二次曲线系在圆锥曲线四点共圆问题中的应用

摘要：常规方法处理圆锥曲线中的四点共圆问题，运算量比较大，若能巧妙运用二次曲线系来处理，可大大简化运算.

关键词：圆锥曲线;四点共圆;二次曲线系

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0092-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：李鸿昌，从事高中数学教学研究.[FQ）]

1 预备知识

1.1 二次曲线系

两个二次曲线通常有四个交点（这些交点中可能有重合的，也可能有虚的）.如果这两个二次曲线的方程分别为f1（x，y）=0和f2（x，y）=0（fi（x，y）=0是x，y的二次式），那么过它们交点的二次曲线束可写成λf1（x，y）+μf2（x，y）=0，其中λ，μ为实数且不全为0.

当二次曲线退化为直线时，即得到直线束方程.

1.2 直线系方程

设直线l1：m1x+n1y+c1=0与直线l2：m2x+n2y+c2=0相交于点P，则过点P的直线束方程可写成λ（m1x+n1y+c1）+μ（m2x+n2y+c2）=0，其中λ，μ为实数且不全为0.

特别地，过点P的曲线束方程为（m1x+n1y+c1）（m2x+n2y+c2）=0.

1.3 圆系方程

过两条直线f1=0，f2=0与一条二次曲线f（x，y）=0的4个交点的二次曲线束方程为f（x，y）+λf1f2=0（λ为参数），仅当此方程中x2与y2的系数相同时表示圆.

2 典例分析

例1（2021年新高考Ⅰ卷）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（-17，0），F2（17，0），点M满足MF1-MF2=2. 记M的轨迹为C.

（1）求C的方程;

（2）设点T在直线x=12上，过点T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且TA·TB=TP·TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

解析（1）因为MF1-MF2=2，所以M的轨迹C为双曲线的右支，且

c2=17，2a=2，c2=a2+b2，

解得a=1，b=4.

故C的方程为x2-y216=1（x≥1）.

（2）由TA·TB=TP·TQ，得

TATP=TQTB，且∠ATQ=∠PTB.

所以△ATQ∽△PTB.

从而∠ABP=∠AQP.

因此A，B，Q，P四点共圆.

由题意知，直线AB和PQ的斜率均存在且不等于0，则直线AB的方程为

y-n=k1（x-12）.

即k1x-y+n-12k1=0.

同理直线PQ的方程为

k2x-y+n-12k2=0.

则过A，B，Q，P四点的二次曲线系方程为

x2-y216-1+λ（k1x-y+n-12k1）（k2x-y+n-12k2）=0.

即（1+λk1k2）x2+（-116+λ）y2-λ（k1+k2）xy+λ[（k1+k2）n-k1k2]x

-λ（2n-k1+k22）y+（n-k12）（n-k22）=0.（*）

因为A，B，Q，P四点共圆，所以该圆也是曲线（*）中的一条曲线.

方程（*）为圆的充要条件是

1+λk1k2=-116+λ，且λ（k1+k2）=0.

因為λ≠0，

所以k1+k2=0.

因此直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和等于0.

点评根据双曲线方程及直线AB和PQ的方程，可写出过A，B，Q，P四点的二次曲线系方程. 再由条件“TA·TB=TP·TQ”得到A，B，Q，P四点共圆，所以二次曲线系方程中x2与y2的系数相同，从而得到k1+k2=0.

例2（2014年大纲卷）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为点F，直线y=4与y轴的交点为点P，与C的交点为点Q，且QF=54PQ.

（1）求C的方程;

（2）过点F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.

解析（1）设Q（x0，4），代入y2=2px，得

x0=8p.

所以PQ=p8，

QF=p2+x0=p2+8p.

由题意，得p2+8p=54×8p，

解得p=2.

所以C的方程为y2=4x.

（2）由题意知直线l与x轴不垂直，故可设l的方程为x=my+1.

故可设AB的垂直平分线l′的方程为

x=-1my+c.

于是过A，M，B，N四点的二次曲线系方程为

y2-4x+λ（x-my-1）（x+1my-c）=0.

即（1-λ）y2+λx2+λ（1m-m）xy-[4+λ（c+1）]x+λ（mc-1m）y+λc=0.

因为A，M，B，N四点共圆，

所以有1-λ=λ，且λ（1m-m）=0.

即λ=12，m=±1.

故直线l的方程为

x-y-1=0或x+y-1=0.

点评由题意可设出l和l′的方程，然后写出过A，M，B，N四点的二次曲线系方程，根据A，M，B，N四点共圆，知方程中x2与y2的系数相同且xy的系数为0，从而得到l的方程.

3 应用

题1（2002年江苏卷）设A，B是双曲线x2-y22=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点.

（1）求直线AB的方程;

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C，D两点，那么A，B，C，D四点是否共圆，为什么？

解析（1）由中点弦公式，kON·kAB=b2a2，得

2kAB=21，即kAB=1.

所以直线AB的方程为y-x-1=0.

（2）易知直线CD的方程为y+x-3=0.

所以过A，B，C，D四点的二次曲线系方程为

x2-y22-1+λ（y-x-1）（y+x-3）=0.

即（1-λ）x2+（λ-12）y2+2λx-4λy+3λ-1=0.

该曲线方程表示圆的充要条件是

1-λ=λ-12，即λ=34.

此时圆的方程为x2+y2+6x-12y+5=0.

因此A，B，C，D四点在圆x2+y2+6x-12y+5=0上，即A，B，C，D四点共圆.

题2（2005年湖北卷）设A，B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C，D两点.

（1）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程;

（2）试判断是否存在这样的λ，使得A，B，C，D四点共圆？并说明理由.

解析（1）由于点N（1，3）是线段AB的中点，

所以N（1，3）在椭圆3x2+y2=λ内.

故3×12+32<λ，

即λ>12.

因此λ的取值范围是λ∈（12，+

SymboleB@

）.

由中点弦公式，kON·kAB=-b2a2，得

3kAB=-3，即kAB=-1.

所以直線AB的方程x+y-4=0.

（2）易知直线CD的方程为x-y+2=0.

所以过A，B，C，D四点的二次曲线系方程为

3x2+y2-λ+μ（x+y-4）（x-y+2）=0.

即（3+μ）x2+（1-μ）y2-2μx+6μy-8μ-λ=0.

该曲线方程表示圆的充要条件是

3+μ=1-μ，即μ=-1.

此时圆的方程为

x2+y2+x-3y+4-λ2=0.

即（x+12）2+（y-32）2=λ-32.

由（1）知，当且仅当λ>12时，A，B，C，D四点在圆（x+12）2+（y-32）2=λ-32上，即A，B，C，D四点共圆.

参考文献：

[1] 单墫.解析几何的技巧[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2009.

[2] 孔令辉，匡莹萍.利用曲线系方程证明圆锥曲线上四点共圆[J].数理化解题研究，2013（06）：27.

[责任编辑：李璟]