也谈数学多选题的命制方式

吴青平

2020年是山东、海南实行综合改革后的首次高考，新高考数学在题型上把选择题分成单选题和多选题，“多选题的引入，为数学基础和数学能力在不同层次的学生提供了发挥空间，同时能够更加精准地发挥数学科考试的区分选拔功能.”[1]

其实，对于多选题我们并不陌生，回顾以往的高考试题，在选择题和填空题中都能找到多选题的影子，它们基本上都是以判断命题是否正确的形式出现，新高考I卷第9题（II卷第10题）、第11题（n卷第12题）、第12题，新高考II卷第9题便是这种形式，有学者针对新高考的多选题，提出四种命制方式，即“相同或不同知识块命题的多样性”，“一个数学对象属性的多样性”，“相同条件下可推出的结论的多样性”，“条件削弱导致的结论的多样性”等，[2]所展示的试题大致也都是判断命题真假的结构，这些试题或者以同一数学对象为载体，考查该数学对象的不同性质或不同表示方式;或者考查不同数学对象的相同性质，这样便为我们提供了多样的试题命制方式.

1 数学对象属性的多样性

高中数学所学习的许多数学对象都可以作为考查的对象，如函数主题下的集合、函数、方程、不等式、数列;几何与代数主题下的空间几何对象及图形、解析几何中的直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等，从数学结构看，高中数学主要研究一个数学对象的特征，或两个数学对象的关系，试题的命制也主要围绕这两个方面展开.

1.1 一个数学对象的特征研究

该类试题，主要是给定一个数学对象，设置不同性质以判断其真假，是多选题命制的主要方式，数学对象可以由代数形式给出，如函数的解析式、曲线的方程、数列的通项公式等，有时代数形式中也会含有参数，需要对参数进行讨论;数学对象也可以由几何图形展示，考查学生从图形中提取有用信息的能力，下面通过不同的试题加以说明，

题1关于函数f（x）= sinx+cosx，下列结论正确的是（ ）.

A.f（x）的最小正周期是2π

B.f（x）的最大值是2

c.f（x）在（π/4，3π/4）上单调递增

D.f（x）的图象关于直线x=π/4对称

答案：AD.

與单选题考查数学对象单一的性质比较，多选题能够更好地考查学生对数学对象各个方面的性质的理解，从而更精准地测试和区分了不同层次学生的数学能力水平.[1]题1设计的四个选项全面考查了三角函数的周期性、单调性、对称性及最值问题，除此之外，还可以考查三角函数的其它性质，如奇偶性、图象变换、在给定区间的值域、与其它函数图象的交点等.函数的形式可以是直接给出的的正弦型函数（f（x）= Asin（ωX+φ）），也可以是通过三角恒等变换后得到正弦型函数，如题1的f（x）= sinx+cosx;或者需要利用降幂公式化为正弦型函数，如f（x）= sin（sinx+cosx）;还可以是多项式函数与三角函数的复合，如f（x）= cosxsin2x （2013年全国高考大纲卷）.通过这样的设计，按考查目标要求便可以编制大量的多选题，

对于函数及圆锥曲线，可以按类似的方式编制试题，题目从容易题到难题，有很大的选择空间，我们举一个与圆有关的简单问题：

题2已知方程X2+ y2—2ax - 2ay=0表示圆，则下列结论正确的是（ ）.

A.圆心在直线y=x上

B.圆心在直线y=-x上

C.圆经过原点

D.圆的半径为√2a

答案：AC.

题2以圆的方程为载体，考查点（圆心）与直线、点与圆的位置关系以及圆的半径等最基本的知识内容，圆心及半径会随着参数而改变，在变化中存在着不变的性质，这便是本题考查的实质，当然，从这些不变的性质出发，可以拓展考查直线与圆的位置关系，如弦长、切线等，按这样的思路可以编制大量与圆有关的多选题，

题3己知等比数列{an}的公比为g，则下列结论正确的是（ ）.

A.若{an}为递增数列，则a1>0

B.若{an）为递增数列，则q>0

C.若q>1，则{an}为递增数列

D.若a1

答案：BD.

题3以等比数列为背景考查数列的单调性，从充分条件和必要条件两个角度设计问题，学生要正确解决问题，需要掌握等比数列{an}为递增数列等价于（ ）

.以此题为范例，可以编制考查数列（如等差数列、可给定递推公式的数列）的性质的多选题，

如果在函数的解析式或曲线的方程中引入参数，则可考查的面就更加的宽广了，模仿新高考I卷第9题（n卷第10题），编制如下与函数性质有关的多选题：

题4己知函数f（x）：ax+b/x（ab≠0），下列结论正确的是（ ）.

A.f（x）的定义域为{xlx≠0}

B.f（x）是奇函数

C.当ab<0时，f（x）的值域为{y|y≠0}

D.当ab>0时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增

答案：AB.

题4所给的函数，有些性质是共通的，如定义域、奇偶性，有些性质与参数a，b的取值有关，如值域、单调性，因此对函数性质的考查是全面而且深刻的，本题可以对参数a，b进行赋值，得到不同的函数形式，则考查函数的性质将更加丰富，

由上可见，一个数学对象的特征研究是多选题编制的源泉.

1.2两个数学对象的关系研究

除了一个数学对象的特征研究外，两个数学对象之间的关系，也是高中数学研究的重点，如函数的图象变换、两个函数之间的关系、直线与圆锥曲线的位置关系等，是试题命制的主要依据，下列结论正确的是（ ）.

A.函数f（x），g（x）都是偶函数

B.函数g（x）在[0，+∞）上为增函數

C.[g（x）]2一[f（x）]2=l

D.[f（x）]2+[g（x）]2=g（2x）

答案：BCD.

题5是源于教材而高于教材的试题，主要考查函数的奇偶性、单调性（一个数学对象的特征研究）以及两个函数之间的运算关系，考查学生对指数幂的运算性质和指数函数的性质的掌握程度，以及运用化归与转化的思想进行推理论证的能力，

题6已知点P（a，b），直线l：ax +by=1，圆O：x2+ y2 =1，则下列结论正确的是（ ）.

A.若点P在直线，上，则点P在圆O上

B.若点P在圆p上，则直线，与圆O相切

C.若直线，与圆O有两个公共点，则点O在圆内

D.若直线l与圆O相切，则切点为P

答案：ABD.

题6全面考查了点、直线与圆的位置关系，直线l与圆P相切，切点就是点P，这个结论显得简洁而优美，无论从代数形式（点的坐标，直线、圆的方程）还是几何特征，都要给人赏心悦目的直观感受.

1.3数学图形的研究

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，不仅通过代数形式研究一个数学对象的特征和两个数学对象的关系，而且也重视通过图形直观来研究数学对象的特征及关系，高中数学尤其重视对图形的研究，如函数的图象，直线、圆锥曲线的几何表示，统计图表等，通过图形考查学生的识图及信息整理能力，

题7如图1，A（2，0），B（1，1），C （-1，1），D（-2，0），DC，CB，B分别是以OD，BC，O为直径的圆的一段圆弧，三段圆弧构成曲线Q，则下列说法正确的是（ ）.

A.曲线Q的长度为2π

B.曲线Q与x轴围成的面积为3π/2

C.直线x+y - 2√2=0与CB，BA都相切

D.圆x2+y2 =3与曲线Ω有4个交点

答案：AD.

题7的图形来源于2019年全国Ⅲ卷高考试题，借助图形考查曲线Q的几何特征（长度、面积）以及直线与曲线Q、圆与曲线Q的位置关系（相切及交点个数），考查目标明确且多样，优美的图形为试题锦上添花，

不仅如此，题7还为我们提供了编制该类试题的模板，我们也可以寻找一些优美的图形，设计考查几何特征及与其它曲线（主要是直线或圆）的关系（可以是位置关系，也可以是数量关系）.更进一步，还可以给出曲线的方程，让学生画图后再进行判断，题8是源于教材的一道试题，与题7有异曲同工之妙，这也是我们在题7的基础上编制的多选题，并提供两种备选项，以此说明试题命制的多样性：

题8对于曲线Ω：x2+ y2-|x|-|y|=0，下列说法正确的是（ ）.

备选1：A.曲线Q是中心对称图形

B.曲线Ω有且仅有两条对称轴

C.曲线Ω的长度为4π

D.曲线Ω围成图形的面积为π+2

答案：AD.

备选2：A.连接曲线Ω围成图形的内部任意两点的线段在曲线Ω的内部

B.P，Q为曲线Ω上两点，则|PQ|的最大值为2√2

C.若直线y=a与曲线Ω有公共点，则

D.若圆x2+y2=r2（r>0）与曲线Ω有4个交点，则r=√2

答案：BC.

题7给出图形，考查学生的识图能力，这是由形思数的直观想象;题8则考查学生的画图、识图能力（也可以直接由方程来讨论其相关性质），这是以数助形的角度看问题，着重考查直观想象数学核心素养，备选1考查一个数学对象的特征——曲线Ω的对称性、长度、面积，属于容易题;备选2则考查两个数学对象的关系——曲线Ω上的点，曲线Ω与直线、圆的相交问题，属于中难题，模仿题7与题8，可以设计一系列有关方程与函数的问题，从易到难，随心所欲，

题9 2020年两会“部长通道”工信部部长表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，下图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，则下列说法正确的是（ ）.

A. 2022年我国5G用户规模年增长率最高

B. 2022年我国5G用户规模年增长户数最多

C.这十年我国的5G用户规模，后5年的平均数大于前5年的平均数

D.这十年我国的5G用户规模，后5年的方差大于前5年的方差

答案：AC.

题9要求学生对所给图形（折线图及条形图）中蕴含信息进行提取、加工，总结规律性的结论，考查学生对现实生活中实际数据的分析处理并做出统计推断的能力，对统计图表中提供的数据进行分析和处理在近年的高考试题中经常出现，它们都可以改编成多选题.

2 不同数学对象具有相同属性

从数学对象的性质看，不同数学对象的一些性质可以是相同的，因此命题时可以把相通的性质作为题干，选项则设计为不同的数学对象，这也是多选题命制的重要方式，之前那些题干设问为“可以是”的开放性试题（结论不唯一），便可以改编成多选题，下面举例加以说明：

题10己知数列{an}的前4项分别为2，0，2，0，下列各式可以作为数列{an}的通项公式的是（ ）.

答案：ABC.

给出数列的前几项，它的通项公式不一定是唯一的，有时会有多种表达形式，题10中的摆动数列就是典型的例子，

题11下面四个条件中，使“实数x，y中至少有一个数大于0”成立的充分而不必要的条件是（）.

A. x+y>0

B. xy>0

C.x-|y|>0

D.|x|-y>0

答案：AC.

一個结论成立的充分或必要条件也是不唯一的，这样的试题与让学生判断两个条件之间的充分必要关系相比，更加深刻地考查了学生对充分必要条件的理解与掌握程度.

题12如果函数y=f（x）在区间D上是增函数，函数y=f（x）/x在区间D上是减函数，则称函数y=f（x）是区间D上的“缓增函数”，下列函数在（0，1）上是缓增函数的是（ ）.

A.f（x）=x+1

B.f（x）=x2+1

C.f（x）=ex

D.f（x） = Inx

答案：ABC.

把函数（或曲线）的性质作为题干出发探究满足相关性质的函数（或曲线），是“一个数学对象的特征研究”的逆向问题，也是命制多选题的主要素材，题12以函数的单调性为载体，展示了这类试题编制的模板，由此出发，考查函数的定义域、值域、奇偶性、最值等;或者把若干性质综合考查，可以得到大量的多选题，选项中的函数也具有多样性，根据考查知识及目标进行选择，全面考查函数的基本概念及其性质特征，

比较大小是函数单调性的具体表现形式，新高考全国I卷第11题（n卷第12题）的选项ACD都指向ab与1/4的关系比较（由题干可得ab≤1/4），因此该题也可以归于相同属性的不同表达形式，题13对不等式性质的考查，正是这类试题的共性：

题13己知a>b>c，则下列不等式一定成立的是（ ）.

A.a+b> 2c

B.a-b>b-c

C. ac >bc

D.1/a-c<1/b-c

答案：AD.

3结语

本文并非旨在对多选题进行分类，只是在探究试题命制的过程中，为了较为有条理地阐述笔者的思考，而不自觉地按分类的习惯予以呈现，以上的“归类”不一定是全面的，也不一定是准确的，但按这样的脉络，对数学多选题的命制便有了清晰的认识，在平时命制多选题时便不会无从下手，更为重要的是，按这样的思路，我们可以进一步探究数学多选题的育人价值，以及关键能力的考查及课堂评价，值得尝试，

参考文献

[1]教育部考试中心.以评价体系引领内容改革以科学情境考查关键能力——2020年高考数学全国卷试题评析[J].中国考试，2020（8）：29-34

[2]金钟植.浅谈数学多选题的四种命制方式[J].高中数理化， 2020（7）：10-12