平面向量数量积几何意义的应用

2022-04-25陈喜杨

数理化解题研究·高中版 2022年3期

关键词：投影

摘要：通过平面向量数量积与向量投影的关系体会向量代数的抽象性与几何的直观性.把向量问题转移到几何意义的应用中，往往是解题的关键并能收到事半功倍的效果.

关键词：数量积;投影;几何意义

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0042-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：陈喜杨（1977-），女，福建省莆田人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.[FQ）]

高考中对平面向量数量积最值题目的考查常用其几何意义，这种题型涉及的条件通常是一个向量已知、另一个向量运动变化，考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，以及学生运用运动变化的思想分析问题、解决问题的能力.向量具有代数和几何的双重身份，不但有数的特征，而且有形的特点，是把代数与几何很好地连接起来的纽带，是数形结合的天然桥梁，向量中的很多问题常常借助于图形的几何性质，可以给抽象的运算以直观的解释，显得简捷方便.

通过向量数量积解决问题使学生深入理解数学各知识之间的渗透，体会数学知识的抽象性、概括性和应用性，从而提高学生解题的正确率.

1 从几何角度理解平面向量数量积的定义

平面向量数量积的公式：a·b=a·bcosθ，其中θ=<a，b>，bcosθ叫做向量b在向量a方向上的投影，因此投影是一個数量，不是向量.当θ=0°时投影为b，当θ为锐角时投影为正，当θ=90°时投影为0，当θ为钝角时投影为负，当θ=180°时投影为-b.故平面向量数量积a·b的几何意义是：向量a的长度a与向量b在向量a方向上的投影bcosθ的乘积.

平面向量数量积是向量的核心内容，属高考常考内容.利用平面向量数量积可以解决长度问题、夹角问题、垂直问题以及平行问题等.

2 平面向量数量积的应用

2.1基底与数量积的综合应用

当长度已知、向量夹角已知时，首先考虑用向量的三角形法则和平行四边形法则，选择两个长度已知、夹角已知的向量为基底来表示要求的向量，再结合平面向量数量积的几何意义求解.

例1在Rt△ABC中，∠ACB=π2，AB=4，AC=2，若AD=32AB，则CD·CB=.

分析由Rt△ABC中边角已知且有垂直关系，可知向量的基底便于选择和确定.在向量基底的表示中常用的方法是：先找一个以要求向量的起点和终点为回路的几个向量的和差，如图1中的向量CD，我们找C→A→D的回路表示出向量CD，再向所选基底转化.

解法1如图1，由∠ACB=π2，AB=4，AC=2，可得CB=23.

故CD·CB=（CA+AD）·CB

=CA+32AB·CB

=CA·CB+32BA·BC.

因为BA在BC方向上的投影为BC，

所以CD·CB=0+32BC2=18.

解法2如图2，过点D作DE⊥CB交CB延长

线于点E，则向量CD在向量CB方向上的投影为CE.

因为AD=32AB，AC∥DE，

所以CE=32CB，

即CD·CB=CE·CB=32CB2=18.

2.2 平面几何知识与数量积的几何意义的融合

几何与代数是高中数学课程的主要内容之一，在向量数量积几何意义的应用中，整合了数学中的代数运算和几何图形，引导学生通过数形结合，提升直观想象、数学运算及逻辑推理的核心素养.

例2在ΔABC中AO=AB=1，2AO=AB+AC，O为△ABC的外心，则AO·AC的值为.

解析由2AO=AB+AC，可得O为边BC的中点.

因为O为△ABC的外心，所以△ABC为直角三角形且∠BAC=90°.

根据AO=AB=1 ，可得

BC=2，AC=3，∠OAC=∠C=30°.如图3，

过点O作OF⊥AC交AC于点F，则向量AO在向量AC方向上的投影为AF=12AC.

所以AO·AC=AF·AC=12AC2=32.

评注此题出现了三角形外心的条件，要能根据外心的条件直接联想到一些学过的平面几何的知识，并学以致用、联想推理从而达到解决问题的目的.题目中的已知条件反映了图形的几何性质，通过图形使得几何条件及各数量之间的关系得以直观地呈现出来.

2.3 平面向量的应用与转化思想

向量数量积常用的方法之一是转化，转化思想是指在解题时根据题目中的已知条件，结合定义、图象、性质或者公式把问题转化成我们能解决的数学问题，从而达到解题的目的.这个过程通常是把未知转化为已知、抽象转化为具体、复杂转化为简单，使我们能够用已学过的知识来解决遇到的问题.

例3在平面内AB=AC=6，AB·AC=0，动点P，M满足AP=1，PM=MC，则BM·BC的最大值是.解析（向量数量积几何意义）

由AP=1知点P是在以点A为圆心以1为半径的圆上的动点.

由AB·AC=0，可得AB⊥AC .

由于 AB=AC=6，所以BC=23.

因为PM=MC，所以M为PC的中点.

故BM=12（BP+BC）.

所以BM·BC=12（BP+BC）·BC

=12（BP·BC+BC2）

=12BP·BC+6.

由此，求BM·BC的最大值也就转化为求BP·BC的最大值.因为BC为定向量，BP为动向量，所以即求BC与向量BP在向量BC方向上的投影的积的最大值.由于BC=23是定值，即求向量BP在向量BC方向上的投影的最大值.

因为AP=1，所以点P是在以点A为圆心1为半径的圆上的动点，如图4，过点A作直线P1P2∥BC交圆A于点P1，P2，AF⊥BC于点F，分别过点P1，P2作P1D⊥BC于点D，P2E⊥BC于点E，则AP1=DF=AP2=EF=1，BF=3，由图5可知，当点P在点P1时，向量BP在向量BC方向上的投影最大，最大值为BD=BF+DF=3+1.因此（BP·BC）max=23（3+1）=6+23，所以（BM·BC）max=12（6+23）+6=9+3.

此題使用了数量积的几何意义，应用转化思想把抽象的数学问题通过直观想象作出图象，使问题具体化、可视化，考查学生在处理数学问题时的迁移和应用.对比两种解法，由于本题是填空题，小题小做，故将数量积的几何意义联系数形结合进行求解，计算量较小，用到的知识点较少，更方便得出结果，而且也更容易判断出取最大值时点P的位置.

2.4 数量积几何意义在求数量积取值范围的应用

例4已知点P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB的取值范围是.

分析本题是2020年新高考全国Ⅰ卷的题目，先根据题意作出草图，从草图中理解题目，得到AP·AB中AP为动向量，AB为定向量，故而利用向量数量积的几何意义比较方便.

解析分别过点F，C作FM⊥AB，CN⊥AB交直线AB于点M，N，则点F，C在直线AB上的投影分别为点M，N.

如图5，根据正六边形图形的性质，得∠FAB=∠CBA=120°，故AM=BN=1.

因此，当点P在点F时，向量AP在向量AB方向上的投影最小值为-AM，（AP·AB）min=-2.

当点P在点C时，向量AP在向量AB方向上的投影最大值为AN，（AP·AB）max=2×3=6.

由于点P在正六边形内部，故AP·AB的取值范围为（-2，6）.

应用向量数量积几何意义求数量积时，注意投影是在向量所在有向线段的方向上还是在其反向延长线上，前者数量积为正，后者数量积为负，如本题中向量AF在向量AB方向上的投影是在有向线段AB的反向延长线上，故AP·AB<0.

向量是高中很多知识点之间的一个连接点，是联系各个知识点的桥梁，是高中数学中重要的内容之一，发挥着举足轻重的作用.复杂背景下求向量数量积的最大值、最小值，关键是挖掘隐含条件来达到已知与未知的转化，化数为形，从而解决问题.

参考文献：

[1] 陈杰.期末复习中的生态课堂——以向量数量积复习为例[J].中学数学教学参考，2020（13）：35-38.