立体几何初步核心考点综合演练

■欧阳亮 程 波

一、选择题

1.下面关于空间几何体的定义或结构特征叙述错误的是( )。

A.空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱

B.有两个侧面都是矩形的三棱柱,它的侧棱垂直于底面

C.以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥

D.底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心

2.设平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,且正方体的棱AB,CC1,A1D1在平面α上的射影相等,那么满足条件的平面α的个数为( )。

A.3 B.4

C.5 D.6

3.设m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,给出下列四个命题:

①若m//α,m//n,则n//α;②若m⊥α,m//β,则α⊥β;③若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β;④若m//n,α//β,则m与α所成的角和n与β所成的角相等。

其中正确命题的序号是( )。

A.①② B.①④

C.②③ D.②④

4.(多选题)如图1,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置,连接PC(如图2)。在翻折过程中,下列说法正确的是( )。

图1

图2

A.PC与平面BCD所成的最大角为45°

B.存在某个位置,使得PB⊥CD

图3

二、填空题

图4

三、解答题

图5

(1)求证:PD⊥平面ABCD.

(2)求证:平面PAC⊥平面PBD。

(3)求二面角P-BC-D的平面角的大小。

图6

图7

图8

一、选择题

1.提示:由四棱柱的定义知,A 正确。由直线与平面垂直的判定定理知,得到这两个侧面的交线垂直于底面,B 正确。由圆锥的定义知,C 正确。底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影不一定是底面正多边形的中心,D 错误。应选D。

2.提示:棱AB,CC1,A1D1在平面α上的射影相等,即棱AB,AA1,AD与平面α所成的角相等。若三条棱在平面α的同侧,这样的平面有1 个;若其中一条和另外两条分别在平面α的异侧,这样的平面α有3 个。故满足条件的平面α的个数为4。应选B。

3.提示:若m//α,m//n,则n//α或n⊂α,①不正确。若m//β,则β内必存在一条直线m＇//m,因为m⊥α,所以m＇⊥α。又m＇⊂β,所以α⊥β,②正确。若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊂β或m//β或m与β相交,③不正确。若m//n,α//β,则m与α所成的角和n与β所成的角相等,④正确。应选D。

4.提示:对于A,取BD的中点O(作法略),因为四边形ABCD是菱形,O是线段BD的中点,所以OP⊥BD,OC⊥BD,所以BD⊥平面POC。因为BD⊂平面BCD,所以POC⊥平面BCD。因为平面POC∩平面BCD=OC,所以PC在平面BCD的射影为OC,则∠PCO是PC与平面BCD所成的角。由PO=OC,可知△POC是等腰三角形,当∠POC=60°时,PC与平面BCD所成角为60°,A 错误。对于B,当PD=PC时,取CD的中点N,可得CD⊥PN,CD⊥BN,所以CD⊥平面PBN,PB⊥CD,B 正确。对于C,因为四边形ABCD是菱形,O是线段BD的中点,所以PO⊥BD,CO⊥BD。因为BD是平面PBD与平面CBD的交线,所以∠POC是平面PBD与平面CBD所成的角。因为二面角P-BD-C的大小为90°,所以∠POC=90°。易得PO=OC= 3,所以PC= 6,C正确。对于D,易得BN= 3,若点B到平面PDC的距离为3,则BN⊥平面PCD。因为BP=2,BN= 3,所以PN=1,ND=1,所以PD= 2≠2,显然不可能,D错误。应选B,C。