用“辅助图”优化小学数学“数与代数”教学

赵永

[摘  要] “辅助图”是学生数学学习的有效抓手、媒介和载体。小学“数与代数”教学中，教师要合理、高效、充分地应用辅助图，来激发学生的学习兴趣，催生学生的学习思维，激活学生的创造意识。通过应用“辅助图”，提升学生对“数与代数”相关知识的理解，促进学生对相关知识的应用，从而不断提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

[关键词] 小学数学;辅助图;代数教学

瑞士心理学家皮亚杰的认知发展阶段理论认为，小学生思维处于抽象思维向具体形象思维过渡的阶段。因此，在小学数学教学中，教师可以借助“辅助图”来辅助学生的数学学习。小学数学，从大的板块来看可以分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”等内容。在运用“辅助图”方面，教师更多的是将其运用于“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”板块。但考虑到学生数学学习的良好发展，教师应有意识地研究、实践将“辅助图”应用于“数与代数”板块的教学中。

[⇩] 一、用“辅助图”激发学生的学习兴趣

教学“辅助图”的内容十分丰富，它包括实物图、学具图、点子图、几何图、综合图、符号图等。在“数与代数”的教学过程中，教师可以使用辅助图来具体、直观地表达题意，激发学生的学习兴趣，调动学生数学学习的积极性，发挥学生的主观能动性，激活学生的创造性潜质。此外，“辅助图”也是可视化学生思维的有效的、重要的手段。

以教学“认识比例”（苏教版六年级下册）为例，很多教师都是按照教材的做法，从“生活中的事例”入手，引出“比例的意义”。尽管这些事例蕴含着事理，但由于这样的事例往往比较枯燥因而不能激发学生的兴趣。为了激发学生数学学习兴趣，笔者以生活中形状相同、大小不同的国旗实物图为例，将它逐渐抽象成几何图——“长方形”，进而引导学生探究两个长方形长的比和宽的比。在这个过程中，笔者引导学生把握关键的两点：其一是“形状不变”，其二是“大小变”。这样，为学生感性判断、认识图形的放大和缩小奠定了坚实基础。由于学生的数学学习有了生活中实物图的支撑，也有由实物图抽象出几何图的直观表象的认识，因此在这个过程中，“实物图”唤醒了学生的生活经验，“几何图”深化了学生的感知，帮助学生建立了直观的、具体的表象。借助“辅助图”，学生计算了图形放大或缩小后与图形放大或缩小前的数据比，建立了比例的概念。借助“辅助图”，学生能将两个比值的意义与图形的放大或缩小的倍数联系起来，形成了深刻的感悟。同时，这一部分内容的学习也为学生后续学习“比例尺的意义”奠定了基础。

“辅助图”能帮助学生突破学习难点，促进学生自主探究。在小学“数与代数”教学中，教师要充分运用教材中蕴含基本数学思想、基本活动经验的辅助图，并且自主创建相关的辅助图。通过辅助图，教师可以更有效地提升学生的数学理解水平、数学学习能力，并深化学生的数学探索。

[⇩] 二、用“辅助图”催生学生的学习思维

辅助图是一种感性的、具体的、直观的图形。在“数与代数”的教学过程中，教师要有意识地运用辅助图去激发学生的思维，催生学生的想象。当学生在“数与代数”学习中产生思维困惑、障碍时，教师要有意识地运用“辅助图”来突破学生的思维障碍，解除学生的思维困惑，让学生的思维更流畅、更清晰、更明确。同时，教学时借助“辅助图”，能让学生的数学思考方法、思考路径更优化、更便捷。

比如教学“两位数乘两位数”（苏教版三年级下册）这部分内容，为了突破学生的理解障碍，让学生充分理解算理、掌握算法，笔者相继以“实物图”“点子图”“几何图”为载体来引导学生认知。从实际效果来看，这有助于学生初步认识算理，对于计算法则理解有困难的学生则有一定的提示、支撑等辅助作用。在初步认识算理的基础上，教师有必要对实物图进行抽象，用“点子图”来表达较大的两个两位数相乘的情况。相较于实物图，“点子图”的结构性更强、抽象度更高，更便于学生圈画。教师在这个阶段使用“点子图”，有助于发展学生的数学思维，渗透对应的数学思想。在学生基本掌握算理、算法之后，教师有必要对“点子图”这一辅助图形进行再次抽象，从而用长方形几何图来表达两位数乘两位数的情况。

此外，辅助图还有助于学生的学习迁移，将两位数乘两位数的算理、算法迁移、应用到三位数乘两位数乃至多位数乘两位数中。教学中，教师还可以借助于点子图、几何图，引导学生探究不同的算法，从而让学生的计算过程走向多样化。比如“15×12”既可以写成“15×4×3”，也可以写成“15×6×2”，还可以写成“15×10+15×2”。借助“辅助图”，教师能有效探究学生计算方法的多样性，从而提升学生的计算能力和运算素养。

特级教师马芯兰认为，一切的科学研究都离不开形象的储备、识别和模型的建立等。辅助图的应用为学生学习代数知识奠定了坚实基础。从实物图过渡到点子图，从点子图过渡到长方形几何图，它们之间的连续性，代表学生的数学学习从具体到抽象，这样的学习过程顺应了学生的数学认知发展顺序以及数学思维发展规律与特质。在小学“数与代数”板块内容的教学中，教师要引导学生将相关的知识与图形结合起来，从而将数形有机结合，以形助数、以数解形。

[⇩] 三、用“辅助图”激活学生的创造意识

在数学教学中，辅助图通常能将抽象的代数语言转译为图形语言，从而让教师的数学教学达到化抽象为形象、化繁杂为简单的目的。作为教师，要将“辅助图”作为一个触发器，去激发学生的创造意识，同时用辅助图引导学生分析、解决问题，这样能有效地提升学生的数学学习效能，提升教师的数学教学效能。而借助“辅助图”，学生通常能够举一反三、触类旁通。因此，辅助图的应用不仅要具有层次性，而且要具有整体性、价值性。

以教学“分数的意义”（苏教版五年级下册）为例，学生在这部分内容的学习中，容易对“量”和“率”产生混淆，陷入“量率不分”的学习尴尬境地。为此，笔者从学生的已有知识经验出发，给定一个分数，让学生借助“辅助图”表示该分数的意义。如此，学生积极、主动地调动知识经验，有用一个物体来表示单位“1”，对之进行平均分的;有用一条线段来表示单位“1”，对之进行平均分的;还有用几个物体组成的整体来表示单位“1”，对之进行平均分的，等等。在此基础上，笔者再引导学生比较、抽象、概括出分数的意义，从而帮助学生建立单位“1”的概念。然后，筆者采用“控制变量法”，引导学生变化平均分的份数，让学生认识到分数的大小与平均分的份数有关;引导学生变化单位“1”的量的多少，从而让学生认识到分数的大小与单位“1”的量的多少无关。最后，笔者再借助辅助图，让学生认识到分数的意义与平均分的份数和表示的份数有关。如此，学生对于分数的量、率的概念才能真正完整、深刻。图形与分数概念的相互转化与诠释，有助于学生深刻理解分数的概念本质，内化抽象的分数概念以及灵活地应用分数概念去判断、分析和推理。

在教学过程中，教师通过引导学生把握单位“1”的量以及平均分的份数等的变化，引导学生发现分数的意义、大小与什么因素有关，引导学生舍弃变化中的非本质属性，从而实现从直观模型到抽象化模型的转化、提炼和建构。

总而言之，辅助图是学生数学学习的有效抓手、媒介和载体。在小学数学“数与代数”的教学中，教师要合理、高效地运用“辅助图”，来提升学生对“数与代数”相关知识的理解，促进学生对相关知识的熟练运用。同时，教师还应以提升学生看图、认图、识图、构图、画图、用图、创图等的能力为目标，帮助学生分析“数与代数”相关知识，不断提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。