圆锥曲线中的直角弦问题

卢会玉

摘要：本文主要研究圓锥曲线的直角弦问题，对椭圆与双曲线中相对于曲线中心的直角弦，相对于椭圆上点的直角弦，相对于非椭圆上点、非中心点的直角弦，以及对抛物线和双曲线的直角弦等问题进行了分析与研究，得到相应的结论并进行了证明.

关键词：直角弦;椭圆;抛物线;双曲线

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0017-06

收稿日期：2021-12-05

作者简介：卢会玉（1981.7-），女，甘肃省天水人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

圆锥曲线中的直角弦问题是高考考查的一个重要考点，也是一类特征非常明显的问题.可以通过探索找到涉及直角弦问题的试题特点，找到解决问题的合适方式.

1 直角弦定义

直线与曲线相交于两点A，B，若存在点P，使得PA⊥PB，则弦AB叫做相对于点P的直角弦.

2 椭圆中的直角弦

2.1 椭圆与双曲线中相对于曲线中心的直角弦

结论1直线l与曲线ax2+by2=1交于A，B两点，若OA⊥OB（O为曲线中心），则中心O到直线l的距离d=1a+b为定值.

证明当直线l的斜率不存在时，容易求得中心O到直线l的距离d=1a+b.

当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+m，则由y=kx+m，ax2+by2=1，得

a+bk2x2+2kmbx+bm2-1=0.

设Ax1，y1，Bx2，y2，由韦达定理，得

x1+x2=-2kmba+bk2，x1x2=bm2-1a+bk2.

因为OA⊥OB，则OA·OB=0.

即x1x2+y1y2=0.

所以x1x2+y1y2=x1x2+kx1+mkx2+m

=（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0.

则（a+b）m2=k2+1.

即m=k2+1a+b.

所以原点O到直线l的距离为

d=mk2+1=1a+b.

所以原点O到直线l的距离d为定值.

例1在直角坐标系xOy中，椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且MF2=53.

（1）求C1的方程;

（2）平面上的点N满足MN=MF1+MF2，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若OA·OB=0，求直线l的方程.

解析（1）由MF2=53=xM+1，得xM=23.

代入抛物线，得M23，263.

点M到（1，0），（-1，0）距离之和为2a=4.

所以C1：x24+y23=1.

（2）由MN=MF1+MF2=2MO，

所以kMN=kMO=6.

设l：y=6x+t，由y=6x+t，x24+y23=1，得

27x2+86tx+4t2-3=0.

设Ax1，y1，Bx2，y2，由韦达定理，得

x1+x2=-86t27，x1x2=-4t2-327.

因为OA·OB=0，所以x1x2+y1y2=0.

又y1y1=6x1+t6x2+t，

解得t=±23.

故直线l方程为y=6x-23，或y=6x+23.

点评例1中，由点到直线的距离t7=114+13，得t=±23.可以从另外一个角度验证答案的正确性，或者也可以让问题变得更直接、更简洁一些.

2.2 相对于椭圆上点的直角弦

结论2过椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）上的一点Px0，y0作互相垂直的两条直线PA，PB，与椭圆交于A，B两点，则直线AB恒过定点a2-b2a2+b2x0，b2-a2a2+b2y0.

证明椭圆的参数方程为x=acosθy=bsinθ（θ为参数），则可设Pacosθ0，bsinθ0，Aacosθ1，bsinθ1，Bacosθ2，bsinθ2，则直线PA的斜率为

kPA=b（sinθ1-sinθ0）a（cosθ1-cosθ0）

=2bsinθ1-θ02cosθ1+θ02-2asinθ1-θ02sinθ1+θ02

=-bcosθ1+θ02asinθ1+θ02.

同理kPB=-bcosθ2+θ02asinθ2+θ02，

kAB=-bcosθ1+θ22asinθ1+θ22.

若PA，PB的斜率存在，则kPA·kPB=-1.

从而有b2a2·cosθ1+θ02sinθ1+θ02·cosθ2+θ02sinθ2+θ02=-1.

即b2cosθ1+θ02cosθ2+θ02+a2sinθ1+θ02·sinθ2+θ02=0.F83C8DF7-CF44-4D67-87A1-AEBB7A86106B

所以b2cos（θ0+θ1+θ22）+cosθ1-θ22

+a2·-cos（θ0+θ1+θ22）+cosθ1-θ22=0.

即（a2+b2）cosθ1-θ22-（a2-b2）cosθ1+θ22·cosθ0+（a2-b2）sinθ1+θ22sinθ0=0.

于是cosθ1-θ22=a2-b2a2+b2cosθ1+θ22cosθ0-a2-b2a2+b2sinθ1+θ22sinθ0.①

即為θ0，θ1，θ2之间满足的关系式.

又直线AB的方程可写为

y-bsinθ1=-bcosθ1+θ22asinθ1+θ22（x-acosθ1）.

即cosθ1+θ22ax+sinθ1+θ22by-cosθ1-θ22=0.②

将①代入②得直线AB恒过定点a2-b2a2+b2x0，b2-a2a2+b2y0.

当PA或PB的斜率不存在时，不难证明上述结论也成立.

例2圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时切点为

P，双曲线C1：x2a2-y2b2=1

过点P且离心率为3.

（1）求C1的方程;

（2）椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程.

解析（1）设P（x0，y0），则切线方程为x0x+y0y=4.

则S=12·4x0·4y0=8x0y0.

又x20+y20=4≥2x0y0（当且仅当x0=y0=2时等号成立），

将x0=y0=2代入双曲线方程中，

可得a2=1，b2=2.

则C1的方程为x2-y22-1.

（2）易得椭圆方程为：x26+y23=1.

当l的斜率为0时不满足题意，则可设l：x=ky+3，由直线与曲线联立，得

（k2+2）y2+23ky-3=0.

设Ax1，y1，Bx2，y2，由韦达定理，得

y1+y2=-23kk2+2，y1y2=-3k2+2.

由PA·PB=0，得k=

362-1

或k=-62+1.

所以l1的方程为x-（362-1）y·3=0，

或x+（62-1）y-3=0.

点评例2中，由结论2可得直线AB恒过定点a2-b2a2+b2x0，b2-a2a2+b2y0，即23，-23，则可由直线过两点23，-23和3，0求得直线方程.利用结论解题可以从另外一个角度验证答案的正确性，或者也可以让问题变得更直接、更简洁一些.

2.3 相对于非椭圆上点、非中心点的直角弦

例3已知点O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为22，点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，△IOJ的边IJ上的中线长为32.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）过点H-2，0的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程.

解析（1）由题意得△IOJ为直角三角形，且其斜边上的中线长为32，所以IJ=3.

设椭圆C的半焦距为c，则ca=22，a2+b2=3，a2=b2+c2.

解得a=2，b=1.

所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1.

（2）由题知，点F1的坐标为-1，0，显然直线AB的斜率存在.

设直线AB的方程为y=kx+2k≠0，

由x22+y2=1，y=kx+2，

得1+2k2x2+8k2x+8k2-2=0.

则Δ=8k22-41+2k28k2-2

=81-2k2>0.

即0

设Ax1，y1，Bx2，y2，则

x1+x2=-8k21+2k2，x1x2=8k2-21+2k2.

因为AF1⊥BF1，所以AF1·BF1=0.

则-1-x1，-y1·-1-x2，-y2=0.

即1+x1+x2+x1x2+kx1+2·kx2+2=0.

整理，得

1+2k2x1+x2+1+k2x1x2+1+4k2=0.

即1+2k2·-8k21+2k2+1+k28k2-21+2k2+1+4k2=0.

化简，得4k2-1=0，解得k=±12.

因为k=±12都满足③式，

所以直线AB的方程为

y=12x+2或y=-12x+2.

即直线AB的方程为

x-2y+2=0或x+2y+2=0.

点评此类题目一般利用PA·PB=0，以及根与系数的关系即可直接解决问题.F83C8DF7-CF44-4D67-87A1-AEBB7A86106B

3 抛物线中的直角弦

结论3抛物线相对于曲线中心的直角弦：直线l交y2=2px（p>0）于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为原点，若OA⊥OB，则直线l恒过定点2p，0.

证明设A（y212p，y1），B（y222p，y2），则

由OA⊥OB，可得OA·OB=0.

即y21y224p2+y1y2=0.

所以y1y2=-4p2.

设AB：x=my+n，代入抛物线y2=2px，

得y2=2p（my+n）.

即y2-2pmy+2pn=0.

故y1y2=-2pn.

所以-2pn=-4p2.

即n=2p.

所以AB：x=my+2p.

可知弦AB恒过定点2p，0.

结论4直线l交y2=2px（p>0）于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为原点，若OA⊥OB，且OM⊥AB，则点M的轨迹为x2+y2=2px（x≠0）.

证明因为OA⊥OB，

则可知AB恒过定点2p，0.

故可设AB所在直线的方程为y=k（x-2p）.

又因为OM⊥AB，

则可设OM的方程为y=-1kx.

由y=k（x-2p），y=-1kx，消去k可得点M的轨迹为

x2+y2=2px（x≠0）.

结论5直线l交y2=2px（p>0）于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为原点，若OA⊥OB，则ΔAOB面积的最小值为4p2.

证明设A（y212p，y1），B（y222p，y2），则由OA⊥OB可得OA·OB=0.

即y21y224p2+y1y2=0.

所以y1y2=-4p2.

故S△AOB=12×x21+y21×x22+y22=12×x21x22+x21y22+x22y21+y21y22

=12×32p4+4p2（y21+y22）

≥12×32p4+4p2×2y1y2=4p2，

當且仅当y1=y2时等号成立.

结论6直线l交y2=2px（p>0）于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为原点，若OA⊥OB，则弦AB的中点N的轨迹方程为y2=p（x-2p）.

证明因为OA⊥OB，

则可知AB恒过定点2p，0.

故可设AB所在直线的方程为y=k（x-2p）.

由y=k（x-2p），y2=2px，得

k2x2-（4k2p+2p）x+4k2p2=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4p+2pk2.

所以y1+y2=k（x1-2p）+k（x2-2p）

=k（x1+x2）-4kp

=2pk.

设弦AB的中点N（x0，y0），则

x0=2p+pk2，y0=pk.

消去k得中点N的轨迹方程为y2=p（x-2p）.

结论7设直线l交抛物线y2=2px（p>0）于A，B两点，点P（x0，y0）是抛物线上不同于A，B两点的一个定点，且MA⊥MB，则直线l过定点（2p+y202p，-y0）.

证明显然直线AB不与x轴垂直.

故可设其方程为x=my+n.

设A（y212p，y1），B（y222p，y2），则

由x=my+n，y2=2px，

得y2-2pmy-2pn=0.

则y1+y2=2pm，y1y2=-2pn，

因为MA⊥MB，显然MA，MB的斜率存在.

所以kMA·kMB=-1.

即kMA·kMB=y1-y0y212p-y202p·y2-y0y222p-y202p

=4p2（y1+y0）（y2+y0）

=-1.

所以y1y2+y0（y1+y2）+y20+4p2=0.

整理，得n=my0+y202p+2p.

则直线AB的方程为x=m（y+y0）+y202p+2p.

则直线AB过定点（2p+y202p，-y0）.

4 双曲线中的直角弦

相对于双曲线上点的直角弦

结论8设直线l交双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0，a≠b）于A，B两点，点Px0，y0是双曲线上不同于A，B两点的一个定点，若PA⊥PB，则直线l恒过定点a2+b2b2-a2x0，b2-a2a2+b2y0.

证明双曲线的参数方程为x=acosθy=btanθ（θ为参数），则可设Pacosθ0，btanθ0，Aacosθ1，btanθ1，

Bacosθ2，btanθ2，则直线PA的斜率为F83C8DF7-CF44-4D67-87A1-AEBB7A86106B

kPA=b（tanθ1-tanθ0）a（1cosθ1-1cosθ0）

=-bsin（θ1-θ0）a（cosθ1-cosθ0）

=2bsinθ1-θ02cosθ1-θ022asinθ1-θ02sinθ1+θ02

=bcosθ1-θ02asinθ1+θ02.

同理kPB=bcosθ2-θ02asinθ2+θ02，

kAB=bcosθ1-θ22asinθ1+θ22.

若PA，PB的斜率存在，则

kPA·kPB=-1.

从而有b2a2·cosθ1-θ02sinθ1+θ02·cosθ2-θ02sinθ2+θ02=-1.

即b2cosθ1-θ02cosθ2-θ02

+a2sinθ1+θ02·sinθ2+θ02=0.

所以b2cos（θ0-θ1+θ22）+cosθ1-θ22+a2·-cos（θ0+θ1+θ22）+cosθ1-θ22=0.

即（a2+b2）cosθ1-θ22-（a2-b2）cosθ1+θ22·cosθ0+（a2+b2）sinθ1+θ22sinθ0=0.

于是cosθ1-θ22=a2-b2a2+b2cosθ1+θ22cosθ0-sinθ1+θ22sinθ0.④

即為θ0，θ1，θ2之间满足的关系式.

又直线AB的方程可写为

y-btanθ1=bcosθ1-θ22asinθ1+θ22（x-acosθ1）.

即cosθ1-θ22ax-sinθ1+θ22by

+sinθ1sinθ1+θ22-cosθ1-θ22cosθ1=0.⑤

将④代入⑤得直线AB恒过定点a2+b2b2-a2x0，b2-a2a2+b2y0.

当PA或PB的斜率不存在时，不难证明上述结论也成立.

参考文献：

[1]

中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 李世臣，陆楷章.圆锥曲线对定点张直角弦问题再研究[J].数学通报，2016，55（03）：60-62+66.

[3] 潘神龙.圆锥曲线对定点张直角弦的几何性质研究[J].中学数学研究，2016（01）：21-23.

[责任编辑：李璟]F83C8DF7-CF44-4D67-87A1-AEBB7A86106B