高中数学教学中常态化应用项目学习的思考

摘  要：在普通高中数学课堂教学中常态化地应用项目学习，需要结合高中数学的特点创造性地应用已有理论，将巴克教育研究所关于项目学习定义中的“真实问题”发展为“真实的数学问题”，即可提高项目学习应用的可行性. 在实施过程中，做到项目学习与传统教学融合，大项目、小项目、微项目搭配，项目学习与专题训练结合，将有助于推进项目学习的常态化应用.

关键词：高中数学;项目学习;常态化应用

从2013年开始，我们一直在探索项目学习在课堂教学中的应用，课题组成员形成了丰富的案例. 例如，高中数学中的实践型大项目“测量高度”（涉及解三角形知识），实践型微项目“提高快递门店的收益”（涉及统计概率知识），学术型大项目“探秘圆锥曲线”，学术型中项目“用向量法研究三角形的性质”（涉及向量及三角形的知识），等等. 并于2019年7月成立了山西省项目学习联合体，主要研究目标是项目学习在课堂教学中的常态化应用.

一、普通高中数学课堂教学中项目学习常态化应用的可行性与必要性

1. 从“真实问题”到“真实的数学问题”

美国巴克教育研究所定义的项目学习是一套系统教学法，它是对复杂、真实问题的探究过程，也是设计项目任务、规划并实施项目和精心制作项目成果的过程. 在这个过程中，学生能够掌握所需要的知识和技能.

项目学习是对复杂、真实问题的探究过程. 巴克教育研究所著的《项目学习教师指南——21世纪的中学教学法》一书中提供的案例都是解决实际问题的项目. 例如，微缩高尔夫球场设计项目（涉及几何），描绘导弹的飞行轨迹，买车与租车，火星探索者登陆的过程，等等. 项目学习的这种定位，使高中数学教师对项目学习望而却步.

普通高中数学教学中能否常态化地应用项目学习，关键是对“真实问题”的定位. 在情境教学理念推行伊始，大家对情境的理解陷入误区，局限在实际情境，使得数学课堂教学为情境而情境，多了热闹，少了数学的逻辑性.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）对此予以纠正，明确指出情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境. 可见，情境教学可以是低抽象度的数学. 类比之，我们要先正确定位项目学习中的“真实问题”.

“真实问题”，在普通高中数学教学中，首要的条件是“数学真实”，体现在与数学相关的现实情境、科学情境、数学情境的真实性，以及从中提出的问题的合理性上. 这种合理性，是指问题的提出及其解决的过程符合思维的逻辑性，符合学生的学习心理，符合知识发展的规律，符合教学活动的规律. 不妨将这样的问题称为“真实的数学问题”.

2.“真实的数学问题”使得项目学习常态化具有可行性

将“真实问题”发展为“真实的数学问题”就解开了被束缚的“翅膀”，可以让项目学习“飞进”普通高中数学的日常课堂教学中. 那么，什么样的问题是“真实的数学问题”呢？

（1）基于研究一类对象的基本路径提出“真实的数学问题”.

例如，人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）必修第一册“2.1.2 不等式的性质”. 基于学生的已有知识经验——等式的性质，可以这样设计项目的驱动问题：等式的性质有哪些？分别是从哪些角度反映等式的性质的？是怎样发现这些性质的？类比之，不等式应该有哪些性质？这就是在一个数学情境中提出的“真实的数学问题”. 教材中类似的内容有很多.

教材中有些拓展栏目也可以做成类似的设计. 例如，教材必修第一冊第3.3节之后的“探究与发现  探究函数[y=x+1x]的图象与性质”，可以设计项目的驱动问题：研究函数的基本路径是怎样的？按照相同的路径研究函数[y=x+1x]，它的图象与性质分别是什么？你还可以提出哪些值得研究的问题？

这种提问方式，彰显的是数学自身发展变化的内驱力. 一个问题得到解决，遇到类似的情境，自然提出相应的问题，推动数学研究走向更深、更远. 数学史上有很多这样的例子，其本质在于数学体系的逻辑性，这是数学发展的不竭动力.

（2）基于现实或科学情境提出真实的数学问题.

例如，教材必修第一册“5.6 函数[y=Asinωx+φ]”，针对这一节内容可以设计项目的驱动问题：筒车的运动规律是怎样的？需要研究哪些内容？这个问题就具有现实性. 教材中这样的内容也有很多. 例如，教材必修第一册“4.5.3 函数模型的应用”中的每道例题都可以做出一个微项目. 例3是一个关于人口增长的问题，对此可以设计驱动问题：我国人口数大约在什么时候达到13亿？例4是一个关于用碳14进行年代学检测的问题，对此可以设计驱动问题：作为一名考古学家，你在良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取了草茎遗存，你能据此推断水坝大约是什么年代建成的吗？

同样，教材中有些拓展栏目也可以采用项目学习实施教学. 教材必修第一册第四章后的“数学建模  建立函数模型解决实际问题”，所给实例是关于茶水的口感何时最佳，对此可以设计驱动问题：你能为某种绿茶写出一个饮茶建议书吗？要求建议书中包含泡茶的时长与水温的对应关系. 教材必修第二册第10.3节之后的“阅读与思考  孟德尔遗传规律”，可以转化素材，并设计驱动问题：孟德尔揭示了豌豆的遗传规律，你能用类似的方法研究酒窝的遗传规律吗？这是一个生物科学的情境.

这些问题的提出源于数学应用的广泛性. 实践是数学发展的根本动力，用数学的眼光看世界是学生应该具备的素养.

将“真实问题”发展为“真实的数学问题”，普通高中数学教学内容就可以转化为真实的问题，成功跨越项目学习的第一关. 因此，在普通高中数学课堂教学中项目学习常态化应用是可行的.

3. 落实《标准》精神使得项目学习的应用具有了必要性

《标准》在前言中指出，重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实. 这种变化在教学中如何落实？

课程目标中提出在学习数学和应用数学的过程中学生能发展六大学科核心素养. 那么，这样的过程如何设计才能达成数学课程目标？

课程内容的五大主题之一是数学建模活动和数学探究活动，其教学提示是建议用课题研究的方式开展这一主题的教学，教材中设计了相应的内容，并给出了做数学课题的方法指导. 而做数学课题与做项目学习有着很高的相似度.

《标准》中关于数学建模活动和数学探究活动的教学提示和学业要求中给出两个相关联的案例，即案例15“测量学校内、外建筑物的高度”和案例19“测量学校内、外建筑物的高度项目的过程性评价”. 这两个案例结合成一体就是一个典型的数学项目.

由此可见，落实《标准》的基本理念需要项目学习，而《标准》中也给出了具体的项目学习案例，项目学习在普通高中数学教学中的应用是必要的. 我们需要探索的是如何做好项目学习，并使项目学习常态化.

二、普通高中数学课堂教学中项目学习常态化应用的推进策略

1. 普通高中数学课堂教学中项目的实施

项目学习的特点是：以终为始，问题驱动，评价引领，产品有用，完整做事. 下面以一个小项目具体解读高中数学项目学习的实施过程，看它是如何以高阶思维带动低阶思维的. 以“不等式的性质”为例. 该项目将由学生个体独立完成，之后再展示交流.

（1）围绕主题确定项目名称.

探索不等式的性质.

（2）以终为始设计最终的产品.

根据该内容的教学目标，可以设计其最终产品是：关于不等式的性质的研究报告.

报告内容包括三个方面：一是对等式的性质的梳理，包括内容和研究方法;二是不等式的性质及其证明，包括提出猜想的过程及对猜想的论证或反驳;三是研究经验总结.

（3）用问题驱动高阶思维.

驱动问题：等式的性质有哪些？分别是从哪些角度反映等式的性质的？是怎样发现这些性质的？类比之，不等式应该有哪些性质？

面对这样的问题，学生先是整体感知，分析如何解决这个问题，并设计出解决方案. 之后才进入具体的演算、推理、解题过程. 因此，它是用问题驱动高阶思维，用高阶思维带动低阶思维.

（4）设计好评价引领探索过程.

针对研究过程及最终产品，设计如下评价办法.

对于研究过程的评价从三个方面进行：是否能独立思考、深入探索;是否能认真阅读教材中的提示，并受到启发解决问题;是否能认真总结已有性质的证明依据，并类似地证明其他性质. 评价方式是自评，而且是定性评价，写在报告的第三部分中.

针对报告的内容设计对应的评价.

关于“等式的性质的梳理”，评价维度是：① 不看教材自己能写出几条等式的性质，阅读教材之后是否能补全等式的性质，并做出特别的标注. ② 是否能写出每条性质是从哪个角度提出的.

关于“不等式的性质及其证明”，评价维度是：① 不看教材类比等式的性质，自己能写出关于不等式性质的几条猜想，阅读教材之后是否能补全不等式的性质，并做出特别的标注. ② 是否能写出不等式的每条性质是怎么得到的，比如类比等式的哪条性质得到的，或者由已有不等式的性质推导出来的. ③ 是否给出了每条性质的证明.

关于“研究经验总结”，评价维度是：① 是否能总结出不等式的性质和等式的性质研究的异同. ② 是否能梳理出证明不等式的性质的依据有哪些. ③ 是否能总结自己研究过程中的行为表现和得失.

以上每個维度，每写一条得2分，得分都是上不封顶的，只要合理即可得分.

评价方式是：学生自评，然后小组内确认，最后由教师审核.

评价的内容是对学生自主学习的引导;评价的得分采用累加法，是对学生深入探究的鼓励. 可见，评价从两个方面体现了对学生的引领.

（5）创设好时空，确保学生完整做事.

这个小项目的探究时空比较灵活，可以是课上，也可以是课下.

项目实施办法1（课堂上实施）：不看教材，先按照前4项的要求独立完成，大约15分钟时间. 有了初步成果后，再阅读教材进行修改，并解决困难，修正错误，完善报告，大约20分钟时间. 小组交流约5分钟. 最后，教师点评总结，约5分钟.

项目实施办法2（课前独立完成，课上展示交流）：课前学生按照前4项的要求独立完成. 课上小组交流，并形成一份最佳报告. 然后在班内展示交流，由一个组完整展示，其他组予以补充.

办法2更有利于学生做好一个项目. 这时，需要教师整合课上、课下的作业时间，采用翻转教学模式.

（6）发布产品，享受成就.

完成了项目，学生修正、改进学习报告，留存自己的学习成果，同时可以复印张贴，与大家分享、交流学习成果，特别是其中闪烁的思维火花.

这就是一个小项目，但麻雀虽小五脏俱全. 大项目在容量上增加，在执行过程中需要师生一起设计方案，并能根据项目产品和评价要求不断调整实施过程，最终达成项目目标，文献[4]就是一个大项目的案例. 这也是项目学习与研究性学习的区别，即以终为始.

2. 项目学习常态化应用需要解决的问题

（1）项目学习教学方式与教学理念并行解决时间问题.

从上面的案例可以看出，用办法1实施项目，可以控制在限定的时间内完成，而办法2却可以让学生有充足的时间进行研究. 深度和速度是一对矛盾，也是制约项目学习常态化的一个重要因素.

对此，可以有两种解决办法. 第一种解决办法，项目学习理念和项目学习教学方式并行. 一方面，精选内容设计项目，让学生经历完整做项目的过程;另一方面，将项目学习作为一种理念，不需要完整做项目，只是教师在教学中注重应用项目学习的理念开展教学，将项目学习教学方式与常规教学方式融合. 第二种解决办法，打通课上、课下的时间，并适当利用数学建模、综合实践课的时间开展项目学习.

（2）大项目、小项目、微项目结合解决师生负担加重的问题.

开展项目学习，师生的投入增加，负担加重，怎么办？需要控制不同项目的数量. 大项目建议一学期一个，其余以小项目和微项目方式进行.

如前所述，小项目大约一至两个课时的内容，微项目则可以在一节课之内完成. 小项目可以按照项目的实施流程进行，而微项目更像是用项目学习的理念教学，不需要设计评价，不需要完成学习报告，只需要解决问题即可，应用起来比较灵活.

大项目一般跨度为10 ～ 20个学时，即课上、课下20个课时长，需要一周至两周的时间. 大项目的设计要尽量周全，并要与学生一起讨论确定实施规划. 在实施过程中，教师要加强指导，确保学生的进度，特别是对于数学基础薄弱的学生，要及时予以帮助，以免任务过重，挫伤他们的积极性.

在高一第一学期，可以选择“对数函数”做一个大项目. 原因有两个. 第一，已有知识经验充分. 学生在此之前已经学习了函数、幂函数、指数函数，掌握了研究函数的基本路径，因此可以尝试让他们自主研究对数函数. 第二，对数函数需要的课时是5课时，对于第一次做大项目，长度比较适宜，师生都容易控制. 而且这是一个学术型项目，不需要外出，教师容易掌控，并能及时予以指导.

在高一第二学期，可以选择统计案例“公司员工的肥胖情况调查分析”做一个大项目. 教材所给课时是2课时，但是在实际做项目时在时间、对象上都可以突破. 例如，可以将研究对象确定为本班学生或者家长等身边人群的肥胖问题，也可以研究其他话题. 这是一个实践性项目，需要学生开展调查、收集数据.

事实上，大项目可以选择的内容有很多. 例如，教材必修第一册“函数的概念及其表示”“指数函数”“三角函数的概念”“三角函数的图象与性质”，教材必修第二册“平面向量的应用”“复数”“孟德尔遗传规律”，等等.

（3）项目学习与专题训练相结合解决评价问题.

項目学习花费的时间长，注重过程，注重对数学知识本质的理解，注重对学生数学研究能力的培养. 但是在纸笔测试中，学生可能会出现暂时不熟练的现象，甚至导致成绩暂时偏低. 这些都是推进项目学习常态化应用过程中必须正视的问题. 如何解决？

经过项目学习习得新知识，一定能更好地让学生理解数学的本质，学生的高阶思维得到了更好的发展，其分析问题的能力一定得到了提高，欠缺的就是应对纸笔测试的熟练性. 为此，在项目学习的过程中或者一个项目结束之后，要增加专题训练. 我省之前的项目学习试点校5年的实验充分证明了这种方法培养出来的学生考试成绩不低于传统教学法培养出来的学生.

做项目，关键是转变了学生分析问题的视角. 事实上，高考数学试题正在悄悄转向，2019年一道“维纳斯”试题重重地冲击了普通高中数学教师的认识. 2020年全国Ⅰ卷理科第19题只要把羽毛球大赛过程中可能出现的所有情况都梳理清楚，即把这件事情弄清楚，就能求解;2021年全国乙卷理科第9题，结合情境把测量山的高度的事理弄清楚，就可以找到简洁的求解办法……这些试题中蕴含着深层次的变化，《标准》的精神和《中国高考评价体系》“一核、四层、四翼”的精神如何在高考试卷中体现？高考试题又如何引导课堂教学？面对这些问题，我们认为项目学习是一条落实《标准》精神、提高学生高阶思维、提升学生应对考试能力的有效途径.

通过以前的探索，我们深信在普通高中数学课堂教学中进行项目学习是可行的、必要的，我们也知道将它常态化是有一定难度的. 但是只要我们不放弃，积极创新理论，研究办法，就能蹚出一条在高中数学教学中常态化应用项目学习之路.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]巴克教育研究所. 项目学习教师指南：21世纪的中学教学法[M]. 任伟，译. 北京：教育科学出版社，2008.

[3]薛红霞. 项目学习：数学建模的教学实施路径之一[J]. 中小学教材教学，2020（9）：46-50.

[4]薛红霞，马胜利. 在高中数学教学中开展项目学习的尝试：以“测量……”为例[J]. 中国数学教育（高中版），2019（10）：9-13，18.

[5]郝玉怀，薛红霞，马胜利. 以项目学习促进学生数学核心素养发展[J]. 教学与管理，2018（19）：61-63.