感悟运动不变性和规律性 体验解题一般性和灵活性

欧阳尚昭

摘  要：“圆锥曲线定值问题”这节课重视对研究对象几何特征的分析，重视对解析几何运算特点的分析，重视对课堂小结的问题串设计. 高三的复习课，我们最应该做的两件事情：一是要温故而知新，不要把教材放在一边，要通过解法上的创新，把看似很简单的问题，不断地变式，跟这节课的定值、定点建立联系;二是要丰富学生的数学联想，分析研究对象的几何特征时力求简洁而全面.

关键词：几何特征;运算特点;问题串;教材

“圆锥曲线定值问题”这节课亮点比较突出，课堂始终贯彻着一条主线——立足基础、开阔视野、积累经验. 特色也很鲜明，让我们感受到一节高三复习课的大容量、快节奏、高效率，大容量是指三个引例加三个例子;快节奏是教师讲得快，学生算得快;高效率是因为教师分析到位，学生领悟也到位. 这节课主要特点如下.

一、重视对研究对象几何特征的分析

文献[2]指出，解析几何是用代数方法研究几何问题，但教学中要注意代数运算与几何直观的相互为用. 因为研究对象是几何图形，所以把握所研究对象的几何特征、明确面临的几何问题，这是首要的一步，然后才是用代数方法去研究.

综观吕德荣老师（以下统称“执教教师”）选择的引例和例题，都是在运动变化中求有关定值的问题，执教教师的着眼点也是在参变量的选取原则上下工夫，所有引例和例题的选取都是层层深入的. 例如，引例1中只有一个动点[P]，直线[AB]是定直线;引例2中有动点[P]，直线[AB]为过椭圆中心的动直线，此时已经将问题一般化了. 进一步将引例与圆中的“直径所对的圆周角是直角”进行类比，这个类比既形象又深刻，其目的是让学生感悟“动中不动是为定”的辩证思想，体会动与静的完美统一. 同时，进一步启发学生联想圆的其他性质，如垂径定理，于是顺理成章地得到引例3（动的因素更多，包括动点[P]、动直线、中点等更多几何情境）. 三个引例都有一个相同的结论，就是[k1k2=-b2a2]，如果是圆就是[k1k2=-1]（斜率存在时）.

紧接着，执教教师以问题2“受问题1研究过程的启发，当运动的因素变化，引起变化的量越多参数也越多，对几何问题代数化表达的过程会越来越复杂. 如何正确地表达几何量？如何选择合理的参数简化运算？”为引导，开始了例1的讲解，并通过下面的五个追问完成了对例1的几何特征的分析.

追问1：解析几何表达多边形面积有哪些方法？

追问2：四边形[ABCD]有什么特征？怎么表达面积合适？

追问3：如何求[AC， BD]？哪些点确定？哪些点变化？

追问4：点[C，D]的运动变化是由什么因素引起的？

追问5：变化是由点[M]引起的，那么如何设参数？

然后通过问题3“如果问题情境发生变化，运动变化的因素变得复杂，甚至研究的问题都变得陌生了，我们又该如何转化？如何引入参数进行求解？”开始了例2的研究，例2的研究是通过下面的一系列追问完成的.

追问1：例2研究的目标是什么？可以怎么转化？

追问2：转化之后依然是角度，表达角度有哪些方法？哪个比较合适？

追问3：如果上述方法研究起来依然有困难，可以从哪方面入手？

追问4：特殊情况是什么？

追问5：特殊情况得出结论是[PM⊥PN]，一般情况如何证明？

追问6：通过向量或者斜率证明，都需要点[M，N]，[P]的坐标，怎么得到这些点的坐标？哪些点是运动的？运动是怎么引起的？

追问7：运动变化的关键是直线，那么如何设参数？

这些问题串都是非常有思考价值的，由浅入深地利用[∠PMN+∠PNM=π-][∠MPN]这个几何特征，把两个变化的角转化为一个变化的角来研究. 然后借助正切（斜率）、正弦、余弦和向量等進行归纳、梳理. 引导学生从特殊情况入手，让学生先求出特殊情况下的结论然后去证明一般的情况.

然后通过问题4“例1是只有一个点的变化引起图象的变化，我们设点的坐标;例2是两条互相关联的直线引起图象变化，我们设某条直线的斜率. 如果引起运动变化的因素增多，几何情境也变得更加复杂，我们又该如何处理呢？”这样水到渠成地来到了对例3的研究. 对于例3，教师引导学生读题、审题，要求学生自己画出图形. 这个很好，教师谈到了画图，高考不一定直接考画图，但是画图是学生很重要的能力. 然后也给出一系列追问.

追问1：例3探讨的斜率是我们熟悉的几何量，那具体条件给的是什么几何量？一般怎么转化？

追问2：坐标等价转化，具体怎么表达呢？

追问3：这个问题中变化的几何量有哪些？这一变化是由哪些量的变化引起的？

追问4：直线[AB，PQ]有没有关联？根据这些变化的量，可以怎么引进参数呢？

追问5：如何得到与点[A，B]横坐标有关的运算结构？

这些追问都设计得很具体，这样就完成了对该题中的几何特征和代数表达的分析.

二、重视对解析几何运算特点的分析

众所周知，解析几何的学习对运算能力的要求很高，许多学生因为不能顺利完成代数运算而失分，尤其是遇到有点难的题目，学生自信心不足. 执教教师一直提醒学生要有勇气算下去，这一点难能可贵. 由于解析几何的特点，不可避免需要必要的计算，关键要把握解析几何的运算特点.

文献[2]指出，解析几何中的运算是建立在几何背景下的代数运算，所以先用几何眼光观察，分析清楚几何图形的要素及其基本关系，再用代数语言表达，而且在运算中时刻注意图形的几何特征及图形间的关系来简化运算，这是突破运算难点的关键举措. 在解析几何教学中，提高运算能力不能仅从代数角度入手，还要努力提高学生的几何图形分析能力，也就是要在数形结合上下工夫.

本节课中，执教教师对解析几何运算特点的分析，以及学生在课堂上的娴熟运算都是非常突出的. 在三个引例中，根据图形的几何特征，多次使用“点差法”来简化运算;例1中发现四边形的两条对角线互相垂直，于是通过对角线乘积的一半来求其面积;例2中执教教师让学生用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等），这样可以将盲目的探索问题转化为有方向、有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口;例3中教师通过对几何图形的分析，利用两点间的距离公式、点到直线的距离公式、平行线间的距离公式、弦长公式、“化斜为直”坐标法等选定适合题设的参数，用题目中的已知量和参变量表示所涉及的定义、方程和几何性质，再用根与系数的关系推导出所求定值所需要的表达式，并将其代入定值表达式，化简、整理求出结果.

尤其在执教教师点评学生做题时，多次地、不断地鼓励学生，让学生关注运算的关键处. 从学生方面来看，说明学生书写整齐、流畅、基本功扎实. 这是课堂高效率的一个体现.

三、重视对课堂小结的问题串设计

执教教师在问题5中设计了三个小问题作为小结，有效避免了“本节课学习了哪些知识？学习了哪些方法？培养了哪些素养？”这种千篇一律的课堂小结. 执教教师的课堂小结内容是丰富的，对学生能起到总结和提升的作用.

课堂小结的第一个问题：根据上面的解题过程，能否总结定值问题的解决策略有哪些？谈策略问题. 有的是直接推理证明，有的是先从特殊入手再证一般，总结为“动中不动是为定，变化之中理辨清，直接计算得定值”.

课堂小结的第二个问题：根据上面的解题过程，能否总结定值问题的常见类型有哪些？根据上面的解题过程，说明是有抓手的，比直接问“学习了哪些知识”要好. 总结了斜率问题（动直线的斜率用参数表示）、面积问题（三角形面积、四边形面积通过三角形面积割补转化）、角度问题（正弦定理和余弦定理、正切和斜率、平面向量、角平分线定理等）、长度问题（两点间的距离公式、点到直线的距离公式、平行线间的距离公式、“化斜为直”坐标法等）.

课堂小结的第三个问题：在研究定值问题的过程中，我们采用了怎样的探究过程与方法？这样设计问题就比“有哪些思想方法”要好，因为是在研究过程中，让学生有效地回忆本节课的内容而得出的，能够开阔学生的视野，促进学生积累一些经验. 这个课堂小结，值得学习.

四、谈两点想法

1. 分析研究对象的几何特征时力求简洁而全面

如果把太多的注意力集中在代数角度的研究，这固然是必要的，因为它能达到细致入微的境界，但我们也一定要对几何要素进行分析，因为如果少了直观形象的支持，最后学生还是不能很好地把握几何性质. 例如，在解决例1的过程中，四边形[ABCD]随着点[C，D]的运动而变化，而点[C，D]的运动是随着点[M]的运动而运动的，从而得到点[M]的运动是主动的，点[C，D]的运动是被动的.

该题运动中的不变性、规律性如下：第一，点[M]在椭圆位于第一象限内的部分上运动;第二，直线[AM]与直线[BM]分别与[x]轴、[y]轴的正半轴永远有交点，这是不变的;第三，四边形的面积[S四边形ABCD=12ACBD]不变.

由以上分析可知，既然点[M，C，D]是有关联的点，那么问题的解决就一定与这三个点的坐标有密切的关系. 如果设[Cm，0，D0，n]（易知[m>0，n>0]），由直线的截距式方程，得直线[MA]的方程为[x-2+yn=1]，直线[MB]的方程为[xm+y-1=1]. 联立这两个方程，解得点[M]的坐标为[2mn+2m2-mn， mn+2n2-mn]. 又因为点[M]在椭圆[C]上，故有[2mn+2m2-mn2+4mn+2n2-mn2=4]. 化简，得[mn+1+2n2=4]，即[mn+m+2n=2]，所以四边形的面积[S四边形ABCD=12ACBD=mn+m+2n+22=2+22=2].

当我们分析清楚研究对象的几何特征后，发现在所有的条件中能够建立起等量关系的只有点[M]在椭圆上这一个条件. 因此，不管怎么设“坐标”，都应该在情理之中，我们没有必要将问题的解答按照某一個模式来固定，也没有必要纠结到底引进哪个点的坐标作为“参数”. 从以上解答来看，都是可行的.

当然，解决定点、定值问题常用的思路往往是从特殊情形入手，求得定点、定值，再证明这个定点、定值与变量无关;或者直接推理计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定值. 如果我们本着从特殊情形入手的话，可以怎么取点？取点[M1， 32]，则有[C4-23，0，D0， 33]. 所以四边形[ABCD]的面积[S四边形ABCD=][12ACBD]=[6-233+332=2].

再如，对于例3中的条件[TATB=TPTQ]，我们还能想到什么？还能得到什么样的几何特征？由圆幂定理可知[A，B，P，Q]四点共圆，这是不变的，这就是对代数表达式[TATB=TPTQ]的几何因素的分析，故我们可以从二次曲线系方程表示为圆的条件（不含[xy]项）入手进行解答，同样可以得到[k1+k2=0]. 由此可见，认真解读条件的几何特征非常重要.

2. 高三复习如何使用好教材的问题

这个问题可能与本节课的关联不大，本节课选用的都是一些热点素材，分别来自模拟题、高考试题等，这也是高三复习课常用的手段和方法. 但是高三复习课将教材束之高阁的情况还是比较严重的，也是比较普遍的. 其实，只要我们仔细研究，教材完全可以作为高三复习的最好素材.

高三复习时，我们可以将教材中的有关内容进行有效整合. 例如，人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册中第138页习题3.3的第6题：如图（图略），直线[y=x-2]与抛物线[y2=2x]相交于点[A，B]，求证[OA⊥OB]. 这道题看似与定点、定值无关，也非常容易解决，但是其生命力特别旺盛，之前的多版教材都选用它作为例题或习题. 我们可以挖掘它背后的哪些价值呢？如果设[Ax1，y1，Bx2，y2]，就是要证明[y1x1 · y2x2=-1]. 这里，可以把[y1x1， y2x2]看作方程的两个根. 事实上，可以把[y1x1 · y2x2=-1]看作方程的两根之积为定值. 联立方程[y=x-2]和[y2=2x]，消去常数2，就可以得到方程[y2=x-yx]，再化齐次为[yx2+yx-1=0]. 这就是关于[yx]的方程. 根据根与系数的关系，易证[y1x1 · y2x2=-1]. 当然，这个习题不需要这样处理，但是这个思路让我们产生了下列变式.

变式1：过点[M2，0]的直线与抛物线[y2=2x]相交于[A，B]两点，求证[OA⊥OB].

变式2：过点[M2p，0]的直线与抛物线[y2=2px]相交于[A，B]两点，求证[OA⊥OB].

变式3：若直线[l]与抛物线[y2=2px p>0]相交于[A，B]两点，[OA⊥OB]，直线是否经过定点？

变式4：过抛物线[y2=2px p>0]的顶点[O]作两条互相垂直的弦[OA，OB]，求[△ABC]面积的最小值.

变式5：过抛物线[y2=2px p>0]上的任意一个定点[P2pt2，2pt，] 作互相垂直的两条弦[PA，PB]，直线[AB]是否过定点？

变式6：若直线[l]过点[Pt，0]，与抛物线[y2=2px][p>0]相交于[A，B]两点，试确定[A，B]两点对顶点的张角[∠AOB]分别是钝角、直角和锐角时[t]所满足的条件.

我们可以看到，教材中的习题看似简单，但是通过不断变式，可以得到与定点、定值有关的题目. 当然，以教材为背景的高三复习课，需要教师对教材内容（包括习题）十分熟悉. 在这种情况下，还需要教师付出艰辛的努力.

高三的复习课，最应该做的两件事情：一是要温故而知新，不要把教材放在一边，“温故”从该题就能体现出来，通过解法上的创新，把看似很简单的题目不断地变式，跟这节课的定值、定点建立联系. 二是要丰富学生的数学联想. 只要把两方面的事情都做好了，复习的效率自然是高效的.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M]. 上海：华东师范大学出版社，2021.