圆锥曲线统一焦半径定比公式

赖平民 黄艺超

通过极坐标系可以完美实现高中数学中三个圆锥曲线方程的统一，当然极坐标系不止方便了对圆锥曲线的研究，也可以研究很多“美丽”的曲线，比如对数螺线、玫瑰线、心脏线、双纽线等等，这里不做介绍，高中教材对极坐标系中三个曲线方程的统一形式的要求较低，研究并没有深入，一些教师也并不重视，很多学生几乎都忘了有这个知识点，其实该知识点不只是在原来高考中选考部分应用，在选择题、填空题中一些中档偏难的题目涉及圆锥曲线的焦半径的考查也很常见的，因此一些学有余力或对数学特别喜欢的学生对圆锥曲线统一方程可以进行一些更深入的探讨及延伸，不仅对一些题目可以起到简化解题过程、另辟蹊径的效果，也加深了学生对圆锥曲线及极坐标方程的认识，本文引用圆锥曲线在极坐标系下统一方程的结论，进一步推导统一圆锥曲线焦半径定比公式，并进行简单的应用.

1.圆锥曲线统一方程

2.焦半径定比公式

由以上四个类型的方程，我们可以进一步研究直线过曲线焦点的各种情况，并得到焦半径之比与离心率和极角之间的关系，圆锥曲线焦点弦交曲线所得焦半径定比公式有多种形式，特别是双曲线焦半径定比公式有所不同，以直线所过焦点为极点，右方向为极轴，建极坐标系，根据不同曲线及极点所在的不同位置有多种情况，不妨设焦半径之比

3 焦半径定比公式的统一

以上四种情况所得到的关系式对抛物线及过焦点的直线与双曲线两个交点在同一支时同样适用，但当直线l交双曲线于两支时有所不同，情况比较复杂，由极坐标方程推导定比关系式也不尽相同，具体又有另外八种情况，现以焦点在x轴，中心在原点的双曲线右焦点为极点的两种情况为例，设倾斜角为a的直线l与双曲线左右支的两个交点

①双曲线的右焦点F为极点，若直线l过极点且倾斜角a∈（0，β）时与双曲线的左右两支交于A，B两点如图3，则：

②双曲线右焦点F为极点，若直线l过极点且倾斜角α∈（π-β，π）时与双曲线两个交点在左右两支时如图4，则：

4 焦半径定比公式的应用

例1 （2020年高考福建省质检.10）设曲线E的方程为y= 6x2，曲线E的弦AB过焦点F，|AF|=3|BF|，过A，B分别作E的准线的垂線，垂足分别是A'，B'，则四边形AA'B'B的面积等于（ ）.

A. 4√3

B. 8√3

C. 16√3

D. 32√3

分析本题考查过定点的直线与己知抛物线的位置关系、直角梯形的面积，抛物线的定义等知识点，一般采用的解题方法是假设直线方程，与抛物线方程联立，由|AF|=3|BF|，通过根与系数关系求直线方程，进一步求A，B两点的坐标解题，作为一道选择题此法运算偏繁琐;也可过B点作AA'的垂线，把梯形分解为矩形和直角三角形，由抛物线定义结合几何关系解题，线段间的关系转换比较多，以下通过焦半径定比公式解题，

分析 本题主要考查学生数学运算、逻辑推理能力，一般解题策略是假设过P点的直线方程，设A，B两点的坐标，联立抛物线方程，由线段PA与PB乏间的关系通过坐标运算求A，B两点的坐标求解，运算相对费时费力，变形过程技巧较多，以下简单介绍焦半径定比公式的解题方法，

例3 （2020年高三第三次质检福州卷.16）已知梯形ABCD满足AB∥CD，∠BAD= 45°，以A，D为焦点的双曲线Γ经过B，C两点，若|CD|=7 |AB|，则Γ的离心率为____.

分析 本题考查运算能力、推理能力;考查数学运算、直观想象等核心素养，综合性较强，常规的联立方程根据根与系数关系解法过程相对繁琐，以下介绍用焦半径定比公式进行解题的方法，

关于圆锥曲线在极坐标系中的研究及定比公式的统一形式，不应该作为一种结论直接让学生记忆，一味提倡学生盲目地模仿、机械地解题，肤浅地强调进行所谓“秒杀”题目，而应该研究各种方程在极坐标下的统一过程，直线与曲线的各种不同相交情形下的焦半径定比公式的推导以及统一形式的过程，引导学生共同推演，逐步完善，是一个很有趣的思维拓展过程，可以提升学生逻辑推理、直观想象等数学学科核心素养，增强对数学知识拓展的兴趣，丰富解题手段的多样性，

参考文献

[1]周和卿.再探圆锥曲线的统一的极坐标方程[J].数学学习与研究，2012 （17）：88-90

[2]王树禾.普通高中实验教科书：数学（选修4-4坐标系与参数方程）[M].长沙：湖南教育出版社，2009

[3]赵笃全.关于方程p=ep/1-ecosθ的推广[J].中学数学教学参考，1994（8）：32

[4]程德吾.有关极坐标系双曲线方程的探讨[J].中学数学教学，1982（02）：16-21