见，多媒体信息技术激发了学生对空间形式和空间关系的想象，在助推深度抽象思维萌发的同时，也唤醒了学生对数学之美的遐想与热爱。

二、经历过程——以理性思考夯实数学抽象素养的根基

数学抽象是一个去“背景”寻“本质”的思维过程，只有让儿童充分经历由“现实具体”到“理性抽象”的数学化过程，经历不同层次的数学抽象，建立符号意识、建构数学模型、聚焦理性思考，才能逐步形成数学抽象的思维模式，提升数学抽象思维的品质。

1.着意抽象表征，形成符号意识

建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的主要形式。教学中，教师要着意鼓励学生对现实情境中的数学问题进行抽象表征，坚持长期渗透，形成符号意识。

例如，一年级学生要解决这样的一个问题：“日落西山晚霞红，我把小鸡赶进笼，一半小鸡进了笼，5只小鸡在吃虫，还有5只围着我，叽叽喳喳闹轰轰。”请你算一算，共有几只小鸡？这是一个富有儿童情趣的现实情境，对于一年级的学生来说，要从具有丰富背景的现实问题中抽象出数量关系，显然是比较困难的。于是，笔者在指导学生读懂题意后，鼓励他们用简洁的符号画出问题中的情境，受到直观图示的启发，学生很快厘清了思路，找到了解决问题的方法。在组织学生交流思考结论的时候，笔者特意引导学生展开讨论：为什么画图以后，大家能很快地找到解决问题的方法。学生们纷纷发表意见：“看着图好理解，一下子就能看出答案。”

个性化的符号表示能够更加直观清楚地表示出复杂情境中的数量关系。坚持在教学中让学生经历“具体事物—个性化的符号表示—数学地表示”的抽象过程，笔者发现学生的思维就会逐步地烙上“数学”的烙印，自觉地运用数学表征去分析和解决问题。

2.设计进阶活动，激发逻辑思维

儿童数学抽象素养的发展离不开数学逻辑，需要在数学活动中融合生成。比格斯曾说“小学儿童数学能力习得的速度，比我们想象的慢得多，他们要通过实际活动才能掌握具体概念，进而学习抽象。”因此，教师要为学生设计层层递进的数学学习活动，在数学抽象的不断进阶中，激发学生的逻辑思维，推进学生的数学理性思考。

例如，教学“和的奇偶性”一课，笔者设计了三个层次的数学活动：

活动一：判断下面算式的和是奇数还是偶数，1+2、1+2+3、1+2+3+4、1+2+3+4+…+98+99

活动二：探索两个数的和的奇偶性。要求：任意选择2个不为0的自然数，求出它们的和，再判断和是奇数还是偶数，并尝试解释奇偶性背后的数学原理。

活动三：探索几个数的和的奇偶性。要求：任意选择几个不为0的自然数，写成连加的算式，判断它们的和是奇数还是偶数，并尝试表达你所发现的规律。

三个层次的数学活动层层进阶、逻辑推进，活动一从具体的数学问题出发，激活学生对和的奇偶性的内在探究动机;活动二和活动三遵循由简单到复杂、由特殊到一般的科学探究原则，组织学生开展自主探究活动，活动二在让学生初步探索规律的同时追问奇偶性背后的本源，为活动三的推理埋下了种子，学生便在头脑中主动展开对三个数、四个数相加的和的奇偶性的联想。再通过活动三的进一步探究，一一列举4个数相加、5个数相加、6个数相加……的情况，经过“枚举归纳”发现：偶数的增加不影响和的奇偶性，和的奇偶性与算式中奇数的个数密切相关，由此进行合情推理，概括归纳出规律。整个教学过程，学生从特殊想起，进而探究发现一般化结论，达到了质的学习，不仅涵养了学生的数学眼光，也激发了他们运用数学思维去解释世界的数学自觉。

3.建构数学模型，学会数学表达

数学模型的本质要义是从复杂的现实问题或情境中抽象出具有普适意义的数学模型，进而运用模型解决实际问题。教学中，教师一方面要引导学生从具体到抽象建立数学化的模型;另一方面还要指导学生运用数学模型解决实际问题，培育他们用数学的语言表达世界的意识。

例如：“间隔排列”是苏教版《数学》三年级上册的“综合与实践”活动，教材以小兔子在草坪上做游戏的情境作为现实题材，引导学生探索草坪上的小兔和蘑菇、木桩和篱笆、夹子和手帕的排列规律，进而将两种物体用数学图形符号□和○进行表征，引导学生结合一一对应的思想从具体到一般、从有限到无限抽象概括出间隔排列的三种模型。教材止于此，但模型的建构还需继续。教学时，笔者进一步引导学生推广运用模型，学生根据模型规律在头脑中搜索与此相关的生活情境并解释应用。比如，教室里桌子和椅子的排列、黑板报花边红花与黄花的排列、同学们做课间操站队、把一根木料锯成几段……

可见，从“建构模型”到“模型推广”的过程，是制造了一个属于学生自己的认知“匣子”，在横向上感悟了知识的生长，在纵向上领悟了知识背后的数学思想，在维度上勾连数学与生活的联系，在厚度上发展用数学表达世界的眼光。

三、遵循规律——以整体视野舒展数学抽象素养的枝叶

数学抽象素养是学生数学发展必需的关键能力，也是一个人未来发展的必备品格，影响着学生一生的学习和生活。学生的数学抽象素养不是简单经历几次抽象过程就能够形成的，需要遵循儿童的认知规律，以整体发展的视野体现在数学学习的各个阶段，最终让学生形成用数学的眼光观察世界的关键能力。

1.整体把握学段要求，促进儿童数学抽象素养的螺旋式发展

小学数学教材内容的编排，充分考虑了学生的思维特点和认知水平，遵循“由浅入深、循序渐进、适当分段、螺旋上升”的原则。教师要认真领会数学课程标准的学段目标要求，研读教材，整体把握不同学段学生抽象思维发展的水平，促进学生数学抽象素养的螺旋上升式发展。

比如，立体图形认识。一年级认识立体图形主要是直观感悟立体图形的特征，采用归纳的方式建立立体图形的表象，能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等简单几何体，到了五六年级再次认识这些立体图形时，就要引导学生从数学的角度对具体对象进行观察操作、分析比较，进一步归纳抽象出图形的特征，以及图形与图形之间的关系。

从整体的视角考量教材，不难发现，“数与代数”“空间和几何”“统计与概率”“综合与实践”这四个板块的课程内容不论是同一学段还是不同学段的数学抽象认知水平和抽象思维程度都遵循了由浅入深、循序渐进的原则，学生数感的发展、空间观念的形成、统计与运用的意识、问题解决策略的建立都应在长期的数学学习活动中逐步渗透，慢慢内化为数学核心素养。

2.充分尊重个性差异，鼓励儿童数学抽象素养的个性化发展

数学课程标准强化了学科教育的核心素养导向，鼓励学生的个性化发展。教师要充分尊重学生抽象思维水平发展的个性差异，以发展的理念建构数学学习过程，让每一位学生都能获得数学学习的自信，激发热爱数学的积极情感。

例如，苏教版《数学》四年级“运算律”单元的学习，由于学生认知水平和抽象能力的差异，教学中虽然为学生设计了生动可感的具体情境，组织学生经历了观察、猜想、验证、类比、概括、表征的模型建构过程。但是笔者发现，学生对规律的内涵理解程度和水平却存在显著的差异，有的学生能够准确地理解和领悟，灵活运用规律模型去解释和解决生活中的实际问题，而有的学生只是记住规律的表面形式，依葫芦画瓢，对规律本质的理解表现为较低的水平。类似于20×（40+8）=25×40+8或25×（40+8）=25×40×25×8的現象层出不穷。面对这样的情况，教师不能操之过急，而应正确对待他们认知理解水平上的差异，一方面通过联系生活实际设计不同层次的数学活动引导学生逐步感悟，另一方面要针对不同的学生设计个性化的阶段性目标任务，经历整数、小数和分数这三个不同层级的运用和推广，逐步实现运算律的意义建构，让不同的学生获得不同水平的抽象思维发展。

3.积极尝试学科融合，实现儿童数学抽象素养的整体性发展

“综合与实践”是数学课程内容的重要组成部分，它是以问题为载体、以学生自主参与为主的数学活动，学生需要从复杂的背景中抽象出数学问题，综合运用已有的各学科知识和经验来解决问题。因此，“综合与实践”为积极尝试学科融合，实现数学抽象素养的整体发展提供了平台。

比如，苏教版《数学》五年级下册“蒜叶的生长”，以学生日常生活中常见的大蒜生长过程为活动背景，以此引发学生思考和探究的兴趣，确定研究主题：大蒜的生长研究。围绕研究主题首先组织学生讨论分析可能影响蒜叶生长的因素，确定实验方法和步骤。然后，小组分工合作，观察记录蒜叶和根须的生长情况。最后，组织学生收集整理数据，制成折线统计图，指导数据分析，得出初步的研究結论，并让学生写成一份研究小报告。

整个活动，学生经历了“收集数据—整理数据—得出结论—形成研究报告”的全过程，实现了数学与科学、数学与语文的自然融合：基于科学设计实验，收集数据;运用数学研究数据，形成结论;借助语文形成报告，表达推广。其中蕴含了不同学科范畴内的知识建构、不同意识层次的思维碰撞、不同学科领域的抽象融合，有力地促进了学生抽象素养的生成和核心素养的发展。

综上所述，数学抽象素养是数学课程的核心素养，它对学生未来的学习发展和生活工作有着积极而深远的影响。培养儿童的数学抽象素养能够促进儿童理性精神的树立，提升指向儿童未来发展的必备品格和关键能力。数学抽象素养的培育应该贯穿于数学教育活动的全过程，通过数学学习，让学生最终获得“会用数学的眼光观察世界;会用数学的思维思考世界;会用数学的语言表达世界”的能力。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：2-7.

[2] 史宁中.注重“过程”中的教育——《义务教育教学课程标准》修订的若干思考[J].人民教育，2012（07）：32-37.

[3] 史宁中.数学思想概论（第一辑）：数量与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2008：1-3.

[4] 朱智贤.儿童心理学[M].北京：人民教育出版社，2003：81-84.

[5] 孔凡哲.义务教育阶段的数学抽象素养及其培养[J].湖北教育：教育教学，2020（09）：20-23.

[6] 陈详彬.小学生数学抽象素养培养的途径与策略[J].小学数学教育，2020（23）：4-8.

[7] 杨明媚.抽象·推理·建模——小学数学思想和方法的教学研究[M].南京：南京大学出版社，2019：163-164.