黏性液体横向射流破碎机理

2022-04-26邓甜李佳周陈伟

航空学报 2022年3期

邓甜，李佳周，陈伟

1.中国民航大学中欧航空工程师学院，天津 300300 2.中国空气动力研究与发展中心结冰与防除冰重点实验室，绵阳 621000

航空发动机燃烧室中，燃油喷入气场中并在气动力和液体不稳定性双重作用下破碎成密集的油雾。雾化效果直接影响燃烧效率和排放。但液体燃料的雾化过程，特别是雾化初始阶段十分复杂，至今理论研究成果较为有限，也没有一个公认的模型能够较好地预测该过程。许多学者已经对理想无黏液体破碎情况进行了理论分析和建模，得到了多种半经验半理论模型。然而当考虑液体黏性影响时，这些模型会变得十分复杂，难以得到一个精确的解析模型。因此，本文将在理想无黏液体破碎理论分析基础上，进一步研究黏性作用下横向射流的破碎机理，推导有黏液体射流的色散方程，分析黏性、表面张力及工况对射流不稳定性的影响。

对横向气流作用下射流破碎的机理分析最早起源于Rayleigh对圆柱自由射流的研究。Weber基于Rayleigh理论，添加了液体黏性，得到适用于低速射流破碎的理论。Horn和Reichenbach将气流速度提高到马赫数为4，发现当气体韦伯数很大时，液体黏性和表面张力对射流破碎后的宽度影响很小。Sterling和Sleicher考虑气动力及速度分布的影响，推导出有黏二维自由射流的色散方程。在此基础上，Reitz和Bracco考虑径向上具有梯度的液体速度，及速度分布对破碎的影响，提出更为通用的轴对称二维圆柱射流色散方程。随后Yang将模型由轴对称拓展到非对称形式，推导出三维无黏射流色散方程，同时提出角变量概念，很好地解释了实验观察到的蛇形波。Yoshinaga、Clark以及Erneux等应用非线性理论研究了平面液膜和环液膜的破碎过程，进一步确认了非线性不稳定性会引起蛇形波出现相位差，进而掐断液膜导致破碎。史绍熙、严春吉等应用线性不稳定性理论推导出三维非对称自由射流色散方程。万云霞等也推导了三维无黏自由射流色散方程，得到表面波增长率与波数的关系。

针对横向气流中液体射流破碎问题，Aalburg等发现液气动能比对非湍流射流破碎影响很小，横向气流对射流破碎起主导作用。Inamura采用亚声速液体横向射流的半经验模型预测了射流轨迹，相符性较好，但气流速度较大和较小都会影响预测模型的准确性。Mashayek等在此基础上补充了气流作用在液柱并使之弯曲的角度，及液滴破碎带来的液柱质量损失，提高了模型精度。Wang等建立了三维无黏的横向射流色散方程，并推导出表面波增长率显示表达式，讨论了在不同气体、液体韦伯数下射流破碎的情况。Liu等利用线性稳定分析法并建立半经验模型研究亚声速情况下横向射流的破碎，在表面破碎区域得到较为一致的结果，但在柱破碎区由于非线性因素的影响结果产生较大的差异。

综上所述，低速自由射流破碎过程主要由Rayleigh不稳定性及Kelvin-Helmholtz不稳定性主导，线性稳定性理论能较好地分析表面波特性，预测破碎过程。然而，对于横向射流，由于横向气动力的作用，出现了Rayleigh-Taylor不稳定性，因此需要在现有稳定性理论基础上增加R-T不稳定性分析。

本文作者团队之前对无黏情况下横向二维剪切气流的射流破碎机理进行了研究。本文将在此基础上，利用线性不稳定性分析法，对横向气流中的黏性液体射流破碎机理进行研究。

1 黏性液体射流在均匀气场中的情况

1.1 条件假设

研究对象如图1所示，首先考虑均匀的横向气体来流，速度为，密度为，表面张力系数为。密度为、半径为的圆柱液体射流以速度喷入均匀气流场中。气体的黏性较小，对黏性射流的影响可忽略不记，因此忽略气体的黏性，液体的动力黏性系数为。雷诺数、密度比及韦伯数定义为

忽略重力影响，并假设液体不可压，以喷嘴出口中心为原点，建立柱坐标系。气流穿过液体射流可以看作典型的气体圆柱绕流。液体表面波在射流前端出口附近形成，且在射流初始段即喷嘴附近处，液柱的弯曲以及横截面积的变化基本可以忽略。表面波随射流传播而发展，且波长基本保持不变。

图1 均匀气流中液体横向射流示意图Fig.1 Schematic diagram of liquid transverse jet in uniform airflow

1.2 模型建立

根据1.1条件假设，气流基本流为(,)，为压力，为速度矢量，=l, g分别代表液相和气相。流体的连续方程和动量方程为

(1)

(2)

式中：为时间;=1，=0。

系统初始阶段射流的速度=[,,]=[0,0,](、、分别为径向速度、轴向速度和竖直方向速度)，气流的速度=[,,]=[,,0]。此时气体流过射流可以看作是气体圆柱扰流，如图2所示，速度分量和可以分别表示为

图2 均匀气流中液体横向射流俯视示意图Fig.2 Top view of liquid transverse jet in uniform airflow

(3)

(4)

式中：为绕流圆周角；为喷嘴半径；为径向坐标。

当射流受到微小扰动时，其边界以正则模的形式可表示为

=+(,,)=+ei(+)+

(5)

式中：为扰动幅度；为初始扰动幅度；和分别为轴向(向)和周向(向)扰动的波数；=+i为复数，实部为扰动波的增长率，虚部为扰动波的频率。

将射流的瞬态控制方程与时均控制方程相减，并忽略高阶非线性项，得到线性化的液体扰动量′、′、′、′在圆柱坐标系下的控制方程组为

(6)

(7)

(8)

(9)

分别对式(7)～式(9)求散度并相加得到：

(10)

将正则模形式的压力扰动量′=()·e +i(+)代入式(10)中得到

(11)

()=()+()

(12)

式中：()和()分别为第一类和第二类修正的阶贝塞尔函数；与为常数，可由边界条件确定。

对于射流，当→0时，液体扰动压力′→0，同时由贝塞尔函数性质可以得到=0，因此式(12) 可写为

()=()

(13)

将正则模形式的液体扰动速度′=[(),(),()]e +i(+)和式(13)代入扰动方程组式(7)～式(9)中，得到新的扰动方程组为

(14)

(15)

(16)

对式(14)～式(16)进行求解整理得到

(17)

(18)

(19)

式中：′()为()对的导数；=(+i)+；和为常数，可由边界条件确定。

忽略气体的黏性，则压力的扰动量和速度的扰动量为

ei(+)+

(20)

′=′()ei(+)+

(21)

(22)

′=i()ei(+)+

(23)

式中：′()为()对的导数；为常数，可由边界条件确定。

在射流界面处的运动边界和动力边界条件为

(24)

(25)

(26)

(27)

且该界面上的剪切力在法向也要平衡,即

′=′+Δ′-′-()

(28)

(29)

将扰动量代入到边界条件中，5个方程含有、、、、这5个未知量。因为所有未知量为非零的常数，所以系数方程的行列式为0，整理得到有黏液体横向射流的色散方程：

(30)

式中：=;=;系数～分别为

=-2(+)

其中:

1.3 方程求解与验证

当气流速度=0时，色散方程中有

(31)

式(31)与文献[26]形式相似，文献[26]的研究为空间模式分析，其正则模形式为=+ei(+-)。若将=-i代入式(31)中，则得到与文献[26]完全相同的无旋自由射流色散关系式。

当=0，=0时，式(30)可以简化为

(32)

当=0时，式(30)可以化简为无黏横向射流的色散关系式：

(33)

可见，对有黏横向射流的色散方程简化可以得到典型的自由射流色散方程，验证了方程的正确性。

式(30)为复数域非线性方程，其解为=+i，无法求得扰动波增长率的解析解，所以采用Muller法进行求解。

为验证数值求解方法的正确性，分别通过解析法与数值法对式(33)进行求解和对比，如图3 所示，=0，=0°，=8，液体韦伯数=176，气体韦伯数=7.5。可以看出，二者得到的解完全相同。因此，应用Muller法求解色散方程是可行的。

图3 无黏横向射流色散方程解析解与数值解对比Fig.3 Comparison of analytical solution and numerical solution of inviscid transverse jet dispersion equation

1.4 黏性对均匀气流条件下横向射流破碎的影响

文献[28]实验结论指出射流迎风面表面波最显著，此时=0°,=0。由于考虑液体黏性会影响横向射流的扰动波特性，因此下面的计算与讨论均针对迎风面表面波。式(30)可化简为

(34)

1.4.1 黏性力对横向射流表面的影响

考虑射流工质为水，动力黏性系数=894×10kg/(m·s)。工况如表1所示，其他参数参考表2。

将两种工况下表面波随波数变化规律与无黏情况的结果进行对比，得到图4。可以看出，考虑液体黏性后，扰动波的增长率会轻微减小，且减小的程度随着波数增大而增大。工况1中，增加液体黏性后，随着波束的增大,扰动波增长率的减小量与增长率的比值从0.004%增大到13.8%，可见黏性对射流的破碎起抑制作用，且对小波长(大波数)的表面波而言，黏性的抑制作用更强。类似地，工况2中黏性力对表面波起抑制作用，增长率的减小量从0.02% 变化到16.7%。

横向射流的不稳定性一般分成3种：K-H不稳定性由速度剪切诱导产生，Rayleigh不稳定性是由液体表面张力诱导产生，R-T不稳定性则是由横向气动力诱导产生。从文献[22]中得到当>1时，Rayleigh不稳定性消失，此时只剩R-T和K-H两种不稳定性。由图4可以看出，有无黏性时，液体横向射流的不稳定区间完全重合，说明黏性的抑制作用主要体现在对K-H和R-T不稳定性的削弱方面，这与表面张力的抑制效果不同。增大表面张力(减小液体韦伯数)，射流的扰动波增长率减小，同时射流不稳定波数的范围也会减小，即表面张力的抑制效果更明显。

表1 黏性力分析工况Table 1 Working conditions for viscous force analysis

表2 文献[25]中采用液体的物性参数Table 2 Physical parameters of liquid used in Ref.[25]

同时，图4也给出横向射流的最佳波数，即增长率最大的波数。可见，工况1时，对于无黏情况，其最佳波数为2.14，有黏情况，最佳波数为2.13；工况2中最佳波数从8.0减小到7.87。因此可见，黏性在抑制增长率的同时也会减小最佳波数，即增大黏性力将增大表面波的最佳波长。

从图4分析可知，当工质为水时，黏性对射流破碎起抑制作用，但影响程度较小。为进一步研究黏性力对射流不稳定性的影响，改变工质水的动力黏性系数，得到图5 中表面波增长率随波数变化情况。当黏性系数增大到500倍时，表面波最大增长率降低了80.37%，说明随着黏性增大，其对射流破碎的抑制作用越来越强，且最佳波数逐渐减小。此外，改变黏性力并不影响射流不稳定波数的范围，即低黏性工况下的不稳定波在高黏性时仍不稳定。

图4 无黏/有黏液体横向射流表面波增长率随波数变化情况Fig.4 Variation of surface wave growth rate with wave number in inviscid/viscous liquid transverse jet

图5 不同液体黏性下表面波增长率随波数变化情况(Ul=10 m/s，Ug=15 m/s)Fig.5 Variation of surface wave growth rate with wave number in different liquid viscosities (Ul=10 m/s，Ug=15 m/s)

1.4.2 气体和液体速度对稳定性的影响

由式(33)可以看出当不考虑射流液体黏性时，表面波的增长率受3部分诱导产生，即

(35)

式中：、、分别代表速度剪切作用(K-H不稳定性)、液体表面张力(Rayleigh不稳定性)及横向气动力诱导产生的不稳定性(R-T不稳定性)。当考虑液体射流的黏性时，式(35)变为

(36)

将工况分为两组，第1组固定气体速度为30 m/s，仅改变液体速度；第2组固定液体射流速度为10 m/s，仅改变气流速度。从表中可以明显看出，、的贡献量为正，说明速度剪切作用与横向气动力促进液体射流表面波的增长进而产生破碎。和的贡献量为负，说明表面张力和黏性力会抑制表面波的生成。观察表3可知液气动能比越大，速度剪切作用对不稳定性的贡献量越大，同时液体射流速度越快，其贡献量越高，此时K-H不稳定性主导射流表面波的生成。液气动能比较小时，横向气动力为主要诱导因素。工质为水时，黏性力的贡献量均小于5%，与其他3项相比几乎忽略不计。

为确定黏性力对不稳定性的影响，将工质换为84%的甘油，此时动力黏性系数增大为0.032 3 kg/(m·s)，得到新的贡献量见表4。与水做工质相同的是速度剪切作用与横向气动力的贡献值均为正，表面张力和黏性力的贡献均为负。

表3 液体工质为水时4种不稳定性诱导因素对横向射流表面波最大增长率的贡献量对比

表4 液体工质为84%甘油时4种不稳定性诱导因素对横向射流表面波最大增长率的贡献量对比

不同的是，增大工质的黏性后，的贡献量有明显的变化，相比黏性较小时(工质水)增大约20～40倍。说明对于甘油水混合物，黏性力的影响很大，无法忽略。同时横向气动力的贡献量与小黏性工质对比也有2倍左右的提升，说明增大黏性会增大横向气动力对射流不稳定性的影响。

由以上的分析发现，表面张力与黏性力的比值即为决定黏性力是否可以忽略的参数，=()。水射流的值为0.004 37，甘油水混合物的值为0.170 2，当达到10量级时，黏性力影响很大，不能忽略。

1.5 黏性对不同稳定性的影响

在1.4节中将横向射流表面增长率分为4部分，其中速度剪切作用与横向气动力促进表面波的增长，加大射流不稳定性，即为K-H和R-T不稳定性，诱导破碎；表面张力会阻止流体表面积增大，抑制射流破碎，起稳定作用。同时液体的黏性力也会对射流扰动的发展起抑制作用。

为确定黏性对K-H不稳定性及R-T不稳定性的影响，本节将黏性纳入到其他3项中考虑，重新计算3部分不稳定性的影响。式(35)可改为

=R()+R()+R()

(37)

式中：、、分别代表有黏速度剪切量、有黏表面张力量以及有黏横向气动力量。由于主要研究黏性对两种不稳定性的影响，因此忽略表面张力。令=0，则式(34)变为

(38)

式(38)为不考虑表面张力的有黏液体横向射流色散方程，方程的解变为

=R()+R()

若令=0，则式(38)变为

(39)

式(39)为不考虑表面张力的有黏自由射流色散方程，其解为=R()。对比式(38)和式(39)，当给定时，含的项为定常数，因此可以通过求解R()进而得到R()。

对于=0,=0,=0，式(33)可化简为

(40)

式(40)为不考虑表面张力的无黏横向气流色散方程，其解为=R()+R()。再令=0，则式(40)变为

(41)

式(41)为不考虑表面张力的无黏自由射流色散关系式，其解为=R()。同样地，可以通过求解R()进而得到R()。

利用上述方程求解不稳定性增长率，得到与、与的对比，如图6(a)所示。射流为水，速度为10 m/s。当气流速度为30 m/s时，曲线与随波数增加差距变大，与几乎完全重合。说明在这个条件下，黏性对K-H不稳定性和R-T不稳定性有一定影响，但影响不大。对于，考虑黏性之后，随着波数的增大，表面波增长率的减小量从0.5%增长到4.8%，最佳波长对应的增长率则减小了2.8%；对于，表面波增长率减小量则从0到增大到0.22%，最佳波长对应的增长率减小0.07%。相比之下，黏性对的影响大于对的影响，说明该工况下，黏性对K-H不稳定性的影响更大。结合式(38)和式(39) 并分析两种不稳定性的产生原理可知，K-H不稳定性由切线方向剪切力产生，而R-T不稳定性由自由截面垂直方向加速度以及气流冲击浸入液体射流产生。由于黏性对剪切力的影响，使得黏性对K-H不稳定性影响更大。

保持射流速度不变，增大气流速度为60 m/s。与、与随波数变化的曲线如图6(b)所示。此时，对于来说，其增长率减小量从0.22%增大到5.36%，最佳波长增长率减小2.92%，与图6(a)中黏性对K-H不稳定性抑制比例相近；而对于，表面波增长率的减小量从0增大到0.16%，最佳波长增长率减小1.5%。可见此时，K-H不稳定性受黏性的影响更大。

结合图6(a)和图6(b)可以看出，黏性对两种不稳定性都有一定程度的削弱，对K-H不稳定性的削弱程度更大。且随着横向气流速度的增加，黏性力对不稳定性的抑制作用加强。

水的黏性较小，其抑制作用较弱。为观察黏性的影响，更换工质为黏性更大的84%甘油。与、与的对比如图7所示，液体速度与气流速度分别为10 m/s和30 m/s。显然，黏性对与有很大影响。随波数的增大，的减小量从35.2%增大至82.7%；减小量从1.39% 增大至49.1%。这表明黏性对小波长不稳定波的抑制效果要远强于对大尺度波的抑制，因为小扰动的黏性耗散效应更强。对于和,最佳波数对应的增长率分别降低了68%和19.4%。因此对于高黏性液体，黏性同样对K-H不稳定性的影响更大。

图6 工质为水时A1与B1、A3与B3对比情况Fig.6 Comparison of A1 and B1, A3 and B3 with water as working fluid

图7 工质为84%甘油时A1与B1、A3与B3的对比Fig.7 Comparison of A1 and B1, A3 and B3 with 84% glycerol as working fluid

2 黏性液体射流在非均匀气场中的情况

2.1 二维剪切气流表征

实际情况中气流的分布是非均匀且复杂多变的，本文利用二维剪切气流来模拟简单非均匀气流场情况。其速度剖面如图8所示，为气流场沿轴的长度。速度函数描述为

()=+

(42)

式中：和为常量。若>0，则该气流具有正速度梯度；若<0，则该气流具有负速度梯度。无量纲化为

(43)

其中：和为常数。

图8 剪切速度梯度示意图Fig.8 Schematic diagram of shear velocity gradient

2.2 黏性对二维剪切气流条件下横向射流破碎的影响

由第1节可知，液体黏性会对射流的破碎起抑制作用。本节讨论，在二维剪切气流作用下，黏性对射流不稳定性的影响。

设定液体韦伯数=176，保持气体平均韦伯数=8，即气流无量纲平均速度=62不变，不同速度梯度对应的最佳波数以及最佳增长率随/变化如图9所示。从图9可以看出，考虑水的黏性后，相比于无黏情况，其最佳波数及最大增长率均有所减小，减小幅度在表5中列出。对比表5数据可以看出，相较于无黏水，考虑黏性后最佳波数和最大增长率的减小率在3%之内，整体减小率控制在5%以内。这个结果与均匀气流场中得到的结论基本一致。

为进一步确定黏性对二维剪切流场中射流不稳定性的影响，保持气流和液体射流工况参数不变，仅将水的黏性系数增加到原来的100倍，得到

图9 不同速度梯度下无黏与有黏情况时最佳波数sopt和最大增长率情况(We1=176，Weg,avg=8)Fig.9 Optimal wave number sopt and maximum growth rate of inviscid and viscous cases with different velocity gradients (We1=176，Weg,avg=8)

表5 不同速度梯度下的减小率(We1=176，Weg,avg=8)

新的射流破碎表面波最大增长率和最佳波数变化，如图10所示。减小幅度如表6所示。对比无黏情况，可以明显看出两者均有很大的减小量，最佳波数的减小量在30%～40%之间，表面波最大增长率减小量在60%～70%之间，且随着液体黏性的增加，射流的稳定性大幅度提升，进一步体现了黏性对射流的破碎产生很大的抑制作用。

图10 黏性增加到100倍时不同速度梯度下的最佳波数和最大增长率(We1=176，Weg,avg=8)Fig.10 Optimal wave number and maximum growth rate with different velocity gradients when viscosity increases to 100 times (We1=176，Weg,avg=8)