过程：发展学生数学核心素养的关键

彭燕伟

摘    要：数学核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力和情感态度价值观的综合体现，学生的数学核心素养是他们在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展起来的，鲜明地体现了“过程”的关键作用.教师要以知识的学习为线索，引导学生经历知识发生发展的过程;以知识结构图为媒介，带领学生经历数学知识体系建构的过程;以数学问题为载体，帮助学生经历问题解决的全过程;以实际问题为依托，鼓励学生经历数学建模的过程.学生经历从“四基”到“四能”再到“三会”的素养发展的过程，是发展数学核心素养的关键.

关键词：过程;数学核心素养;数学教学

数学核心素养是“立德树人”教育目标在数学学科中的具体表现，是数学课程目标的核心内容和集中体现.数学核心素养的落实关乎着国家的未来，关乎着数学教育的长远发展，也关乎着每一个学生的前途和命运.因此，如何发展学生的数学核心素养，成了数学教育理论研究和实践探索的重要议题，成了高中数学课程有效实施的关键问题，直接影响着高中数学课程改革不断深化的成效.对此，有研究者提出主题教学、深度学习是发展学生核心素养的重要途径，也有研究者认为落实核心素养要突出学生的主体性.实际上，不论是从核心素养的内涵、本质、特征，还是从核心素养的具体表现和发展路径来看，学生核心素养的发展都应该强调“过程”这一关键因素.

一、发展学生数学核心素养中的“过程”指的是什么

数学核心素养是学生在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展起来的，而数学的学习过程包括数学知识的学习过程和数学知识体系建构的过程，数学的应用过程包括应用数学知识解决数学问题的过程、应用数学知识解决其他学科问题的过程以及应用数学知识解决生产生活问题的过程.因此，在学生数学核心素养发展中强调过程就是强调数学知识的学习过程、数学知识体系建构的过程、应用数学知识解决数学问题的过程、应用数学知识解决其他学科问题的过程以及应用数学知识解决生产生活问题的过程.

二、为什么过程是发展学生数学核心素养的关键

（一）强调过程是数学核心素养内涵的集中体现

数学核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力和情感态度价值观的综合体现，是学生数学素养中关键的、高级的素养[1].不论是具有数学基本特征的思维品质，还是具有数学基本特征的关键能力，或是具有数学基本特征的情感态度价值观，都集中体现出过程的特点.

数学思维是数学对象的本质和数学对象间规律性关系在人们头脑中的反映[2].这种反映的形成包含了对数学对象的分析、综合、概括、抽象、猜测、演绎、归纳、类比等过程.也就是说，数学思维本质上是一种过程，是对数学对象分析综合、概括抽象、猜测演绎、归纳类比的过程.数学思维品质指的是数学思维的个性特征，反映了个体数学思维水平的差异，具体包括思维的深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性和系统性等.学生在学习数学时，只有经历具体的分析、综合等过程，其思维的深刻性等才能得到充分的发展，进而提升思维的品质.

数学能力是一种个体迅速、成功地完成数学活动的稳定的个性特征[3].数学关键能力指的是其中最为关键的、重要的特征.要形成这些关键而重要的个性特征，需要一个漫长的过程，需要学生在各个学段的数学学习中不断积累与发展.数学抽象能力是在概念、命题、方法、体系等的抽象过程中逐步形成的，具体来说就是从小学对数的抽象进阶到初高中对函数的抽象，从小学对几何图形的抽象进阶到初高中对几何图形关系等的抽象，从实物和实际问题的抽象进阶到数学知识结构的抽象等.

数学情感、态度和价值观是学生在数学学习的过程中发展和表现出来的，是学生数学素养中必不可少的组成部分，其发展和获得也具有一定的累积性、延续性和长期性.例如，学习数学的浓厚兴趣，学好数学的自信心，学习数学的积极态度，学习数学的良好习惯，对数学价值的认识等，它们的形成都不是一蹴而就的，也不是靠几节课就能培养出来的，而是需要学生在数学学习的过程中长期积累、不断发展，表现出鲜明的过程性特点.

可见，过程是数学核心素养内涵的集中体现，是数学核心素养的思维品质、关键能力和情感态度价值观等形成的关键因素.

（二）强调过程是数学核心素养本质的高度概括

数学核心素养的本质是描述一个人受数学教育后应当具有的数学特质，可以高度概括为三会：会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界[4].

在高中阶段，数学的眼光具体表现为数学抽象和直观想象两个素养.它们都体现出了一定的程序性和过程性：不论是从现实问题情境中抽象出数量和数量关系、法则，还是从实际物体中抽象出几何图形和图形关系;不论是借助几何直观感知物体形态特征和变化特征，还是利用图形理解和解决具体的数学问题.

在高中阶段，数学的思维具体表现为逻辑推理和数学运算两个素养.它们都体现出了逻辑推理和数学运算素养形成的过程性：不论是从一般到特殊的演绎推理，还是从特殊到一般的合情推理;不论是利用运算性质和运算法则开展运算，还是利用运算算理理解运算过程，或是利用运算算法得出运算结果.

在高中阶段，数学的语言具体表现为数学模型和数据分析两个素养.它们体现出了数学模型和数据分析素养的发展历程都离不开过程：不论是分析现实情况以发现并提出问题，还是借助数学的方法建立数学模型进行求解;不论是对数据的收集和整理，还是对数据的描述和分析.

从上述分析可以看出，强调过程既是对数学核心素养本质的高度概括，又是对数学核心素养本质的进一步阐释.

（三）强调过程是数学核心素养特征的共同属性

数学核心素养具有阶段性、连续性、整合性和发展性的特征.这四个特征的共同属性是强调过程.

数学核心素养的阶段性体现为：数学核心素养的形成，需要經历一个又一个螺旋发展的阶段.例如，学生数学建模素养的发展，小学阶段着重于模型意识的培养，初中阶段着重于建模观念的形成，高中阶段着重于建模素养的养成.不同的阶段，数学建模素养培育的侧重点不同，具体的表现也不同，体现出不同学段对素养要求的差异性，这种差异性恰恰体现出了数学素养发展的过程性.

数学核心素养的连续性主要表现为：数学核心素养的发展是一个相互关联，不断延续的连贯过程.例如，学生数据分析素养的发展，是从小学阶段的数据意识培养开始的，初中阶段是在小学阶段形成的数据意识的基础上进一步发展数学观念，高中阶段则是在小学的数据意识和初中的数据观念的基础上进一步发展并建立数据分析素养.这一过程体现出了不同阶段数学素养之间的关联、连贯和延续，体现出了素养的连续性，同时也很好地诠释了素养发展的过程性.

数学核心素养的整合性主要表现为：数学核心素养的发展，将思维的发展、能力的培养和情感态度价值观的形成这三者有机综合起来.思维品质的提升离不开关键能力的发展和情感态度价值观的养成，关键能力的发展离不开思维品质的提升和情感态度价值观的养成，情感态度价值观的养成则离不开思维品质和关键能力的发展，三者相互关联、相互促进，有机交融在一起.这种交融和综合就是素养各要素间整合的过程.

数学核心素养的发展性主要表现为：数学核心素养是从无到有、由低到高逐渐形成和发展的.例如，学生数学运算素养的发展，就是从小学阶段对数的运算，逐步发展到初中阶段代数式的运算，再到高中阶段集合的运算和向量的运算.在这一过程中，学生不断拓展运算对象，提升对不同运算的认知，强化对不同运算法则和运算性质的理解，加深对不同运算的算理和算法的领悟.

（四）强调过程是数学核心素养具体表现的共同特点

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“《课程标准》”）提出发展学生的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，同时也要发展学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.“四基”和“四能”既是学生数学核心素养的基础，又是学生数学核心素养的重要组成部分[5]，更是学生数学核心素养的外在的具体表现.

学生对基础知识的学习是经历一定的过程的.一方面，从知识体系而言，要经历由简单到复杂的知识累积和体系建构过程;另一方面，就某一特定的知識点而言，则要经历从实际问题情境中概括出数学知识内容，再应用到实际问题中的过程.例如，在函数的学习中，学生先学习函数的概念、特征，然后学习具体的函数模型，以此建立起函数的知识体系，最后学习函数的应用，从而真正掌握与函数相关的基础知识.同样，基本技能的发展也具备过程性.例如，学生运算能力的发展，首先是集合运算的培养，接着是向量运算的培养，然后是矩阵运算的培养，对应的数学基本思想包括抽象、推理和模型，三者无一例外都是过程性的最好表达.又如，在代数知识的学习中，每一个概念都是从现实情境中抽象概括而来;在几何的学习中，每一个几何图形都是从现实物体中通过理想化的抽象而形成;在概率统计的学习中，基本的概念和性质也都是通过对具体案例的分析、归纳而来.此外，基本活动经验是学生在数学学习活动过程中积累起来的经验，也是过程性的最好体现.学生通过直接或间接的方式，在数学知识的学习中，在数学问题的思考中，在数学活动的参与中，逐渐获得经验.

学生素养的高低，通过发现、提出、分析、解决实际问题这一过程就能清楚地表现出来.教师要深化对“四能”的要求，帮助学生更加全面地经历问题解决的全部过程，而不是仅仅停留在分析问题、解决问题的层面，进而拓展问题解决的范畴.教师要以“四能”发展学生的问题意识，将发现问题和提出问题作为重要的内容，引导学生经历发现和提出问题的过程，培养学生的创新意识和创新能力.可见，“四能”本质上是数学应用的过程，从发现到提出，再到分析，最后到解决，“四能”非常清晰地将数学核心素养发展的过程性体现出来.

因此，数学核心素养的具体表现充分体现了过程性，将知识的获取、能力的发展、思想方法的掌握和经验的积累有机结合在一起.

（五）强调过程是数学核心素养发展路径的内在需求

数学核心素养的发展是以主题教学为重要抓手，以深度学习为主要路径，在数学学习和应用的过程中形成的[6].

数学核心素养的发展需要以知识的学习和应用为基础.知识的学习和应用是素养发展的基石和纽带.在知识的学习和应用中，学生的思维品质得以提升、关键能力得以发展、情感态度价值观得以养成.知识的学习和应用将三者的发展相互关联起来，使它们形成相互促进、有机交融的整体.从这里可以看出，知识的学习和应用是数学核心素养发展过程性最明显的体现.

数学核心素养的发展需要以主题教学为重要抓手.主题教学是发展学生素养的重要途径，具有整体关联性、动态发展性、团队合作性等特征[7].其中，动态发展性非常鲜明地体现了数学素养发展的过程性.因为，只有在不断动态化的发展和自我完善的过程中，学生的素养才能得到不断的发展.例如，在主题教学的过程中，不同的教学阶段，设定的教学目标是不同的，但是这些目标又是相互联系的，形成了由简单到复杂、由具体到抽象的目标体系，这也是素养过程性的重要体现.

数学核心素养的发展需要以深度学习为主要路径.深度学习是在教师的引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心地积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程[8]，具有主体积极参与性、亲身体验性和迁移应用性等特征.深度学习的主体是学生，而学生的积极参与、亲身体验和对知识的迁移应用则是过程性最好的体现.尤其是知识的迁移应用环节，学生通过知识的内在逻辑，将不同的知识点学习紧密地关联起来，逐渐形成系统化的知识学习路径，这既体现出知识的发展过程，也体现出素养的发展过程.

三、如何在发展学生数学核心素养中强调过程

（一）以知识的学习为线索经历知识发生发展的过程

数学知识发生发展的过程集中体现为数学知识的缘起、数学知识的发生、数学知识的发展和数学知识的拓展这一全过程.

在高中数学教学实践中，教师要引导学生认识知识的缘起、发生的现实背景和学科背景，体会数学知识产生的深刻现实意义和知识发展的学科价值.知识的缘起和发生的现实背景是知识发生的外在动力，主要体现为知识在实际生产生活中的应用价值;知识的缘起和发生的学科需求是知识发生的内在动力，主要体现于知识体系的进一步拓展和发展价值.实际上，知识的缘起和发生往往是内在动力和外在动力综合作用的结果.例如，在立体几何的学习中，点、直线、平面之间的位置关系的学习，既是日常生活中直线和直线、直线和平面、平面和平面位置关系问题讨论的需要，又是将初中平面几何拓展到高中立体几何的需要.因此，在该部分内容的学习过程中，教师既要帮助学生从实际问题情境的抽象中体会从平面到立体的必要性，也要帮助学生在立体几何相关问题证明的过程中体会学科价值.

在高中数学的教学实践中，教师还要引导学生亲身经历数学知识发展及拓展的全过程.数学知识发展及拓展的过程，是体现数学知识本质和数学知识内在关联、突出数学思想方法的重要途径.新的数学知识的发展往往是建立在以往数学知识的基础上的，并通过抽象、演绎、化归等数学方法形成新的数学知识.例如，在函数内容的教学中，教师不仅要以具体案例的分析、概括和抽象，引导学生逐渐形成函数的概念、理解函数的概念形成过程，还要让学生在初中函数知识学习的基础上，通过对初中函数的分析、归纳和概括，形成更为一般化的概念和方法.然后，教师再以新的函数模型及性质的教学，突出函数本质和不同函数之间的内在关联，进一步强化学生对函数概念及其性质的理解，发展学生的数学核心素养.

（二）以知识结构图为媒介经历数学知识体系建构的过程

数学知识体系的建构是数学学习的重要组成部分，它是学生初步建立数学观的主要方式，也是學生体会数学学科特点和思想方法的重要途径，还是学生数学核心素养发展的重要媒介.数学知识体系不仅包含数学基础知识，还涉及数学思想方法和数学文化.在以往的数学教学中，不少教师往往忽视知识体系的建构，特别是忽视每一章前的目录和每一章节后小结的内容，没有将目录和小结两种典型的知识结构图的功能充分发挥出来，导致学生在知识学习前没有形成对知识体系的概括的认识，在知识学习后没有建立完整的知识体系.如此，数学学习就容易陷入无尽的题海，学生就会缺乏对高中数学整体的认识，也很难全面把握高中数学的思想方法，其数学核心素养就不可能得到充分的发展.

因此，在数学教学的过程中，教师要引导学生充分经历知识建构的过程.第一步，教师要引导学生梳理各教材中的目录，使学生对知识体系有一个初步的概括的认识.第二步，教师要引导学生按照教材编写顺序，亲身经历从概念到概念、从概念到命题、从命题到命题系、从命题系再到知识体系的过程，体会数学知识之间紧密的联系和严密的逻辑，以及数学知识由简单到复杂、循序渐进地建构的特点.第三步，在章节内容学习结束后，教师可以根据小结中的知识结构图，引导学生自主建构知识结构图，帮助学生对所学的内容进行归纳和总结.整个知识结构的建立经历“初步认识—整体建构—归纳呈现”三个完整的阶段，这就使得知识结构的建构既有过程支撑，也有最终结果的呈现.教师引导学生将知识建构这种学习方式，从无意识变为有意识，从有意识变为一种习惯和方法，最终就能够促进学生数学核心素养的发展.

（三）以数学问题为载体经历问题解决的全过程

问题是数学的心脏，也是学生高阶思维发展的重要载体.以往的数学学习往往忽视问题性，即使有具体的数学问题，大多数时候要么是单一的，要么只是注重问题的分析和解决，忽视问题的系统性以及问题的发现与提出，这就使得作为素养重要组成的“四能”的发展有所偏差.实际上，从数学的视角发现和提出问题需要使用多种方式，如对实际问题进行抽象概括、直观想象具体情境中的物体特征、对具体情境中的数据进行分析，然后用数学的方式表达出来，就能够提升学生“会用数学的眼光观察世界”的素养.

在数学教学实践中，一方面，教师要设计恰当的问题及问题串，在不断的设问、追问、反问和自问中，引导学生不断去思考，促使学生变被动地回答问题为主动地提出问题，将单一的提问转化为系列性的提问，将简单的提问上升为具有一定深度的追问、反问和自问，自觉地进行深度思考，以发展高阶思维.另一方面，教师要引导学生对具体情境进行具体的、有针对性的分析，使其能从数学的视角发现问题，并用数学的方式和语言提出问题，最后利用数学的方法分析并解决问题.总而言之，教师在教学中恰当地突出问题的价值和作用，引导学生培养问题意识，发展解决数学问题的能力，孕育创新精神，提升数学核心素养.

（四）以实际问题为依托经历数学建模的过程

数学建模是高中数学比较独特的内容，是发展学生核心素养的重要形式之一. 完成数学建模，学生不仅需要发现和提出问题，还需要建立并求解模型，然后对模型进行检验，最后根据检验情况完善模型.在这一过程中，学生需要掌握相应的数学知识，具备较强的解决问题的综合能力和实践能力、较高的创新意识和一定的科学精神.

《课程标准》以及不同版本的高中数学教材中都设置了数学建模主题（活动）.在实际教学中，一方面，教师要整体规划高中数学建模的内容，将必修和选择性必修课程中的数学建模看作一个整体，根据学生数学建模经验和能力发展的规律，分阶段、分层次地设计建模活动及目标，突出不同课程中数学建模的侧重点和价值，体现学生建模素养的发展的阶段性和过程性.另一方面，教师要引导学生亲身经历完整的数学建模过程，也就是说，学生不仅要经历完整的选题、开题、做题、结题的过程，而且要经历每一个环节具体的展开过程，并在完整的建模过程中发展用数学语言表达现实世界的意识和能力，发展发现和提出问题的能力，增强抽象概括、数学运算、数据分析等能力，感悟数学和现实世界之间的关联，积累丰富的数学实践经验，体会数学在生产生活各个领域中的价值和作用，不断增强创新意识和科学精神.

综上，教师应引导学生经历知识发生发展的过程、知识体系建构的过程、问题解决的过程和数学建模的过程，帮助理解数学基础知识、培养数学关键能力、发展高阶思维品质、掌握数学基本思想方法、积累丰富的活动经验.总之，学生只有经历从“四基”到“四能”再到“三会”的素养发展的过程 [9]，才能最终实现数学核心素养的真正落地

参考文献：

[1]褚宏启.核心素养的概念与本质[J].华东师范大学学报（教育科学版），2016（1）：1-3.

[2][3]《数学辞海》编辑委员会.数学辞海：第六卷[M].北京：中国科学技术出版社，2002：572，560.

[4]史宁中，林玉慈，陶剑，等.关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七[J].课程·教材·教法，2017（4）：8-14.

[5]吕世虎，吴振英.数学核心素养的内涵及其体系构建[J].课程·教材·教法，2017（9）：12-17.

[6]郭华.深度学习及其意义[J].课程·教材·教法，2016（11）：25-32.

[7]吕世虎，杨婷，吴振英.数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤[J].当代教育与文化，2016（4）：41-46.

[8]路江江，王亚妮.高中数学教育中如何培养学生的数学核心素养——王尚志教授访谈录[J].数学教育学报，2021（2）：67-70.

[9]黄翔，童莉，李明振，等.从“四基”“四能”到“三会”——一条培养学生数学核心素养的主线[J].数学教育学报，2019（5）：37-40.