双丝杠同步控制误差建模与仿真分析*

2022-04-26许向荣

组合机床与自动化加工技术 2022年4期

许向荣，尚彤

(山东建筑大学机电工程学院,济南 250100)

0 引言

由于双丝杠进给系统是采用两个丝杠带动工作台的运动，两个驱动电机之间应该保持高同步性，其结构上具有较为复杂的机械耦合关系，一旦系统在运行中受到了负载的变化等各种环境因素的影响，将会直接造成两个丝杠之间的不同步现象，从而引起工作台产生扭斜等问题，最终会造成工作台的精度很难得到保证，因此配置合适的双丝杠同步控制技术来提升双丝杠的同步精度至关重要。

近年来，针对双丝杠进给系统的运动位置同步控制这个问题，许多技术专家和专业学者已经深入研究过并提出了很多有效的具体解决方法，如运动神经网络同步控制、鲁棒控制、滑模变结构同步控制和模糊控制等[1-3]。

其中，滑模变结构控制因控制效果好、响应时间短、速度快和鲁棒性强被广泛使用。但滑模变结构控制也有明显的不足之处，即系统状态轨迹到达滑模面后，状态很难严格地沿着面向平衡点的滑模滑动，而是在两侧来回交叉接近平衡点，从而产生抖振，导致系统不稳定[4-5]。将模糊控制与单轴滑模控制进行紧密结合，是一种抑制抖振的有效方式[6-7]。本文使用模糊控制在线调整滑模控制中的增益系数，该方法可以降低单轴滑模控制系统的抖振现象，并且不影响系统稳定性。

双丝杠两轴之间的同步控制策略通常有主从同步控制、并行同步控制、虚拟主轴同步控制和交叉耦合同步控制等[8-9]。其中交叉耦合同步控制稳定性好且具有较强的抗干扰性能，因此被广泛采用。常用的交叉耦合同步控制器为PID控制，PID控制具有结构简单、响应速度快等优点，缺点是PID参数都为固定值，不能随系统的变化而改变，本文采用模糊控制与PID控制相结合的方法，能够在线修整PID参数，消除两丝杠轴间耦合产生的影响，从而减少同步误差。

1 双丝杠进给系统模型

双丝杠进给系统简化模型如图1所示，控制系统发出位置指令传递给伺服电机，伺服电机输出一个转矩，并将转矩传递给滚珠丝杠，由丝杠将动力传递给丝杠螺母，螺母将旋转运动转化为直线运动，最终传递到工作台。

图1 双丝杠进给系统简化模型

图1中θM为电机输出转角；θS为丝杠转角；θ为工作台扭转角；M为工作台质量；A1、A2为工作台在平衡位置时其重心到两丝杠轴线的距离；L1、L2为工作台运动过程中重心到两丝杠轴线的距离；L为L1、L2相加之和；ym为工作台重心位移；y1、y2分别为轴Y1、Y2的输出位移；ks1、ks2分别为丝杠Y1、Y2的扭转刚度；kd1、kd2分别为丝杠Y1、Y2的轴向刚度；c1、c2为轴Y1、Y2的阻尼。

双丝杠进给系统从伺服电机到工作台的动力学平衡方程如下：

伺服系统到电机的传递关系式：

(1)

式中，Lq为电机等效电感；iq为电机输出电流；R为电机等效电阻；uq为电机输出电压；eb为电机产生的反电动势；Ke为反电动势系数；ωM为电机输出转速；Kt为电机转矩常数。

电机到工作台的动力学平衡方程：

(2)

(a) 电机部分

式中，TM为电机输出转矩；JM为电机转子转动惯量；Js为丝杠转动惯量；TS为丝杠收到的扭矩；Fi(i=1,2)为电机产生的驱动力；p为丝杠螺距；Ks为丝杠的扭转刚度；Kd为丝杠的轴向刚度。

双丝杠进给系统简化模型如图1所示，由于两个丝杠的机械结构和工作台两侧所受的力大小不可能完全相同，所以工作台在向前运动时会不可避免的围绕其质心旋转，产生一个扭转角。两根丝杠轴分别用Y1、Y2来表示，Y1、Y2与工作台产生机械耦合作用，将工作台两侧的输出位移进行解耦，从而确定双丝杠进给系统两轴之间的不同步误差。

对工作台进行受力分析，可得：

(3)

式中，F1、F2分别为丝杠Y1、Y2对工作台产生的作用力；a为工作台质心加速度；JMB为工作台围绕其质心的转动惯量。

根据图1所示的几何关系，可知工作台两侧的实际位移y1、y2，可得两丝杠之间的不同步误差为：

(4)

式中，由于扭转角θ非常小，所以假设sinθ≈θ；t1、t2为丝杠运动起始时间和结束时间；α为工作台围绕其直线旋转的角加速度；E(t)为两丝杠之间的不同步误差。

根据式(1)～式(4)以及图1建立基于MATLAB/Simulink的双丝杠进给系统的机电耦合仿真模型，如图2所示。仿真模型分为电机部分和机械部分，电机部分的输入信号为工作台的指令位移。其中，电机部分模型中的参数通过查阅电机资料得出，机械部分模型中的参数通过测量试验台三维模型得出，数据如表1所示。

表1 双丝杠进给系统模型参数

(b) 机械部分

2 单轴模糊滑模控制器

2.1 单轴滑模控制器设计

当系统状态在滑模面上运动时，对于不确定性的因素以及外部的扰动都会具备很强的鲁棒性。为使滑模控制器的系统误差沿s=0的滑模面方向运动，必须满足以下滑模条件：

(5)

以其中一轴为例，取滑模面为：

(6)

若状态S采用指数趋近率，则：

(7)

式中，k为趋近律，k>0；sgn(s)为切换函数，其表达式为：

(8)

设计滑模控制器为:

(9)

证明所设计的单轴滑模跟踪控制器的稳定性，定义Lyapunov函数为：

(10)

对其求导，得出：

(11)

将控制律带入，得：

(12)

根据Lyapunov理论，系统在控制器的作用下稳定。

滑模控制器整体结构简单且控制效果显著，具有很强的鲁棒性，缺点是存在抖振问题[10-11]。产生抖振的主要原因是切换增益k为固定值，k的作用是补偿扰动对系统的影响，k的值越大，抖振就会越明显。为了更充分的补偿外部扰动，一般选取较大的k值，所以会导致系统抖振加剧。

为了有效地解决滑模控制中由增益切换导致抖振的问题，本文利用模糊控制器自适应调节切换增益k，该方法能够根据系统的运动状态选取合适的k值，从而减小抖振现象。

2.2 模糊滑模控制器设计

根据输入输出信号的相互关系确定隶属度函数，其图像如图3所示。

隶属度函数 (b) Δk隶属度函数

系统输入和输出的模糊量分别用NB、NM、ZO、PM、PB，5个变量表示，分别为负大、负中、零、正中和正大。其控制规则如表2所示。

表2 模糊滑模控制器规则

(13)

式中，β为比例系数。

(14)

最后，采用max-min的模糊推理合成规则，Mamdani型模糊函数控制器，采用面积中心法进行解模糊运算。

单轴模糊滑模控制器结构如图4所示。

图4 单轴模糊滑模控制器结构

3 模糊自适应PID交叉耦合控制器

本文所设计的模糊自适应PID交叉耦合控制器是由模糊自适应控制和传统PID控制相结合而形成的一种控制方法，其优点在于，相比于传统PID控制，该方法能够根据系统的状态自动调节PID控制中比例、微分、积分三个环节中的参数，从而提高系统控制精度。

模糊自适应PID交叉耦合控制器包含两个输入和三个输出，两个输入分别为双丝杠两轴之间的位置误差和该误差对时间的导数ΔE，三个输出分别为ΔKP、ΔKi、ΔKd，最后将KP、Ki、Kd基于式(15)进行修正。

KP、Ki、Kd控制参数修正公式如下：

(15)

式中，KP0、Ki0、Kd0为PID控制器的初值；ΔKP0、ΔKi0、ΔKd0为比例控制因子；ΔKP、ΔKi、ΔKd分别为KP、Ki、Kd的增量。

模糊自适应PID交叉耦合控制原理图如图5所示。

图5 模糊自适应PID交叉耦合控制原理图

根据PID三个参数对控制对象的控制作用以及相互之间的互联关系设置隶属度函数，并进行编译模糊规则表。根据模糊规则表，可以在MATLAB模糊工具箱中得到E、ΔE与KP映射关系，如图6所示。

图6 E、ΔE与KP映射关系

利用MATLAB/Simulink建立双驱动交叉耦合控制仿真模型，如图7所示。

图7 双驱动交叉耦合控制仿真模型

模糊滑模双丝杠同步控制模型整体结构示意图如图8所示。

图8 模糊滑模双丝杠同步控制模型整体结构

4 仿真结果及分析

使用MATLAB/Simulink进行双丝杠同步控制算法仿真实验。仿真实验分为两部分，首先输入阶跃函数值为1的位置信号判断模型响应速度和收敛性。其次输入正弦函数位置信号判断模型的跟踪性能，其正弦信号为θd=sin(2πt)，干扰信号分别加在轴一、轴二上，d1=10sin(0.5t)、d2=10cos(0.5t)。模糊滑模控制器参数为c=15，η=2，β=20；模糊PID交叉耦合控制器参数分别为Kp=2，Ki=0.01，Kd=0.01。仿真结果如图9～图11所示。