用一般观念引领数学教学

摘  要：数学学科一般观念既是教学的手段，也是教学的目的. 用一般观念引领数学教学的基本步骤与方法是梳理、提炼相应主题的一般观念;梳理、挖掘知识形成过程中蕴含的一般观念;以一般观念引领问题解决，达到深化一般观念之目的. 以一般观念引领下的“对勾函数的图象与性质”的教学为例，阐明如何实施一般观念引领的数学教学.

关键词：核心素养;一般观念;对勾函数

教育是一个从理想到现实，从要求到完成的长期的过程. 如何超越知识教学、技能教学仍然是许多数学教师面临的难题与困惑. 一般观念是数学知识、数学方法转化为数学学科核心素养的中介. 用一般观念引领数学教学，再通过这种教学发展学生的一般观念，是培育学生数学学科核心素养的有效途径与方式.

一、具有目标与手段双重属性的一般观念

查找《现代汉语词典》知，“观念”，一是指思想意识;二是指客观事物在头脑里留下的概括的印象. 这里把一般观念理解为对数学学习和研究具有广泛、持久、深刻影响的基本数学思想方法和基本思维策略. 这种一般观念在很大程度上就是米山国藏所说的，学生毕业后不管从事什么业务工作，都能随时随地发生作用的数学的精神，数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等. 因此，发展、丰富、完善学生的数学一般观念是数学教育的重要目标.

与此同时，面对较大的、需要以探究的方式解决的数学问题时，学生的典型表现是缺少方向感、整体感和策略感，只能像迷宫中的小白鼠一样盲目地、胡乱地探究. 造成这种现象的根本原因是学生缺少具有观念性、策略性、框架性、系统性的思维策略和方法，缺少一种能有效指导问题解决的一般观念. 正如怀特海所说：缺乏与伟大的观念或与平常的思想明显的关联，学生会被烦琐的细节弄得不知所措. 因此，一般观念是解决数学问题的有效手段. 数学教学要用数学的方式，要加强一般观念的引领，突出数学对象的抽象过程与方法的指导，要使学生在掌握定义的同时知道它的来龙去脉，实现过程与结果的有机融合.

二、用一般观念引领教学的基本步骤与方法

1. 梳理、提炼相应主题的一般观念

梳理、提炼一般观念是用一般观念引领教学的前提与基础.《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）把高中数学内容分为函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动和数学探究活动四大主题. 各大主题有共同的一般观念，如会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界（简称“三会”），但也有本主题特有或明显具有本主题特色的一般观念. 我们需要以“三会”为指导，把“三会”具体化、操作化，梳理、提炼、明晰各大主题的一般观念，使之体现和落实在日常教学行为中.

以“函数”主题为例，应该形成如下一般观念：一是从量及其相互联系视角考察事物、认识事物，探求量与量之间的相互依赖关系;二是从量与量之间的对应关系及相互转化视角思考问题，并重在从对应关系及其适用范围（即函数定义域）角度分析问题;三是通过基于“形”的直观想象与基于“数”的运算推理的有机结合来思考、探究问题;四是从运算视角认识函数自身性质及不同函数之间的关系;五是利用函数性质解决数学问题与现实问题. 学习导数后，还应该加上一条，即导数是解决函数问题最常用、最有力的工具. 只有当我们对函数的一般观念有了清晰的认识，才能有意识地运用它们引领函数教学，并在函数教学中更好地孕育它们.

2. 梳理、挖掘知识形成过程蕴含的一般观念

以函数[y=ax+bx]（以下称此函数为“对勾函数”）为例. 从量及其联系角度来看，数学和生产、生活中存在许多对勾函数;从运算角度来看，对勾函数是正比例函数、反比例函数通过加法运算得到的新函数，它与正比例函数、反比例函数具有天然的联系;从研究内容角度来看，关于对勾函数也要研究其单调性、奇偶性、最值及图象等函数一般性质;从研究方法角度来看，最主要的是基于“形”的直观想象与基于“数”的运算推理的有机结合;从课程与教学角度来看，对勾函数属于“探究与发现”内容，是《标准》要求的“数学建模活动与数学探究活动”的一部分. 它重在让学生经历探究、发现的过程与方法，形成探究的意识与习惯，积累数学探究经验，孕育和发展函数一般观念.

应该通过梳理、挖掘知识形成过程蕴含的一般观念，使宏观的数学学科一般观念、中观的函数一般观念落实到微观的对勾函数教学中.

3. 以一般观念引领问题解决，达到深化一般观念的目的

教师应该强化对学生已有相关一般观念的分析. 以对勾函数为例. 学生熟悉正比例函数、反比例函数的图象与性质，对函数概念、函数性质有初步的理解，但对这些内容的掌握主要停留在知识与技能的水平上，停留在记忆、理解、运用这些低阶思维的水平上. 他们不会自觉、主动地把正比例函数、反比例函数与对勾函数联系起来，对研究函数的一般思路与方法缺乏清晰的感受和体会，没有形成相应的函数一般观念，自主探究對勾函数性质会遇到较大的困难.

教师应该增强为发展学生数学一般观念而教的意识，自觉地把发展学生数学一般观念作为教学的重要目标. 例如，对勾函数的教学目标如下：学生理解函数[y=ax+bx]与函数[y=ax，y=bx]的联系;能在回顾、梳理前面研究函数问题的思路与方法的基础上自主地探究、发现函数[y=x+1x]的图象与性质，进而拓展、推广到函数[y=ax+bx;] 能深化对研究函数的一般思路与方法的认识.

教师应该把一般观念教学渗透和落实在教学的各个环节、各个方面. 在一般观念的引领下，提出有待解决的新问题、核心问题;讨论、明晰前期相关知识背后蕴含的一般观念，使之成为问题解决的先行组织者;讨论、示范如何借助一般观念解决问题，增进学生对一般观念的认识;引导学生利用已形成的一般观念解决新的问题，感悟一般观念的作用与价值，深化对一般观念的理解;通过回顾与反思，进一步强化学生对一般观念的感悟，并反思运用中存在的问题与不足;评价要关注学生一般观念的形成与发展水平;课后作业要重视学生对一般观念的运用. 我们追求的目标应该是，学生应该获取对抽象思维的通晓理解，应该认识它如何应用于特殊的具体环境，应该知道如何把一般方法应用于其逻辑研究.

三、一般观念引领下的对勾函数图象与性质教学设计

1. 呈现背景，提出问题

背景1：万物皆数. 这里的数不仅包括整数和分数，也包括无理数和今后将学到的其他数.

背景2：数与数之间是充满联系的，函数就是刻画客观世界数量关系和变化规律最为基本的数学语言和工具. 例如，压强公式[p=FS、] 自由落体公式[h=12gt2]等不仅是物理公式，也是函数关系式.

背景3：假设某公司需要购买某种货物18吨，每次购买[x]吨，运费为1万元 / 次，这种货物全年的总存储费用为[2x]万元. 设全年总运费与总存储费用之和为[y]万元，则有[y=18x+2x.]

本节课的核心问题：函数[y=ax+bx]的图象与性质.

【设计意图】设置背景1 ～ 背景3的目的：一是让学生在比较广阔的背景下探究与发现，感受对勾函数与现实世界的联系;二是为提出本节课的研究主题服务. 引导学生从量与量之间的关系角度，借助一般化，提出本节课的核心问题.

2. 联想激活，寻求方法

联想1：研究函数，通常会研究什么？

【设计意图】联想前面所学的函数基本性质，通过讨论明确研究函数通常会研究它们的图象与性质. 图象包括图象的形状、特殊点与变化趋势;性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、最值等. 阐明这些是研究函数的基本框架.

联想2：面对直接研究一般化的对勾函数遇到的困难，你会想到哪些相关经验？

【设计意图】联想研究函数[y=ax，y=bx]等时，都是从特殊情况入手，故可先研究最简单、最特殊的函数[y=x+1x.] 研究清楚后，再推广、拓展到函数[y=ax+bx.]

联想3：由函数[y=x+1x]的表达式，你会联想到什么？又能直接得到此函数的哪些性质？

【设计意图】联想基本不等式和函数奇偶性定义，直接明确函数[y=x+1x]的定义域、值域和奇偶性.

联想4：如何研究奇函数[fx=x+1x]的单调性？初中和这学期前面研究函数的经验能给我们怎样的启示？

【设计意图】通过回顾、联想、讨论，明确只需研究[fx=x+1x]在[0，+∞]上的情形. 从数与形两方面入手研究，可以先画出函数的图象，通过观察图象得到函数的性质，再借助函数表达式证明函数的性质. 通过联想如何刻画函数的单调性、奇偶性，以及函数图象与表达式之间的内在联系，强化学生从基于“形”的直观与基于“数”的运算与推理两方面研究函数的意识.

【联想1 ～ 联想4总设计意图】以函数一般观念为引导，寻找研究对勾函数的思路与方法. 需要指出的是，一方面，解决问题之前，应该尽可能明晰解决问题的思路与方法，以避免盲目探究、无效探究，有效发展学生的一般观念;另一方面，由于问题解决是一个渐进的、探索未知的过程，因此难以在问题解决之前把需要用到的思路与方法都弄清楚.

3. 提出猜想，验证猜想

问题1：你能画出函数[y=x+1x]的图象吗？

【设计意图】由[y=x+1x]是奇函数可知，只要画出它在[0，+∞]上的图象，[-∞，0]上的图象可借助对称性画出. 为了使探究更真实，也为了让学生认识到从整体上把握函数图象变化趋势的重要性，让他们基于原有经验——列表、描点、用光滑曲线连接画图，然后借助多媒体展示他们所画的各种图象，暴露问题，指出其原因是缺乏对图象形状的总体把握.

问题2：你能由函数[y=x+1x]的表达式，以及它与函数[y=x，y=1x]的联系，想象它的图象可以用怎样的方式得到，进而猜想此图象的变化趋势吗？

【设计意图】通过讨论，明确函数[y=x+1x]是函数[y=x与y=1x]的和，因此它的图象也可以通过函数[y=x，][y=1x]的图象“合成”得到（如图1）. 在这个过程中，让学生想象、把握函数[y=x+1x]的图象的“合成”方式与变化趋势.

问题3：你能基于画出的函数[y=x+1x]的局部图象和它的表达式说明此函数图象的变化趋势吗？说明其增减性变化的“拐点”在哪里，你能证明你的猜想吗？

【设计意图】由观察函数[y=x+1x]的图象和不等式[x+][1x≥2 x>0]当且仅当[x=1x]，即[x=1]时取等号，猜想函数[y=x+1x]在[0，1]上单调递减，在[1，+∞]上单调递增，然后利用函数单调性定义，证明此猜想. 从“数”与“形”两方面入手，从变化趋势视角，讨论直线[x=0，y=x]与函数[y=x+1x]的图象的关系，明确这两条直线都是该函数图象的渐近线. 由于函数[y=x+1x]的圖象的形状是“对勾”形，因此该函数也叫对勾函数. 让学生认识和感受到有效的、理性的研究应把基于图象的直观想象与基于表达式的推理运算结合起来，充分发挥“形”的直观与“数”的精确两方面的优势，这是学习和研究数学问题的根本思路与方法.

4. 类比迁移，深化一般观念

问题4：你能利用研究函数[y=x+1x]的思路与方法研究函数[y=18x+2x]和[y=ax+bx ab≠0]的图象与性质吗？

【设计意图】安排问题4的主要目的不是获取相应的结论，而是重在通过运用，巩固和掌握研究函数的一般思路与方法，深化函数的一般观念. 通过类比研究函数[y=ax，y=ax a≠0]时的分类讨论，明确对函数[y=ax+bx ab≠0]分[a>0]且[b>0，a>0]且[b<0，][a<0]且[b>0，a<0]且[b<0]四种情况讨论. 学生在小组合作探究的基础上，开展全班交流与讨论，发现问题，矫正错误图象与结论. 教师利用多媒体呈现图2 ～ 图5.

问题5：画出下列函数的大致图象，并说明其单调区间.

（1）[y=x+1x-1];（2）[y=x+1x-1].

【设计意图】从函数表达式的变化和图象上下、左右平移两方面深化对函数[y=x+1x]的认识，引导学生用心感受、体会函数表达式变换、图象变换，以及这两种变换之间的内在联系与统一.

5. 回顾反思，提炼升华

问题6：回顾、梳理本节课研究函數问题的一般思路与方法.

通过学生之间的讨论和教师点拨，最后形成如下共识.

（1）函数是刻画现实世界中量与量之间关系的数学模型，要善于从量与量之间关系的视角思考现实问题.

（2）通常从定义域、值域、奇偶性、单调性、最值等方面入手研究函数.

（3）研究函数的常用方法：一是基于“形”的直观想象与基于“数”的推理运算相结合，以便最大限度地发挥“形”与“数”两方面的优势;二是从函数与函数之间的关系、从运算角度研究函数，以便把复杂的、未知的函数转化为简单的、已知的函数;三是基于函数图象变换与函数表达式变化的内在一致性，化“数”为“形”或化“形”为“数”.

四、结束语

发展学生的一般观念，应该坚持理念与行动相结合、目标与过程相结合，应该坚持教师的一般观念指导与学生的一般观念实践相结合，应该组织旨在发展一般观念的训练活动，并让学生用心感悟、体会、提炼蕴含在数学活动中的一般观念. 应该通过加强一般观念教学，培养和提升学生理性地、有条理地思考和解决问题的习惯和能力.

参考文献：

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