并联式运载器上升段广义超螺旋有限时间控制

罗世彬, 李晓栋, 王忠森, 徐 骋

(1. 中南大学航空航天学院, 湖南 长沙 410083; 2. 复杂系统控制与智能协同技术重点实验室, 北京 100074)

0 引 言

可重复使用飞行器多采用升力式面对称构型,具有升阻比高的特点和长航程与强机动能力,将可重复使用飞行器作为载荷与助推火箭并联捆绑发射,载荷的几何形状和空间体积不受约束,可提高火箭的运载能力,并可实现助推火箭伞降回收,具有较强的应用价值。

并联式运载器垂直发射后的一段时间内舵面效率较低,采用摇摆发动机来调整姿态,发动机关机后则采用气动舵来调整姿态,其上升段飞行空域大、速域宽,经历发动机关机等过程,不可避免地受到总体、结构参数偏差和风干扰等各种不确定性因素的影响,这就要求姿态控制系统在恶劣的飞行环境下具有高可靠性、参数适应能力和较强的抗干扰能力。

由于滑模控制方法对系统的模型不确定性、外部干扰等具有较强的鲁棒性,基于滑模的运载火箭姿态控制得到了广泛研究。自适应滑模控制方法可以有效解决由滑模控制中的不连续控制项引起的系统抖振问题。文献[9]提出了一种自适应模糊滑模控制方法,以应对运载火箭强参数不确定性和大干扰条件下的姿态控制问题。文献[10]设计了自适应滑模反步控制器专门用于运载火箭滚转通道控制,保证系统具有理想的跟踪能力。文献[11]针对运载火箭在大扰动下的姿态稳定控制需求,设计了自适应积分滑模控制器,在干扰上界未知的情况下对其进行自适应估计,实现了运载火箭高精度姿态控制。文献[12]和文献[13]分别将动态面控制、自适应反演和自适应滑模观测器技术结合,研究了运载火箭的姿态控制问题,并且仿真效果良好。

随着对控制性能要求的不断提高,基于滑模的有限时间控制方法在运载火箭中也得到越来越多的关注。文献[18-20]利用干扰观测器对干扰进行快速高精度估计,提出了基于扰动观测补偿策略的有限时间滑模控制方法,实现了参数不确定和复杂干扰下运载火箭飞行高精度姿态稳定控制。文献[21]基于滑模控制和自适应动态规划技术,设计了集容错稳定控制与优化补偿于一身的智能控制方法,解决了运载火箭主动段发动机摇摆机构故障下的有限时间控制问题。文献[22-23]将运载火箭执行机构故障及不确定性一并视作总扰动，设计了有限时间滑模容错控制方法,获取了良好的动态性能和较强的鲁棒性。

高阶滑模控制方法将高频切换控制转移到滑模变量的高阶导数上,有效抑制了滑模抖振,同时保留着传统滑模的良好特性,但对高阶滑模面的导数信息的需求,无疑大大增加了在线计算的复杂度。为了避免求解滑模面导数信息,且仍保留二阶滑模的收敛精度及小抖振特性,现发展起来了一种更为有效的二阶滑模控制算法——超螺旋算法。通过该算法设计的连续控制输入,无需滑模面的导数信息,且能在连续有界的匹配干扰影响下使滑模面及其导数有限时间收敛至零。文献[30]针对运载火箭垂直回收的姿态控制问题,基于扩张状态观测器提出了一种基于改进超螺旋的终端滑模有限时间控制方法,其对模型不确定和外部扰动具有较强鲁棒性,可以对姿态指令进行准确快速跟踪。

本文将姿态控制器的鲁棒设计作为目标,同时研究有限时间控制问题,提出了一种基于广义超螺旋的自适应滑模有限时间控制方法,将应用于单输入单输出(single input single output, SISO)系统的广义超螺旋算法拓展应用到多输入多输出(multiple input multiple output, MIMO)耦合非线性系统,降低了控制系统设计的难度和复杂度,同时系统的有限时间稳定性容易得到保证。首先,考虑模型不确定和外部干扰对并联式运载器的影响,建立了面向控制的模型。其次,基于广义超螺旋算法设计了一种固定时间状态观测器,解决了部分飞行状态不可测问题,为后续控制器设计提供基础。进一步地,基于观测器对状态的估计信息和广义超螺旋算法,设计了一种自适应滑模有限时间控制器,保证了姿态跟踪误差有限时间收敛。然后,利用Lyapunov稳定性理论证明了系统的有限时间稳定特性。最后,通过对比比例-微分(propotional and differential, PD)控制,充分验证本文所提控制方法的鲁棒性、高精度和良好的动态性能。

1 运动建模与问题描述

并联式运载器由助推火箭和可重复使用飞行器组成,两级平行竖立、并联捆绑,采用垂直方式进行发射。上升段采用摇摆发动机和气动舵进行控制,其中发动机采用面对称布局,仅在俯仰平面内做单摆运动,其摆动同时影响绕质心运动和质心运动。

运载器的运动方程由两部分组成,即描述质心运动的平动方程和绕质心运动的转动方程。本文通过飞行器的绕质心运动来获得姿态信息,重点研究其姿态控制问题。为便于研究,假定飞行器为面对称的刚体,箭体坐标系为惯性主轴系,忽略惯性积的影响,给出以下绕质心运动方程:

(1)

(2)

(3)

考虑模型不确定和外部干扰的影响,并将运载器绕质心运动方程写成矩阵方程形式:

(4)

=diag(,,)

(5)

建立姿态跟踪误差系统:

(6)

总扰动连续可微,其本身及其导数未知但一致有界。

本文的控制目标是,基于广义超螺旋算法来设计控制输入,提高并联式运载器的抗干扰能力和响应的快速性,克服模型不确定和外部干扰带来的不良影响,保证姿态跟踪误差有限时间收敛。

2 预备知识

对于∈,即=[,,…,],sig()=[||sign(),||sign(),…,||sign()],sign()为符号函数。

对于状态量,∈,设计以下SISO系统:

(7)

(8)

式中:为有界干扰;,>0;,,≥0;12≤≤1≤。文献[17]构造了包含系统状态的Lyapunov函数((),),并对其求导,经过变换得到以下不等式:

(9)

式中:,,>0。通过以上步骤可以证明系统(7)为固定时间稳定的广义超螺旋系统,具体证明过程此处不再赘述。

对于∈(=1,2,…,),0<≤1,>1,有以下不等式成立:

(||+…+||)≤||+…+||

(||+…+||)≤-1(||+…+||)

定义∈为状态量,为控制输入,给出以下非线性系统:

(10)

若系统(10)存在正定且连续的函数()满足

式中:,>0,0<<1,>1,则该系统固定时间稳定。

若系统(10)存在正定且连续的函数()满足

式中：>0,0<<1,则该系统有限时间稳定。

若系统(10)存在正定且连续的函数()满足

式中:,ϑ>0,0<<1,则该系统实际有限时间稳定,即系统状态能在有限时间内收敛到平衡点的邻域。

定义状态向量,∈,给出以下非线性系统:

式中：0<<1,,是使++为Hurwitz多项式的正常数,则该系统有限时间稳定。

3 基于广义超螺旋的自适应滑模有限时间控制方法

本文控制系统结构如图1所示,将应用于SISO系统的广义超螺旋算法拓展应用到MIMO耦合非线性系统,来开展固定时间状态观测器和自适应滑模有限时间控制器设计。一方面,利用观测器对不可测状态的估计信息,进一步结合自适应控制技术和滑模控制技术,实现各类不确定下的高精度姿态跟踪控制。另一方面,传统的PID控制和基于Lyapunov稳定性理论的方法只能得到渐进稳定的结果,即只有当时间趋于无穷大时系统状态才能收敛,为了控制目标尽快实现,基于广义超螺旋固定时间控制理论来设计控制系统,同时也能降低系统设计的难度和复杂度。

图1 控制系统结构Fig.1 Structure of control system

3.1 固定时间状态观测器

(11)

(12)

式中:=diag(1, )和=diag(2, )为三阶的增益对角矩阵,1, ,2, >0;,,≥0;12≤≤1≤。

针对式(6)所示跟踪误差系统,假设系统输出和控制输入已知,且系统总扰动有界,采用式(11)所示的状态观测器,其估计误差和将在固定时间收敛。

建立估计误差系统:

(13)

根据引理1,选取合适的Lyapunov函数, ((1, ),2, )(=1,2,3)并求导可得

(14)

式中:0, ,1, ,2, >0。

为分析MIMO系统的稳定性,选取以下Lyapunov函数:

(15)

对求导,并根据引理2可得

(16)

式中:0=min{0, };1=min{1, };2=min{2, }。根据引理3可知,状态观测器的估计误差将在固定时间收敛。

证毕

3.2 自适应滑模有限时间控制器

选取终端滑模面:

(17)

式中:,是使++为Hurwitz多项式的正常数;=(2-);0<<1。

考虑到实际应用中指令加速度难以获得,故实际的终端滑模面:

(18)

针对跟踪误差系统(6),为克服模型不确定和外部干扰的影响,增强系统的鲁棒性,基于广义超螺旋算法设计如下自适应滑模有限时间控制器:

(19)

(20)

式中:=diag(1, )和=diag(2, )为三阶的增益对角矩阵,1, ,2, ≥0;,,≥0;12≤≤1<。为了提高控制的快速性和鲁棒性,将1, ,2, 设计成与滑模面有关的自适应增益:

(21)

式中:1, ,1, ,1, >0;, 为滑模面阈值。

基于上述设计的控制方法,系统的稳定性分析在以下定理中给出。

对于跟踪误差系统(6),在固定时间状态观测器(11)和自适应滑模有限时间控制器(19)作用下,系统是有限时间稳定的,即跟踪误差,能在有限时间收敛。

对终端滑模面(18)求导可得

(22)

将控制律(19)代入滑模面导数(22)可得

(23)

当固定时间状态观测器稳定后,式(18)和式(23)可分别写为

(24)

(25)

(26)

式中:0, ,1, ,2, >0。

为分析MIMO系统的稳定性,选取以下Lyapunov函数:

(27)

(28)

式中:0=min{0, };1=min{1, };2=min{2, }。

(29)

对正定的, 求导,可得

(30)

对式(26)进行放缩,可得

(31)

引入辅助变量2, >0,联立式(31)、式(30)可写为

(32)

令

(33)

假设自适应增益1, ,2, 有界,式(32)可写为

(34)

式中:=min{0, ,1, ,2, }。

根据引理2,可得

(35)

将影响自适应增益的参数按以下两种情况展开讨论。

(36)

要使=0,可以通过以下自适应增益2, 来实现:

(37)

式中:

式(37)意味着,任意选取1, ≥0,总能构造两个辅助变量2, ,2, >0来证明式(36)等号右边为0,即=0。

综合以上两种情况,式(35)可写为

(38)

为分析MIMO系统的稳定性,选取以下Lyapunov函数:

(39)

对求导,根据引理2,可得

(40)

式中:=min{};=max{}≥0。

当任意通道的滑模面均大于其阈值,即>, 时,则满足=max{}=0,1, ,2, 按收敛到原点的方式进行动态响应;一旦在有限时间内存在≤, 使=max{}>0成立,则1, ,2, 将在有限时间到达滑模面的邻域,最终1, ,2, 将在有限时间收敛到原点的邻域。

证毕

4 仿真验证与结果分析

本节利用Matlab/Simulink数值仿真,验证所提控制方法的有效性。并联式运载器垂直发射后一段时间内速度低,动压尚未建立,气动舵控制效率低,故初期仅采用发动机进行俯仰控制。发动机工作时间为52 s,50 s后推力开始剧烈减小,为保证控制系统稳定,选取50 s时刻为执行机构切换节点,发动机退出俯仰控制,升降舵介入提供后续俯仰操纵力矩,则操纵力矩可表示为

(41)

式中:

(42)

为充分验证本控制方法的优良性能,引入PD方法进行对比仿真。考虑到摇摆发动机和气动舵的控制能力差异较大,PD方法在执行机构切换的同时需要同步进行控制增益切换。本方法的状态观测器参数=50,=8,=18,=800,=25,=60,=4,=2,=1,=09,=11;自适应滑模控制器参数=100,=60,=1,=1,=1,=06,=12,=095,=012,=005,=005,=2,=2,=2,=06,=05,=05。姿态控制仿真结果如图2～图17所示。

图2 俯仰角跟踪Fig.2 Pitch angle tracking

图3 俯仰角跟踪误差Fig.3 Pitch angle tracking error

图4 偏航角跟踪Fig.4 Yaw angle tracking

图5 滚转角跟踪Fig.5 Roll angle tracking

图6 俯仰操纵力矩Fig.6 Pitch control moment

图7 偏航操纵力矩Fig.7 Yaw control moment

图8 滚转操纵力矩Fig.8 Roll control moment

图9 发动机摆角Fig.9 Engine swing angle

图10 升降舵偏角Fig.10 Pitch rudder angle

图11 方向舵偏角Fig.11 Yaw rudder angle

图12 滚转舵偏角Fig.12 Roll rudder angle

图13 俯仰角速率跟踪误差的估计误差Fig.13 Estimation error of pitch rate tracking error

图14 偏航角速率跟踪误差的估计误差Fig.14 Estimation error of yaw rate tracking error

图15 滚转角速率跟踪误差的估计误差Fig.15 Estimation error of roll rate tracking error

图16 自适应增益k1Fig.16 Adaptive gains k1

图17 自适应增益k2Fig.17 Adaptive gains k2

图2所示的俯仰角跟踪曲线表明两种方法均取得良好的跟踪控制效果。图3～图5给出了姿态角跟踪误差对比曲线。由图可知,本文方法的跟踪误差更小:俯仰角、偏航角和滚转角跟踪误差绝对值分别小于0.2°、0.01°和0.03°,具有相对更好的控制效果。在50 s俯仰通道进行控制切换时,对三通道均造成一定影响,但在有限时间控制器的作用下跟踪误差又迅速收敛,尽管PD控制针对不同执行机构的控制能力做了增益切换,结果仍出现了较大的跟踪误差。

图6～图8给出了操纵力矩变化曲线。从图中可以看出,操纵力矩总体平稳,变化范围合理。俯仰操纵力矩在2.6 s、7 s和50 s出现了剧烈变化,其原因分别为:运载器开始执行程序转弯,俯仰通道产生偏差;马赫数大于0.3后考虑气动影响,气动系数模块接入动力学模型造成被控模型突变;俯仰通道执行机构切换造成控制力矩不连续,由原本控制能力较强的摇摆发动机切换至相对弱的气动舵,对指令响应的实时性变差。

图9～图12给出了摇摆发动机和等效气动舵两类执行机构的动态响应曲线。由图可知,50 s以前摇摆发动机最大摆角不超过7°,偏离零位不超过2°,具有较高的操纵效率。50 s摇摆发动机后自动归零位,退出控制。升降舵在50 s后开始动作,平稳快速地进行偏转、变化范围合理,顺利完成了俯仰方向上摇摆发动机与气动力控制的交接。52 s后摇摆发动机关机,质量和质心不再变化,其零位保持不变。方向舵和滚转舵在20 s后开始偏转以抵消横侧向干扰。

图13～图15给出了固定时间状态观测器对角速率跟踪误差的估计误差曲线。从图中可以看出,观测器对俯仰通道的估计误差的绝对值不超过2.5°/s,对偏航、滚转通道的估计误差的绝对值始终保持小于0.05°/s的量级,具有良好的估计性能。在20 s和50 s分别受横侧向外部干扰和执行机构切换影响,估计误差产生了有界振荡,之后迅速恢复平稳状态。

图16和图17给出了自适应增益变化曲线。由图可知,控制增益随着自适应算法不断改变,实现了控制量的不过高估计。进入程序转弯后,俯仰通道的自适应增益开始从0产生变化;横侧向20 s后受到干扰力矩的影响,自适应增益开始从0产生变化。

5 结 论

本文针对上升段面临模型不确定和外部干扰的并联式运载器姿态控制问题,提出了一种基于广义超螺旋算法的自适应滑模有限时间控制方法。将SISO固定时间广义超螺旋算法拓展应用到MIMO耦合非线性系统上,设计了一种固定时间状态观测器,成功实现对角速率跟踪误差的精确估计。在上述状态观测器的基础上,将自适应控制技术与终端滑模控制技术结合,进一步基于广义超螺旋算法,设计了一种自适应滑模有限时间控制器,保证各类不确定下的高精度姿态跟踪控制,降低了系统设计的难度和复杂度。仿真对比结果表明,本文所提方法有效并具有一定优越性。