一道空间轨迹题目的背景研究与深度挖掘

许鲔潮 麦桂崧

在高考改革的过渡时期，2020年高考山东数学试题受到广泛的关注，该试卷试题设计严格，聚焦主干知识;凸显直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学建模等核心素养;体现数学的应用性，渗透数学文化，关注创新，第16题是其中典型代表，本文尝试透过这道试题表面挖掘试题深处隐含着的背景，领会解题思路，洞悉命题意图.

1 试题呈现

例1（2020年高考山东卷.16）己知直四棱柱ABCD - A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD= 60°，以D1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为______.

分析本题考查球面与直四棱柱侧面交线长的计算问题，体现了直观想象和逻辑推理等核心素养，突破的重难点在于找出球面与侧面的交线，是一道区分度较大的难题，

如图1，取B1C1的中点为E，BB1的中点为F，CG的中点为G，依题意可得D1E⊥B1C1，由BB1⊥A1B1C1D1，故BB1上D1E，又BB∩B1C1=B1，所以D1E⊥面BCC1B1，设P为轨迹上任意一点，则EP

2 试题背景溯源

这道题的背景是丹德林（Dandelin）双球模型，比利时数学家Germinal Pierre Dandelin于1 882年在一篇论文中用圆锥面和截面之间嵌入两个内切球，证明了圆锥曲线的截线定义与轨迹定义的等价性定理，称为“冰淇淋定理”[1]，定理也说明了为什么把椭圆，双曲线，抛物线统称为圆锥曲线[2]，还可将模型推广到圆柱体，得到“圆柱体Dandelin双球模型”[3].

在高中数学教材中，北师大版和苏教版都将其作为一个教学内容编排，人教版中选修1-1和2-1中第二章的章引言给出了相关的图片及后面的探究与发现中“为什么截口是椭圆”引入了丹德林双球模型，选修4-1《几何证明选讲》中第三讲再次引入，但是笔者查阅资料却发现相关的研究非常少，是一个被轻视的知识点，本文从球的定义及圆的定义出发，得到一个类似的模型“球体截面模型”，并以本题为最近发展区进行深度挖掘，

球体截面模型：有一平面截一个球体，则截面必为圆形，且球心与圆心连线垂直于平面，

证明如图2，点O为球心，任一确定的平面a与球相交得一截面，过球心O作OA⊥a于点A，则|OA|为确定值d.设点B为截面与球交点轨迹上任一点，连接OB，BA，则△OAB为直角三角形，且BA2= OB2-OA2= R2-d2为定值，根据圆的定义，点B的轨迹为一个以点A为圆心，半径为√R2—d2的圆.

3 试题的拓展探讨

空间轨迹这类试题往往涵盖的知识点多，知识跨度大，思维跳躍性强，笔者应用球体截面模型将例题一般化，旨在抛砖引玉探索题型规律，指示解题方法，提高数学核心素养，

参考文献

[1]昌明.Dandelin双球之问[J].数学通报，2018，57 （02）：21-24

[2]罗才忠.关于Dandelin定理的证明[J].数学通报，2004 （10）：6，1

[3]王海青，谈Dandelin双球模型的构建及其教学价值[J].数学通报，2020，59 （01）：10-13，18