概率论与数理统计教学中新冠战役思政元素的探索

张丹达， 包经俊， 李建峰

(宁波大学 数学与统计学院，浙江 宁波315211)

1 引 言

“古之学者必有师.师者，所以传道受业解惑也.”韩愈在《师说》中指出了老师的责任不只是教授学业，还需传授为人处世的道理、解答所遇的疑惑.“高校思想政治工作关系高校培养什么样的人，如何培养人以及为谁培养人这个根本问题.要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人，努力开创我国高等教育事业发展新局面.”高校工作者在授课过程中需遵循课程思政教育理念[1-2]，全方位培养社会主义建设者和接班人，为其走向社会、服务社会、建设社会打好坚实的基础.

概率论与数理统计是研究随机现象及其规律的基础课程，其应用遍及自然科学、工程技术、社会科学、管理学等领域，是高等院校经管类和理工类学生进行专业学习的常用工具，为提升学生逻辑思维能力和实际问题处理能力提供智力支持.大千世界变幻莫测，随机现象遍布生活，人们可从这些随机现象中找到统计性规律，做最优的决策指导生活.培养正确的社会主义核心价值观，是概率论与数理统计课程的初心和使命.概率论与数理统计教学的重心不能只放在对基础知识和基本技能的讲授上，还要放在思政元素的引入上，让知识更加多元和更有活力.教师可从教育理念、教学原则和实践路径等方面[3]全方位引入课程思政；也可引入数学文化[4]、传统文化[5]等元素，让学生真切体会社会主义核心价值观、辩证唯物主义，弘扬传统文化，提高教学效果，使课堂更有深度和活力.

2020年是不平凡的一年，新冠肺炎疫情席卷全球，影响了人民生活的方方面面，高等学校教学也转成了在线教育[6].但全国人民不畏艰难，在习近平总书记的带领下团结一心众志成城抗击新冠肺炎疫情，取得了阶段性的成果.在这没有硝烟的战斗中，涌现了许多平凡的人民英雄，其事迹感人肺腑，也极大地鼓舞了全国人民的爱国热情和奋发向上的精神.因此，探究如何将新冠战役这一思政元素融入到课堂教学显得意义深刻.朱婧等教授已经在微积分教学中引入新冠元素[7]，笔者接下来探索把新冠战役中的一些实例自然融入到概率论与数理统计课程教学中，分别通过疫情小常识、物资设备问题、前线事迹和政府决策力等方面案例，达到引导学生的学习兴趣和激发学生的科技报国心、社会责任心和“四个自信”等思政效果的目的.

2 概率论与数理统计课程中新冠战役的融入教学

概率论与数理统计知识在新冠战役中具有广泛应用，接下来笔者在教学中融入相关案例，达到以下四个方面的思政教学目标，并从新冠战役精神中激发学生的爱国热情.

2.1 通过疫情小常识，提高学生对学习概率论与数理统计的兴趣

2020年上半年的线上教学，对于学习兴趣不高的学生影响较大，如何有效提高学习兴趣显得尤为重要.教师可以通过常规方法丰富课堂，提高学生的学习兴趣，如介绍概率论与数理统计的历史发展和讲述伯努利、拉普拉斯等数学家故事.概率论与数理统计在生活实践中应用较广泛，将其与生活小常识相结合讲授更能提高学生的兴趣.例如，许多学生直觉上认为概率为0的事件是不可能事件，教师可让学生计算两人在不约定的情况下在某处相遇的概率，由几何概型可得概率为0，但事实上我们每天与许多人在某处不期而遇.这样反直觉的例子让学生对知识点印象深刻并提高了学习兴趣.进一步地将课程知识点与当前新冠战役大背景下的小常识相结合，学生既能记住小常识，又对知识点理解更加深刻和对课程也更感兴趣.比如，许多学生参与过核酸检测，容易直观以为阳性就是患病，教师可在教授贝叶斯公式时引入假阴性假阳性问题.

因为检测试剂对病毒性状的敏感度有限，采集样本的交叉污染和实验员的操作失误可能影响检测结果，所以不存在绝对正确的检测结果，即存在患新冠病人检测呈阴性情况(假阴性)，也存在未患新冠病人检测呈阳性情况(假阳性).出现过对密切接触者多次检测后才呈阳性的案例，也出现过初次为阳性后多次检测均为阴性的案例.现假设患新冠肺炎的人通过试剂检测，阳性的概率为0.9；而未患新冠肺炎的人通过试剂检测，阳性的概率为0.01.设某病人在检测前经医生病情诊断后患病概率为p，那么该病人检测为阳性，求假阳性的概率；该病人检测为阴性，求假阴性的概率.

设事件A={病人患病}，B={病人检测为阳性}，则

由贝叶斯公式得

当该病人处于低风险地区且无任何新冠肺炎病状时，取p=10-5，则假阳性概率为0.999，即结果阳性的情况极大概率是检测失误，假阴性概率为10-6，即结果阴性的情况是可信的.当该病人处于高风险地区且出现部分新冠肺炎病状时，取p=0.01，则假阳性概率为0.524，即结果阳性并不一定是患病，尚需进一步检测和诊断，假阴性概率为10-3，即结果是阴性的情况是可信的.当该病人为确诊病例的密切接触者且出现新冠肺炎病状时，取p=0.9，则假阳性概率为10-3，即结果阳性基本可以确诊，假阴性概率为0.476，即阴性结果不一定可信，尚需进一步检测.由上述分析可以看出，当试剂检测比较稀缺时，优先保证密切接触者的检测，低风险地区无病症人员无需检测.当然由于春节人流量较大，不同风险地区人员可能出现接触，在检测能力保证的情况下，核酸检测还是非常有必要的.

教师结合此案例，可让学生明白贝叶斯公式等知识对生活的指导意义，也增加了假阴性、假阳性等生活常识，即便自己被检测为阳性，也能够从容不乱地理性分析.从教学实践情况来看，学生们对这些疫情小常识(特别是反直觉案例)有恍然大悟的感觉，从而提高对概率论与数理统计课程的兴趣.

2.2 通过疫情物资、设备、技术等问题，引导学生树立科技报国心

科学技术是第一生产力，创新是引领发展的第一动力.但近期由于中美关系问题，我国在芯片、光刻机等方面遇到了卡脖子问题.在新冠战役上，也遇到了一批药品、医疗器械、医用设备、疫苗等领域的卡脖子问题.教师可引入一些相关案例，向学生说明传递科学技术的重要性，引导学生树立科技报国心，比如在学习中心极限定理时顺势引入口罩定价问题.

口罩是阻断病毒传播的较好途径，合格的口罩对细菌过滤效率、颗粒物过滤效率、微生物指标、甲醛含量等有要求，才能保证阻断病毒传播的高效性.假设某家工厂生产同一批次口罩，假定每只口罩的合格情况相互独立，且不合格概率为p.客户可从中抽检100只，若不合格率高于25%，则按照合同工厂需以三倍价格赔付该批口罩.假定每个口罩生产成本为0.2元，p=0.2，为确保毛利率50%，其销售价格需不低于多少元？若客户商定价格为0.8元/每只，不合格率需不高于多少？

设口罩销售价格为c元，客户抽检100件，设抽检结果不合格口罩为X只，则X～B(100，p).由于抽检量较大，根据中心极限定理，X近似服从N(100p，100p(1-p)).由此

也就是说89.44%的概率满足客户条件，10.56%的概率需赔付平均每只3c元，则毛利率为

得c≥1.1，即p=0.2，为确保毛利率50%，其销售价格需高于1.1元.

当每只定价为c=0.8元时，由毛利率

可得P(X≤25)≥0.9167.查表Φ(1.385)=0.9167，则

求解得p≤0.1951.即当不合格率低于19.5%，则定价0.8元/每只，仍有毛利率50%.

从这两个小问可以看出，提高合格率不仅能够帮助用户更有效阻断病毒，赢得好的口碑，又能为企业带来超额利润.在此题中，若设合格率为90%，则有

即赔付的概率几乎为0，无需再考虑赔付成本，若仍定价0.8元，毛利率可高达75%.提高合格率要求设备仪器的精细化和智能化，随着制造业发展，国产口罩机已经达到高标准，且能够自信走出国门.从该结论中学生可以明白技术进步的重要意义，但生物制药等链条上许多高端研发和产业化所需要的关键仪器设备等严重依赖国外，国产替代核心设备是这一代人的目标.另外在学习统计学知识点时，可穿插创新药研发中的数据分析问题.综上，教师可通过讲述国家科技进步案例和卡脖子困境，引导学生树立科技报国心，激发学生爱国热情，为推动我国高质量发展贡献自己的力量.

2.3 通过疫情前线事迹，激起学生的社会责任心

社会责任心是个体对国家和集体的道德情感，一个国家的繁荣发展离不开人民的社会责任心，而当集体面临风险时社会责任心显得尤为重要，这次疫情防控也涌现出无数平凡的英雄，共同迎来阶段性的胜利.教师通过育德于教，将科研天使、白衣天使、新闻天使等防疫事迹自然融合在教学中.大学生是新冠战役不可或缺的力量，他们在社区服务群防群控等关键环节中发挥着重要作用.例如，教师在介绍计数原理知识点时可引入大学生志愿者案例，激发学生的社会责任心.

在社区服务的疫情前线中，正值青春的大学生们响应党和政府的号召冲锋在前.现根据指示，需要往A，B，C，D处分派8名大学生志愿者，且每处各2名，考虑到志愿者的住址与分派处的距离尽量不要过远，A，B位于郊区，甲不派往A，乙不派往B，丙住郊区可派往A，B中一处，则满足该条件的方案有多少种？

志愿者们响应党中央的号召，满怀着极大的爱家爱国热情，在平凡的岗位上履行自己的职责，做着不平凡的事，他们的身影出现在大街小巷、小区社群和深夜伏案的办公桌.除了这些前线辛苦作战的志愿者，90后甚至95后是医护最前线的主力军，教师介绍这些同龄人的慷慨激昂的事迹，激发学生爱国热情，提升对社会的责任心.

2.4 通过政府的疫情决策能力，激发学生对国家的自信心和自豪感

相比全球疫情蔓延形势的日趋严峻，我国疫情已经取得阶段性胜利，充分体现出我国制度优势和道路优势.教师可在讲解概率论与数理统计知识点时引入反映政府疫情决策能力的案例，激发学生对国家的自信和自豪感，坚定“只有中国特色社会主义才能发展中国”的道路自信和“鞋子合不合脚只有自己穿了知道”的制度自信.事实上，寻找防治疫情和经济恢复之间的平衡点一直是政府决策难点.而解题的关键是需要来精准计算不同措施的综合成本和各种情况的概率.从根本上看，传染病其实是随机事件，所以在防治疫情的过程中，需要运用许多概率论与数理统计知识点.比如，教师在介绍完期望的知识点后，以政府的快速检测方案为例体现我国政府的快速应对能力和决策力.

病毒快速检测能力是发现病毒并防止扩散的关键所在.当某地区出现确诊病例时，密切接触者需迅速检测并前往隔离点观察，当出现批量确诊病例时，该片区需集中力量进行全民检测并居家隔离.现某医院收到n份样本，即将对该样本有以下两种方案进行检测：(i)逐份检测;(ii)将k份样品混合检验，如若出现阳性再将其逐次检验.混检的原理是若k份样品存在阳性，混合后仍会出现阳性.事实上，当k过分大时，原阳性样本稀释过分严重导致病毒量过少混检后未被检测出来，因此为了保证准确率，k不大于15.设现收到的样本阳性概率为p，且样本间阳性情况相互独立，由于时间紧迫需尽快完成检测任务，试讨论两种方案的优劣性.若出现批量确诊病例社群的样本阳性概率为1%，试说明开展多轮全员1∶10混检的合理性.

可直接讨论这k份样品情况，第一种方法显然需每份检验1次.现讨论第二种方法，令平均每次需检验X次，所有可能性为1/k和1+1/k，且

P(X=1/k)=(1-p)k， P(X=1+1/k)=1-(1-p)k.

则期望

EX=(1-p)k/k+(1+1/k)(1-(1-p)k)=1+1/k-(1-p)k.

将EX与1进行比较，可得当p>1-k-1/k时第一种方法更合适，当p=1-k-1/k时两者相同，当p<1-k-1/k第二种方法更合适.

由f(k)=1-k-1/k的单调性可得，当2≤k≤15时，0.31>f(3)≥f(k)≥f(15)>0.165.当样本来自密切接触者时，阳性概率p较大，不适合混检，逐个检验更加好.当样本来自某区块统一检测时，其阳性概率明显小于0.165，则p<0.165

特别地，当p=0.01，g(k)=EX=1+1/k-0.99k，则g(k)在[2，10]单调递减，在[11，15]单调递增，g(11)=0.19557最小，而g(10)=0.19562与其相差甚微，但其阳性准确率比1∶11混检更大，因此采用k=10较为合理.事实上1∶10混检在河北、黑龙江、吉林等各地广泛使用，一般来说，中高风险地区阳性概率不超0.4%，g(k)在[2，15]单调递减，且[10，15]降速较慢，但检测准确率降低，取10是折中较优的方案.假设现对全市100万人进行全面检测，阳性概率约为0.02%，一天的检测次数为上限两万，逐检需50天严重耽误战机，但若按1∶10混检，g(10)=0.1，即每份初始样本只需0.1次检测，只需5天，节省大量时间.

教师介绍政府快速封城、快速检测、快速恢复经济、全民疫苗等富含概率论与数理统计知识的教学案例，对比国内外疫情形势，学生深切感受到祖国的伟大和党领导的正确性，更加坚定“四个自信”，对国家的自信和自豪感油然而生.

3 教学效果

本学期蕴含新冠战役思政元素的概率论与数理统计课程是面向2019级食工专业及部分重修学生.经过一学期的教学实践，为了评估该思政元素融入课堂的效果，在期末向学生发放了相关的调查问卷，共回收了73份问卷.该问卷主要是针对以上四个思政主题效果进行评估，从图1结果上看，学生对国家的自信心和自豪感明显认同，对学习的兴趣提升明显，科技报国心也有些萌芽，相对来说提升社会责任心方面的效果有待改善.此外，绝大多数学生认为这些相关疫情案例穿插比较自然，并不生搬硬套，也不影响教学进度.最后调查问卷还收集了学生对该课程的收获或者建议.有些学生感慨，概率论与数理统计原来如此有用，大到国家决策，小到生活点滴，极大提升了学习兴趣，弄清了大数定理和中心极限定理比较有成就感；也有学生表示，一方面，我国疫情有效控制与国外疫情严重蔓延的对比体现出制度优势，增长了对制度的自信，另一方面，国外对我国科技的围堵让我们感受到唯有科技振兴才能富国强国不受欺，希望为祖国的科技兴国出一份力.此外，由表1所示，该学期的学生成绩显著提高，优秀率高达30.00%远超其他学期，而及格率不如预期，这是由于某些重修学生经常旷课和学习态度不端正，综合来看本学期的课程思政明显提高了教学质量，同时达到了思政教育的目的.

图1 课程思政调查问卷统计表

表1 课程思政学期与其他学期的成绩分布对比

4 结 论

新冠战役的阶段性胜利是我国政治制度优势的体现，该背景下的思政教育让学生更有参与感，丰富知识体验.同时，也更明白政府决策背后的科学性，新冠战役精神大大激起学生爱国热情.如何将知识点和学生兴趣点及思政元素相融合始终是教师的目标，这更需要教师保持学习的热情，紧跟社会热点，提高培养社会主义接班人的责任感，激发学生的“四个自信”、社会责任心和科技报国心，帮助树立正确的世界观、人生观和价值观，从而达到课程思政的效果.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.