关于用尺规作抛物线切线的研究

黄发长

【摘要】中考数学试题中，平面直角坐标系中的三角形面积和二次函数最值是中考的压轴题热门考点，所以在初中数学教学中，教师要注重对学生总结能力与分析能力的培养，最终提高学生应对考试的能力。

【关键词】抛物线；最值；切线；尺规作图

在中考数学试题中，有一类考点一直是压轴题热门选项，它主要涉及平面直角坐标系中的三角形面积和二次函数最值两个知识点。命题设计通常以抛物线上某动点为一顶点、抛物线和两坐标轴相交的其中两个点（一般在x轴、y轴上各取一个点）为另两个顶点组成的三角形面积为考查对象，要求考生构建相关二次函数，利用二次函数最值解决有关三角形面积最大化等问题。对这类题作深入研究，会发现一些非常有价值的结论，把这些结论拿来再解相关中考题可以为分析解题思路找到捷径，运用其中某些结论还可以严格作出过抛物线上任意点处的切线，这种以尺规作抛物曲线切线的方法可以当作用解析法通过求斜率来求切线的几何法补充，并且，这种用尺规作抛物线切线的方法，相比用导数求抛物线切线的方法更直观、快捷、实用，其意义显而易见。

为后续行文需要，先介绍一个知识点：在平面直角坐标系中，“斜三角形”面积的一种计算公式。如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条垂线之间的距离叫△ABC的“水平宽”，用a表示，中间的垂线在△ABC内部截得的线段长叫△ABC的“铅垂高”，用h表示。则△ABC的面积=×水平宽×铅垂高，即（具体证明略）。

一、源题与启发

1.样例。如图2，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-1，0）和点B（3，0），点C为抛物线与y轴的交点，若点E为直线BC上方抛物线上的一点，请求出△BCE面积的最大值，并指出此时点E的坐标。

分析与略解：易知抛物线为y=-x2+2x+3，下可设点E的坐标为（t，-t2+2t+3），过点E作EF∥y轴交线段BC于点F，如图2，易知直线BC为y=-x+3，则F

（t，-t+3），而S△BCE=×OB×EF=×3×EF，显然△BCE面积最大时，线段EF最长。接下来通过构建EF关于t的二次函数，即EF=-t2+2t+3-（-t+3），求此二次函数最值便可得EF长的最大值。经计算易得△BCE面积的最大值为，此时点E为（，）。

2.思考与启发。上述样例多次出现在中考压轴题中，细心观察其解会发现：当三角形（如样例中的△BCE）面积取最大值时，动点横坐标都“恰好”是抛物线与两坐标轴交点横坐标（如样例中点B的横坐标为3、点C的横坐标为0）之“水平线段”（即为样例中线段OB）中点的横坐标（即样例

中E点的横坐标，为）。

这种现象是偶然的，还是确定的？多观察一些类似压轴题，发现上述结论看起来都是“确定成立的”，于是值得进行深入研究。在深入进行“严格推理”前，不妨先用“几何画板”作特例研究，从感性角度再“印证”一下前述发现的可能性。用几何画板先做如下画图研究：在同一直角坐标系中，先选择均经过同样两点，且开口相同的几条抛物线，然后连接这两点，并找到这两点的水平线段的中垂线与各个抛物线的交点，分别过这些交点作那两点连线段的平行线，观察这些平行线是否为相应抛物线的切线？观察方法是：若平行线与相应抛物线除了交点外，没有其他交点，则该平行线是相应抛物线的切线；否则不是切线。

1，下设直线x=1与这四条抛物线依次交于点E1、E2、E3、E4，分别过这些点作与线段BC平行的直线。容易观察发现：每条直线与它对应的抛物线不存在除点E1、E2、E3、E4以外的其他交点，也就是说每条直线都是相应抛物线的切线。此时，根据两平行直线间距离处处相等以及等积变换相关知识，不难证明“切点”是三角形（△BCEi（i=1，2，3，4））面积取大值时，抛物线上动点Ei所应到达的位置，换种说法，如图3，动点Ei在直线BC上方抛物线上，当△BCEi面积最大时，其动点Ei一定是与直线BC平行的抛物线切线的切点。

二、拓展与研究

1.拓展研究一：（在样例中，让抛物线变化：只须开口向下、经过B、C两点）。

结论：对任意开口向下，且同时经过B、C两点的抛物线，在直线BC上方抛物线上都存在点E，使得

△BCE面积最大，并且点E始终是直线x=与抛物线的交点。

分析与略解：设抛物线为y=ax2+bx+c，由于经过B（3，0）、C（0，3）两点，于是方程ax2+bx+c=0有一个根为3，且c=3，则32a+3b+3=0，即3a+b+1=0，所以b=-3a-1，则抛物线可化为y=ax2+（-3a-1）x+3，

易知直线BC为y=-x+3，下设点E的坐标为（t，at2+

（-3a-1）t+3），过点E作EF∥y轴交线段BC于点F，如图2，易有F（t，-t+3），则EF=at2+（-3a-1）t+3-（-t+3）=at2-3a=a（t2-3）=a（t2-3+

（）2）-=a（t-）2-。即当t=时，线段EF

取得最大值（-）。由此可以看出，抛物线在变化

（任意）时，虽然线段EF的最大值和△BCE面积的最大值也跟着在变化，但使得线段EF取最大值、△BCE面积取最大值的动点E的横坐标始终不

变，它始终在直线x=上，它的横坐标取值只与两点B（3，0）、C（0，3）有关。

2.拓展研究二：（在上述拓展基础上，把0B=0C=3改为只需0B=0C）。

结论：抛物线y=ax2+bx+c与x轴、y轴分别交于B、C两点，若0B=0C，如图2，则：（1）点A的坐标

为（，0）；（2）当△BCE面积最大时，点E是直

线x=与抛物线的交点。

分析与略解：（1）易知C（0，c），由0B=0C，易

得B（c，0），即方程ax2+bx+c=0有一个根为c，则ac2+bc+c=0，即ac+b+1=0，所以b=-ac-1，则

有y=ax2+bx+c=ax2+（-ac-1）x+c＝（ax-1）

（x-c）。因此有x1=、x2=c，即点A的坐标为

（，0）。（2）易知直线BC为y=-x+c，可设点E的

坐标为（t，at2+（-ac-1）t+c），过点E作EF∥y轴交线段BC于点F，易有F（t，-t+c），则EF=at2+（-ac-1）t+c-（-t+c）=at2-ac=a（t2-c）=a

（t2-c+（）2）-=a（t-）2-，显然△BCE

面积的最大时，点E是直线x=与抛物线的交点，

即点E是直线x=与抛物线的交点。

3.拓展研究三：（继续拓展，无须0B=0C，只需满足开口向下的抛物线与两坐标轴正半轴有交点）。

结论：抛物线y=ax2+bx+c与x轴、y轴分别交于B、C两点，如图4，点E为直线BC上方抛物线上的一点，

当△BCE面积最大时，点E还是直线x=

与抛物线的交点。

分析与略解：设点A（x1，0）、点B（x2，0），易知C（0，c）下可设抛物线为y=a（x-x1）（x-x2）=ax2+a（-x1-x2）x+ax1x2，则有c=ax1x2，即a=，

所以，y=x2+（-x1-x2）x+c，可设点E的

坐标为（t，t2+（-x1-x2）t+c），过点E作

EF∥y轴交线段BC于点F，易有直线BC：y=·x+c，

则F（t，t+c），则EF=t2-t=（t-）2+

，显然△BCE面积的最大时，点E是直线x=与

抛物线的交点，即点E是直线x=与抛物线

的交点，亦即当三角形面积取最大值时，任意抛物线上动点横坐标等于抛物线和x轴交点横坐标的一半。

4.拓展研究四：（在图4的基础上，过点E作EN∥BC）。

结论：如图5，当△BCE面积的最大时，显然直线EN为抛物线y=ax2+bx+c在点E处的切线。（证明略）

（注：为简化叙述和后面应用的方便，不妨把点E叫做B、C两点间“抛物线上的水平中点”；把直线EN叫做与抛物线上两点B、C相关的“最值切线”。）

推论：事实上，上述结论中B、C两点可以是抛物线上任意两点，即当B、C两点是抛物线上任意两点时，其“抛物线上的水平中点”“最值切线”依然存在、成立。

三、归纳与应用

应用上述研究结论或思想方法，可以得到用尺规精确作过抛物线上任意一点的该抛物线的切线，这与利用导数求曲线上某点的斜率不同，可以看成是作切线的几何化画法，是对导数法求切线斜率的一种几何化方法补充。在生活实践中，类似抛物线的曲线均可采用这种尺规方法作相应曲线的切线，这种作线法简洁实用。另外，应用上述研究结论或思想方法，可以重新审视相关中考压轴题，得到“新”的解题途径。

1.用求导或用尺规作抛物线上任意点处切线方法的比较。

例：过抛物线y=-x2+2x+3上的点（2，3）作该抛物线的切线。

（1）解析作图法。对抛物线方程求导，易有y'=

-2x+2，则点（2，3）处的斜率k=-2，下设过点（2，3）处的切线方程是y=-2x+b，代入点（2，3）则b=7，即切线方程为y=-2x+7，它与y轴的交点为（0，7），则过点（2，3）、（0，7）易作出该切线（具体画图略）。

（2）尺规作图法。设点（2，3）为E，通过逆向思考，要作出“最值切线”，关键在于寻找到抛物线上的两个关键点B、C，而这两点与“抛物线上的水平中点”在哪无关，也就是说作图时，无须关注其横坐标与纵坐标的具体数值，只须：如图6，（1）过点E作铅垂线EM；（2）在铅垂线EM右侧抛物线上任取一点，如取点B；（3）过点B作BH⊥EM于H，并延长到点D，使得DH=BH；（3）过点D作直线EM的平行线交抛物线于点C；（4）连结B、C两点；（5）过点E作EN∥BC。则直线EN为过抛物线上点E处的切线，点E为与B、C两点相关的“抛物线上的水平中点”，直线EN为“最值切线”。

上述作法完全是用无刻度的直尺和圆规可以完成的，所以可以称之为尺规作图法。下面考虑：这种作法是否与“上面（1）”中解析法作图所得切线y=-2x+7一致？

这里不妨用“特殊值法”进行简易说明。在尺规法作图中，在取点B时没有刻意选取其坐标值，换言之，点B的坐标是具有任意性的，但为后续“证明”方便，下面不妨设点B的横坐标为3，由于点E（2，3）是“抛物线上的水平中点”，则易得C点横坐标为1，把B的横坐标3、C的横坐标1分别代入抛物线y=-x2+2x+3，可得B（3，0）、C（1，4），则易得直线BC为y=-2x+6，于是直线EN可设为y=-2x+b，把点E（2，3）代入直线EN得b=7，即直线EN为y=-2x+7，这与解析法中得到过E（2，3）的切线方程是完全一致的。

特别值得一提的是，从这个特殊值法“证明”中，还可以看到点B（3，0）、点C（1，4）并非都是抛物线与坐标轴的交点，具有“任意性”，也就是说它印证了“二.4拓展研究四”中“推论”这个结论。

2.解压轴题“新”思路举例。

（2022重庆沙坪坝九年级期末·部分）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，6）、B（2，0）

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Р为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q，过点P作PM⊥AB于M，当线段PM的长度取得最大值时，求点Р的坐标和线段PM的长度。

分析与略解：（1）；（2）当线段PM的长度取得最大值时，亦即△ABP面积最大，此时点P为与两点A、B相关的“抛物线上的水平中点”，由点A（-1，6）、B（2，0）知点P为直线x=与抛物

线的交点，所以（，）；易有直线的解析

式为，则Q（，3），S△ABP=·AB的

水平宽·PQ==·AB·PM=×·PM，所以

PM=。

评：这个解题方法与常规解法中构建线段PQ（或线段PM）与点P的横坐标之二次函数、利用求解二次函数最值解题完全不同，它抓住了点P这个动点的不动性，即“当线段PM的长度取得最大值时”，点P是“抛物线上的水平中点”，所以解题过程简洁明了。