剖析立体几何中的“动态”问题

■沈建良

所谓动态立体几何问题,是指在点、线、面运动变化的几何图形中,探寻点、线、面的位置关系或进行有关角与距离的计算。立体几何中常求解一些固定不变的点、线、面的关系,若给静态的立体几何问题赋予“活力”,渗透了“动态”的点、线、面元素,立意会更新颖、更灵活,能培养同学们的空间想象能力。下面是对破解立体几何“动态”问题的一些思考,以期抛砖引玉。

一、“动态”问题之轨迹问题

例1 如图1,在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,N分别是CC1,C1D1,DD1,CD,BC的中点,M在四边形EFGH边上及其内部运动,若MN//面A1BD,则点M轨迹的长度是( )。

图1

解：因为在边长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别是CC1,C1D1,DD1,CD的中点,N是BC的中点,则GH//BA1,HN//BD。又GH⊄面A1BD,BA1⊂面A1BD,所以GH//面A1BD。同理可得,NH//面A1BD。又GH∩HN=H,所以面A1BD//面GHN。

二、“动态”问题之定值问题

例2 如图2,在单位正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动。

图2

给出以下四个命题:①异面直线A1P与BC1间的距离为定值;②三棱锥D-BPC1的体积为定值;③异面直线C1P与CB1所成的角为定值;④二面角P-BC1-D的大小为定值。其中真命题的序号是( )。

A.①② B.③④

C.①②③ D.①②③④

解：对于①,异面直线A1P与BC1间的距离即为两平行平面ADD1A1和平面BCC1B1间的距离,即为正方体的棱长,为定值,①正确。对于②,VD-BPC1=VP-DBC1,因为S△DBC1为定值,点P∈AD1,AD1//平面BDC1,所以点P到平面BDC1的距离即为正方体的棱长,所以三棱锥D-BPC1的体积为定值,②正确。对于③,在正方体ABCDA1B1C1D1中,因为B1C⊥平面ABC1D1,而C1P⊂平面ABC1D1,所以B1C⊥C1P,即这两条异面直线所成的角为90°,③正确。对于④,因为二面角P-BC1-D的大小即为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角的大小,而这两个平面位置固定不变,所以二面角P-BC1-D的大小为定值,④正确。应选D。

动态立体几何问题,在变化过程中总蕴含着某些不变的因素,因此要认真分析其变化特点,寻找不变的静态因素,从静态因素中,找到解决问题的突破口。

三、“动态”问题之翻折问题

例3 如图3,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点。现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABCF,得到如图4 所示的四棱锥D-ABCF。在平面ABD内过点D作DK⊥AB,垂足为K。设AK=t,则t的取值范围是。

图3

图4

解：过点F作FM⊥AB交AB于点M(作法略)。

设FC=x,0＜x＜1,则MF=BC=1,MB=FC=x。易知AK＜AD=1,AB=2,所以点K一定在点M的左边,则MK=2-t-x。

在Rt △ADK中,DK2=1-t2,在Rt△FMK中,FK2=1+(2-t-x)2。

因为平面ABD⊥平面ABCF,平面ABD∩平面ABCF=AB,DK⊥AB,DK⊂平面ABD,所以DK⊥平面ABCF,所以DK⊥FK。

本题是一个动态的翻折问题,通过发现不变的垂直关系,从而得到相关变量间的关系,最终转化成函数的值域问题。解决折叠问题的关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变的量。

四、“动态”问题之展开问题

例4 已知某圆锥的母线长为3,底面半径为1,则该圆锥的体积为_____。

设线段AB为该圆锥底面圆的一条直径,一质点从A出发,沿着该圆锥的侧面运动,到达B点后再沿侧面回到A点,则该质点运动路径的最短长度为____。

将该圆锥侧面沿母线SA展开,如图5所示。

图5

空间动态问题常转化为平面的动态问题求解。化曲为直是求解曲面上路径长度最短问题的关键。本题是求解圆锥侧面上质点运动路径的最短长度问题,可将圆锥侧面沿一条母线展开成扇形,从而在平面图形中解决问题。