以学为中心着眼互动的“全微分”类比探究性教学

景慧丽　王兆强

摘  要：学员是学习的主体，在教学过程中必须以学员为中心，加强教学互动，让学员参与到教学活动中。探究性教学突出学员的主体地位，强调学员主动性和创造性的发挥，考虑到“全微分”与“一元函数微分”的关系，文章结合教学实践，对“全微分”这一部分内容进行突出互动的类比探究性教学。

关键词：互动;以学为中心;类比;探究性教学;全微分

中图分类号：G642      文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2022）10-0005-04

Abstract： Students are the main body of learning. In the process of teaching， we must take learning as the center， strengthen teaching interaction， and let students participate in teaching activities. Inquiry teaching emphasizes the main position of students and emphasizes the initiative and creativity of students. Considering the relationship between complete differential and univariate function differential， this paper combines teaching practice to carry on the analogy inquiry teaching of complete differential.

Keywords： interaction; learning-centered; analogy; inquiry teaching; complete differential

贯彻新时代军事教育方针必须解决好“教什么、怎么教，学什么、怎么学”的问题，这就需要教员发挥好“教”的主导作用，激发“学”的内生动力，注意到著名美籍匈牙利数学家、教育家波利亚（George Polya）曾说：“学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现，因为这种发现，理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。[1]”因此，笔者遵循以学员为中心的原则，着眼师生互动和生生互动，在教学过程中充分发挥学员学习主体作用，研究和实践了军校高等数学课程的探究性教学，针对不同的教学内容，研究、探索和实践了不同的探究性教学方式。例如，针对习题课研究和实践了基于学员作业的相互挑刺式的探究性教学，针对部分概念、定理研究和实践了基于阶梯问题的探索式、讨论式和类比式等探究性教学。注意到多元函数微积分学是由一元函数微积分学推广发展来的[2]，它们之间有很多相同之处，例如，多元函数在一点处连续的概念与一元函数相同，都是               ;偏导数的定义与一元函数导数的定义一样，都是增量比的极限;多元分段函数在分段点处的偏导数以及高阶偏导数的求法与一元函数相同，都必须用导数或偏导数的定义去求[3];多元函数和一元函数取得极值的必要条件相同，即若函数在极值点处的导数或偏导数存在，则该极值点必是函数的驻点;格林公式与牛顿——莱布尼茨公式的本质一样，都揭示的是函数在区域内部的取值规律与区域边界上的取值规律之间的联系等。因此，多元函数微积分学的教学更适合类比探究性教学。文章结合教学实践，以“全微分”的教学为例，探讨着眼互动的以学员为中心的类比探究性教学的具体实施过程。

一、“全微分”着眼互动的类比探究性教学过程

（一）由实际问题引入，创设情境，提出问题，类比分析，获得三个基本概念

一堂课的引入方式有很多种，可以开门见山，即直接告诉学员本节课要讲什么内容，这样重点突出，直观明了;也可以通过复习上节课的内容引入本节内容，所谓的温故而知新;也可以通过检测预先布置给学员的预习问题引入，这样既可以培养学员的自学能力，还可以培养学员参与课堂教学活动的积极性;当然还可以通过与本节知识相关的新闻引入等，无论采用什么方法，都要本着以学为中心的原则，目的是激发学员的学习兴趣，唤起学员的思维，引燃学员的学习激情[4]。

本节教学内容，笔者采用了开门见山和实际问题相结合的方法引入，即笔者首先告诉学员本节课要学习的内容是全微分的概念及其存在的条件，它和一元函数微分有很多相同之处但也存在着差异，在学习过程中要善于类比，区分异同，到底它们之间存在哪些相同之处、哪些不同呢，大家拭目以待。这样的“开场白”激起了学员的好奇心，学员们都迫切地想知道答案。然后笔者话锋一转，告诉学员类似于其他很多数学概念，全微分这个概念也是来源于实际需求的，这样就自然而然地引出了实际问题，即引例。笔者设计引例遵循的原则是：既要考虑学员的数学基础以及他们身份的特殊性，也要立足所选用的教材。因此，笔者将教材（即同济大学数学系编写的高等数学第七版）中本节内容的例题4[5]改编成了引例，即某军械所学员在修理武器装备时，需要对一圆柱体固件进行喷涂，喷涂后其半径r由20 mm增大到20.05 mm，高度h由100 mm增大到100.1 mm，求此圆柱体体积v的改变量？驻v。这样的引例尽管实质与军事实际问题关系不大，但是也略带军事特色，也能让学员感受到数学“淡淡的军味”，无形中也激起了学员学习数学的兴趣。

笔者要求学员自己独立地去求解引例，学员完成后，笔者立马提出问题：如果抛开该问题的实际背景，纯粹从数学上来研究，数据都不变，只借助纸和笔，如何计算函数z=rh的改变量呢？学员经过讨论、尝试后发现无法计算出精确值。笔者告诉学员，在工程应用、军事应用以及生活实际中很难得到一个量的精确值，例如引例中圆柱体体积的改变量？驻v的计算需要用到π，而π只有近似值，所以大家得到的结果只是？驻v的近似值，其实，在实际应用中也一般都是用近似值代替精确值，基于这个实际情况，不妨计算函数z=rh改变量的近似值，该如何计算呢？能快速方便地计算出来吗？这个问题大部分学员都毫无头绪、无从下手。此时笔者启发学员回忆是否学习过一元函数改变量的近似值的计算呢？方法是什么呢？能不能类比当时解决一元函数改变量的近似值的方法来解决二元函数呢？这样通过让学员回忆、讨论和类比，再加上笔者的引导，二元函數的偏增量、全增量和偏微分这三个基本概念就水到渠成地呈现在学员面前了。笔者分析完二元函数偏微分的实质，立马提出下面的问题让学员思考、讨论：偏增量可以用其自变量增量的线性函数来近似计算，那么全增量是不是也可以用其自变量改变量的线性函数近似代替呢？绝大部分学员都认为应该可以，此时笔者又提出问题：“怎么表示呢？具体形式是什么呢？”由于学员数学素养不同，接受新知识的能力也不同，此时学员的结论就比较多了。当学员的探索偏离“轨道”，甚至有可能出错时，教员要及时地进行干预、指导，根据课堂教学实际情况，笔者引导学员探索的过程如下。

（二）大胆猜想，由特殊到一般，获得全微分的概念

笔者首先启发学员类比已学知识进行大胆猜想，然后带领学员再对引例重新分析，得到的结论是：？淄=？仔r2h这个函数的全增量？驻？淄确实可以用其自变量的增量？驻r、？驻h的线性函数近似代替，并且具体形式是：？驻？淄=？仔[2rh？驻r+r2？驻h+o（）]，进一步可以将其写成？驻？淄=？仔[A？驻r+B？驻h+o（）]的形式，其中A=2rh，B=r2，显然这里的A、B都是与？驻r、？驻h无关的常数。到此，笔者告诉学员这个特殊函数的全增量所具有的形式可以完全推广到一般的二元函数，即对二元函数z=f（x，y）来说，如果其在点P0（x0，y0）处的全增量

可以写成A？驻x+B？驻y+o（）的形式，其中A、B是不依赖于？驻x、？驻y的常数，类似于一元函数可微和微分的概念，此时就称二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处是可微的，并且把A？驻x+B？驻y称为函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处的全微分。这样通过猜想以及从特殊到一般的分析方法就获得了全微分的概念。

合情猜想是科学探索中一种很重要的思想方法，在教学过程中，教员要挖掘教学内容中的合情猜想思想，精心进行教学设计，创设情境，让学员感受、体会合情猜想的美，进而掌握这个数学思想方法，提升数学素养。

（三）进一步分析全微分的概念，类比一元函数，结合已学知识，获得全微分存在的必要条件

得到全微分的概念后，笔者设计两个问题让学员讨论、探索，其中一个问题是：已知函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处可微，如果让自变量的增量？驻x、？驻y都趋于零，会有什么情况发生？另一个问题是：已知函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处可微，如果自变量的增量比较特殊，即？驻x=0或者？驻y=0，会有什么情况发生？学员通过解决这两个问题，得到的结论是：如果函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处可微，则函数在该点必连续;函数在该点的两个偏导数也都存在，且A=fx（x0，y0）、B=fy（x0，y0）。此时笔者一方面对学员的探索步骤进行点评、总结，一方面让学员回忆一元函数在一点处的连续性、可导性和可微性的关系，并类比一元函数思考上述两个结论反之是否成立（即如果函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续，那么函数在该点处是否可微？如果函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处的两个偏导数都存在，那么函数在该点处是否可微？）。学员的讨论结果并不一致，为了解决学员的疑问，笔者首先让学员说出上述两个结论（即如果函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处可微，则函数在该点必连续;函数在该点的两个偏导数必存在）的逆否命题，然后让学员回忆多元函数在一点处的偏导数的存在性和函数在该点处的连续性之间的关系以及一个命题与其逆否命题之间的关系，这些准备工作完成后，笔者就带领学员从理论上进行分析，具体分析过程如下：如果函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续，则此时不能保证函数在该点处的偏导数存在，而函数在一点处的偏导数不存在的话，函数在该点一定不可微（原理是原命题等价于其逆否命题），由此可知，函数在一点处连续的话，函数在该点未必可微，用类似的方法可以得到：函数在一点处的两个偏导数都存在的话，也不能保证函数在该点处可微，综上可知，函数在一点处连续和该点处的偏导数存在都是全微分存在的必要非充分条件，这样从理论上就得到了全微分存在的必要条件，但是这种理论分析对数学基础比较差的学员来说稍微有点抽象，他们会感觉云里雾里，因此为了帮助学员理解上述结论，笔者就采用了“用事实说话”的方法，即通过具体的例子来展示上述结论，笔者并没有立刻给出反例，而是在带领学员探索全微分存在的充分条件过程中创设情境，举出反例，并让学员通过解决笔者设计的问题达到“豁然开朗”的效果。

另外，注意图表具有直观、清晰、简洁和条理性好等特点，它能直观地体现出特定知识点的方方面面，还能揭示出事物之本质关系[6]，有着文字语言无法代替的优越性。所以，在教学和学习过程中，如果能把某些有内在联系的知识，有机结合起来，制成图表，可使知识条理化、系统化，有助于理解知识[4]。因此，为了帮助学员更直观、清晰地感受和掌握所探索到的结论，笔者让学员自己画出它们之间的关系图，即如图1所示。

（四）创设情境，提出问题，进行探究，获得全微分存在的充分条件

得到全微分存在的必要条件后笔者乘胜追击，又提出下面的问题让学员思考、讨论：如果函数在一点处不但连续而且两个偏导数也都存在，此时函数在该点处可微吗？如果可微，给出证明，如果不可微，请举出反例。笔者把学员分成几个小组进行讨论，并将讨论结果、步骤展示出来。大部分学员通过查阅资料所得结论都是正确的，但是所举反例以及如何说明不可微，这两个方面不是很理想，这些情况都在笔者的意料之中。于是笔者就设计了一系列的阶梯问题，通过让学员解决这些阶梯问题的过程，带领学员共同探索出判断函数可微性的方法，即当函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续并且偏导数都存在的情况下，判断该函数在点P0（x0，y0）处是否可微的方法是：判断极限

是否为零，如果上述极限为零，则函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处可微;如果上述极限不存在或者极限存在但极限值不为零，则函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处不可微。

获得上述方法后，笔者就举出反例并带领学员进行详细分析。分析完，笔者又提出问题：根据刚才的反例可知，函数在一点处的两个偏导数都存在并且函数在该点连续也不能保证函数可微，但是，当函数可微时，其微分A？驻x+B？驻y中不依赖于？驻x、？驻y的常数A、B就是函数在该点处的两个偏导数，基于这两种情况，我们能不能给偏导数存在加强一些条件，使其保证函数可微呢？让学员思考、讨论并给出方案，笔者带领学员进行分析，最终得到的结论是：如果函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处的两个偏导数连续，则函数在该点处必可微。此时，笔者立马又提出问题：反之是否成立呢？即函数在一点处可微，那么函数在该点处的两个偏导数一定连续吗？学员思考、讨论完，笔者进行总结，到此，已獲得全微分存在的必要条件和充分条件。这个充分条件笔者是根据学员的提议并结合教材所给定理带领学员探索出来的，其实这个充分条件完全可以减弱，但是，笔者并没有直接告诉学员可以将这个充分条件减弱，也没有告诉学员将其减弱成什么，而是在本节课结束时，笔者将其设置成了一个思考题，让学员课后完成，即从探索全微分存在的充分条件的过程中你能提炼出函数可微的其他条件吗？如果能，请写出来这个条件。这样不但可以帮助学员将所学碎片知识系统化，培养学员养成数学严密的逻辑推导习惯，而且还可以培养学员的发散思维。

（五）总结应用，进行推广

得到全微分存在的充分条件后，笔者让学员自己归纳、总结出二元函数在一点处的可微性、偏导数的存在性、函数的连续性以及偏导数的连续性这几个概念之间的关系，画出其关系图，并与一元函数在一点处的可微性、可导性以及函数的连续性这三个概念之间的关系进行对比，并做出比较表，这样学员通过自己总结不但可以加深对知识点的理解，还可以使自己所学知识系统化、条理化[7]。另外，学员通过自己对比，更能理解多元函数微分学与一元函数微分学之间的区别与联系，避免了死记现成的知识。到此，学员已获得二元函数全微分的概念、存在条件以及求法，此时笔者告诉学员一元函数微分在数值上的重要应用是近似计算，类似地，全微分在数值上的重要应用也是近似计算，并让学员先类比一元函数的近似计算公式写出二元函数的近似计算公式，然后再用所得公式解决最开始的问题，即计算函数z=rh的改变量。这样通过由理论到实践的过程，学员不但能感受到公式的应用美和简单美，而且还能体会到自己探索知识乐趣。接下来笔者告诉学员二元函数全微分的概念、存在条件、计算方法、几个概念之间的关系以及在数值上的应用可以完全推广到三元函数乃至n元函数，并让学员类比二元函数全微分的概念及形式写出n元函數全微分的概念及形式，至此，本节内容已学习完毕。笔者为了让学员进一步体会和掌握类比探究性学习这个方法，又让学员类比一元函数所具有的一阶微分形式的不变性，思考多元函数全微分是不是也具有一阶全微分形式的不变性？为下节课用类比探究性教学法学习多元复合函数的偏导数作铺垫。

二、结束语

以上就是突出互动、以学为中心的“全微分”类比探究性教学全过程，教学实践表明，这种教学方式不但可以提高学员学习效果，提升学员学习动力，提高教学质量，更重要的是激发了学员参与教学过程的兴趣和热情，活跃了课堂气氛，有效培养了学员分析问题、解决问题的能力，无形中也培养了学员的问题意识和创新能力，是落实新时代军事教育方针的有效举措之一。需要注意的是，类比是与已有知识、已学知识、先验知识进行比较，所以要想发挥好类比探究性教学、类比探究性学习的优势，就必须熟练掌握已有知识，就高等数学课程来说，只有熟练掌握一元函数微积分学的知识，才能游刃有余地类比探究多元函数微积分学相关知识。因此，在教学过程中，教员不但自己要重视基本概念、基本定理等基础知识的教学，更重要的是要教育、引导学员注重基础知识的学习，就像李克强总理在第十三届全国人大四次会议闭幕后记者会上所说的，“我想对青年学生们说几句话，不管你们将来从事什么职业、有什么样的志向，一定要注意加强基础知识的学习，打牢基本功和培育创新能力是并行不悖的，树高千尺，营养还在根部。把基础打牢了，将来可以触类旁通” 。

参考文献：

[1]任长松.探究式学习[M].北京：教育科学出版社，2005：3.

[2]景慧丽，王正元，杨宝珍，等.类比法在“全微分”教学中的应用[J].河南广播电视大学学报，2014，27（1）：105-106+112.

[3]景慧丽，王惠珍.偏导数易错题分析研究[J].首都师范大学学报，2019，40（1）：78-82.

[4]景慧丽，李应岐，屈娜.探索式教学法在“常数变易法”教学中的应用[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2017，30（10）：125-128.

[5]同济大学应用数学系.高等数学（下）（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014：76.

[6]黄禄海.重视图表在教学中的作用[J].宁德师专学报（自然科学版），2002，14（4）：376-380.

[7]景慧丽，赵伟舟，王惠珍，等.问题牵引式教学法在“方向导数”教学中的应用[J].首都师范大学学报（自然科学版），2015，36（6）：13-17.

基金项目：中国科协青年人才托举工程项目“复杂多阶段任务系统退化规律建模-剩余寿命预测与维修库存决策”（17JCJQQT022）;2016年高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项目“基于培养学生创新思维和创新能力的高等数学课堂教学设计案例的探索与建设”（CMC20160405）;火箭军工程大学2020年度教育教学研究课题“基于‘以学为中心’理念的《高等数学》课程探究性教学模式的研究与实践”（HJJKT2020028）

作者简介：景慧丽（1983-），女，汉族，河南平顶山人，硕士，副教授，研究方向为最优化和大学数学教育教学。