电磁与化学突触作用下ML神经元环状网络的分岔同步

张洁　高定强

关键词：网络;电磁;分岔;同步

中图分类号：TP183;O441.4 文献标志码：A

0引言

神经元是神经系统的基本单位，神经元的基本结构有胞体和突起，其中突起进行信息传递，其中化学突触是一种主要的信息传递方式，通过突触前膜释放神经递质，刺激突触后膜产生动作电位，在神经元之间进行信息传递[1]。由于细胞间各带电离子进行跨膜运动时产生的放电行为，会在细胞周围产生小范围的磁场，影响神经元的电位变化。而电位的变化又会引起磁场的改变，导致神经元之间信息传递始终处于一个微弱磁场当中，这势必会对其放电模式及其同步状态产生影响[2]。Ma等人通过对单个神经元模型在电磁辐射下的多模式放电行为的研究，揭示了电磁对神经元放电的影响[3][4]。文献[5]分析了Chay神经元在电磁作用下的平衡点、稳定性及分岔，并研究了全局连接神经元网络的同步问题。文献[6]基于改进的电磁感应神经元模型，检测链神经元网络的集体响应。计算了同步的统计因子，得到了模式稳定性与结耦合和场耦合强度的关系。给出了分岔分析和波的传播。文献[7]将网络中的所有神经元都与小世界连接耦合，并将结果与规则网络中所有神经元完全耦合与最近邻连接的情况进行比较。定义了一个统计变量来研究由于信道噪声和网络拓扑结构引起的螺旋波的集体行为和相变。文献[8]在HR模型的基础上建立磁流体作用下的电活动模型，研究了两个线性和两个非线性模型，观察了从振荡到混沌动力学的各种行为，同步、平衡点、混沌等。文献[9]利用磁通描述的电磁感应，研究了四变量HR神经元模型的相位同步化方法。发现神经元间的磁通耦合能够实现完全的相位同步，同时，神经元间的磁通耦合也能够实现完全的相位同步。

本论述在ML神经元的基础上，在电磁作用下，建立具有化学突触的环状网络神经元系统，运用四阶龙格库塔法，通过数值模拟分析环状网络中神经元系统的分岔行为，并用时间历程图与相图进行验证。之后引入一个统计量同步因子R，分析环状网络神经元系统中的同步行为。

1模型描述

神经元内外磁场变化会引起电磁感应现象，对神经元放电会产生影响，在具有化学突触的模型中引入电磁变量，在以下环状网络中建立ML神经元模型，得到如图1所示模型。

2分岔分析

在数值计算中，采用四阶变步长龙格-库塔方法对考虑环状网络中电磁和化学突触的耦合神经元系统进行分岔分析。

经多次验证，选取耦合强度D=0.06，μ=0.003参数vk进行数值仿真，峰峰间期分岔图如图2所示。观察图2，发现随参数vk不断增加，分岔图首先发生倍周期分岔，当-1.0≤vk≤-0.9755时，神经元系统处于周期1放电，之后发生倍周期分岔，在-0.9755≤vk≤-0.9505，神经元系统处于周期2放电，之后耦合系统继续发生倍周期分岔，进入短暂的周期4放电与周期8放电，之后进入混沌放电，至vk=-0.933时，耦合系统进入周期3放电，之后耦合系统继续进入混沌放电，至vk=-0.914时，耦合系统重新进入周期放电，此时处于周期4放电，之后在很小的区间里发生倍周期分岔，进入周期8放电，随vk继续变大，耦合系统又进入混沌放电，直至vk=-0.8715时，耦合系统重新进入周期5放电，随vk继续变大，耦合系统呈现加周期放电状态，依次进入周期6放电，周期7放电，周期8放电，并在vk≤-0.7内，维持在周期放电的稳定状态。为了验证以上分析的正确性，分别选取vk=-1.0，vk=-0.8，vk=-0.9205下的时间历程图与相图进行验证，如图3所示。选取vk=-1.0时，分岔图显示为周期1放电，时间历程图与相图均为周期1放电，选取vk=-0.8时，分岔图显示为周期5放电，时间历程图与相图均为周期5放电，选取vk=-0.9205时，分岔为混沌放电，时间历程图与相图也为杂乱无章的混沌放电。

经多次验证，选取耦合强度D=0.02，觀察化学突触参数V在不同参数g下峰峰间期分岔图，分析g的变化对V分岔图的影响，如图4所示。观察图4，发现耦合系统随参数Vsyn增加首先呈倍周期分岔，之后通过混沌放电呈加周期放电状态。通过对比图4（a）（b）（c）三张图，发现当g=1.8，放电现象最为丰富，从周期1放电到周期2，周期4放电，以及多次混沌放电。当g=1.6时，对比g=1.8时，耦合系统从周期2放电开始，同样经历倍周期分岔，达到周期4放电及多次混沌放电与加周期放电，且混沌放电区间较g=1.8时分散。当g=2.0，耦合系统呈现倍周期放电，从周期1放电到周期2，周期4放电及混沌放电，但与前两者对比，耦合系统的混沌放电明显减少，周期放电明显增加。

3同步分析

为研究环状网络下神经元系统的同步情况，在这里引入一个统计量——同步的统计因子R[6]，并应用四阶龙格库塔法进行数值分析。

其中〈·〉为变量随时间的平均值，N为神经元数量。网络在R→1处将获得完全同步，而R→0决定了有序空间分布和空间格局的出现，得到非完美同步。相关系数R越大说明耦合神经元的相关程度越高，及耦合神经元系统同步化程度越高。

对环状网络下的ML神经元模型，引入同步的统计因子R，运用四阶龙格库塔法进行数值模拟，得出系统（1）的统计因子R随耦合强度的变化图，如图5所示。观察图5，发现同步统计因子R随耦合强度增大，首先由大变小，之后在耦合强度D=2.0时，骤然变大达到同步，并逐渐向1靠近。图6是进一步对相关系数图的验证，反映了耦合系统随时间尺度的增大，耦合系统放电的状态和同步的情况。取耦合强度D=0.75，R=0.701002，其相图与时间历程图如图6（a）（d）所示，图6（d）中黑色表示第一个神经元的放电节律，红色为第二个神经元的放电节律，图6（a）在平面内不呈现一条斜率为1的一条直线，表示此时耦合系统达不到同步。图6（d）两个神经元的放电节律存在错位，进一步验证了两个神经元之间不同步。取耦合强度D=1.95，R=0.210880，其相图与时间历程图如图6（b）（e）所示，观察图可知，此耦合强度下神经元依然没有达到同步。取耦合强度D=2.0，R=0.968356，其相图与时间历程图如图6（c）（f）所示，图6（c）中的相图在（V，V）平面内呈现一条斜率为1的一条直线，表示此时耦合系统达到同步，图6（f）中时间历程图呈现为一条水平直线，两个神经元都处于静息状态，为静息同步。通过以上分析，发现耦合系统随耦合强度的增大，最后达到静息电位，处于稳定的静息同步中。

4结论

本论述对在电磁作用与化学突触作用下的ML神经元网络模型，运用数值分析的方法进行了分岔分析与同步分析，在分岔分析中主要选择基本参数及化学参数进行分析，并用时间历程图和相图加以验证，并用离散法对不同参数下的分岔图进行了分析。在对环状网络下的耦合系统进行同步分析时，依据参考文献[6]选取的统计因子R进行了数值仿真，并选取时间历程图与相图加以验证。