三元算术几何平均值不等式的另两种加细

山东省邹平双语学校 姜坤崇 （邮编：256200）

安振平老师在文献[1]中给出了三元算术几何平均值不等式的一种加细：

定理设a、b、c＞0,求证：

在欣赏以上不等式链之余，受其启发，又发现了三元算术几何平均值不等式的另两种加细，得到以下两个有趣的结论：

命题1设a、b、c＞0,则

证明需证明以上不等式①～⑦均成立.

先证不等式①，这里，同文献[1]证明文首定理中第一个不等式一样，仍采用作差比较法，得

所以不等式①成立.

下证不等式②，还是采用作差比较法，有

所以不等式②成立.

以上三个不等式相加即得③式成立.

容易证明：

而由二元均值不等式得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥2abc+2abc+2abc=6abc,所以⑧式成立，从而④～⑧式成立.

综上，命题1 得证.可以看出，当且仅当a=b=c时，不等式链中的所有不等式的等号成立.

命题2设a、b、c＞0,则

证明先证明不等式⑨，采用作差比较法，得

以下不等式的证明同命题1，从略.