《一个数除以整数》课堂实录及评析

王春红

关键词：小学数学;除法计算;探索算理

中图分类号：G623.5   文献标识码：A   文章编号：1009-010X（2022）07-0059-06

教学内容：冀教版《义务教育教科书·数学》五年级下册

学习目标：

1.通过读题、理解题意并列出解决问题的算式，自主地理解分数除以整数的意义。

2.在教师的引导下，通过画图、分析、推理等理解一个数除以整数（0除外）等于这个数乘整数的倒数。

3.通过多个分数除以整数和整数除以整数的计算，能掌握一个数除以整数（0除外）等于这个数乘整数的倒数。

教学重点：通过多个分数除以整数和整数除以整数的计算，能掌握一个数除以整数（0除外）等于这个数乘整数的倒数。

教学难点：在教师的引导下，通过画图、分析、推理等理解一个数除以整数（0除外）等于这个数乘整数的倒數。

课前准备：

作业纸、课件、红笔

教学过程：

一、谈话导入

师：刚才我们都互相认识了，聊天过程中聊到了我们北方人的主食以面食为主，尤其比较喜欢吃大饼，咱们班同学也有很多同学喜欢吃，这节课我们就从分大饼开始。

二、自主探索

（一）初步探索算理

1.明晰学习要求

师：请同学们自己读一读题目和要求。

课件出示例题和要求：王老师买了1/2张大饼，平均分给3个人吃，每人吃多少张大饼？试着算一算，并想办法解释算法的合理性。（如写一写、画一画或折一折等）

师：你觉得兔博士的要求中哪个对你很重要？

生1：我觉着“并想办法解释算法的合理性很重要”。

师：哦，其他同学呢？

生2：我觉得“如写一写、画一画、折一折”这些方法也很重要。

师：同学们的审题能力都很强！请同学们自己试着算一算，并想办法解释算法的合理性。

2.自主探索

学生自己探索计算方法，并和同桌说说自己的想法，师巡视，找出不同方法的作品。

【评析】此环节先让学生明晰了学习的任务，以及完成任务的基本方法，培养了学生阅读、理解文本的能力，再给学生提供充分的自主操作时间，为交流性学习做好准备。

3.全班交流

师：我发现这几位同学的的做法各有不同，请他们到前边给大家说说是怎么想的，怎么做的。（投影展示第一份作品，学生到前边讲解）

（1）平均分半张饼的

生1：王老师买来■张大饼，按生活实际来算是一半的大饼，平均分给3个人就是平均分成3份，我们可以列出算式■÷3，根据一个数除以另一个数就等于乘它的倒数，÷3就等于×■，最后等于■张。

师：声音很洪亮，并且提前预习了今天的学习内容。知道结论很重要，但解释其中的道理更重要。如果其他同学和他想法不一样，可以向他提问题。

生2：我觉得你的算式是对的，但画的半张饼不是平均分的。

生1：这点我承认，我画的不太标准。

师：没关系，我这里有根红笔，你用它改一改。（生1迟疑）提建议的同学你到前边帮他分一分。（生2到展台修改图形）

生1：谢谢你，我刚才有点紧张，笔误。

师：不用紧张，这位同学帮我们平均分了这半张饼，虽然笔有点粗，但意思我们都能看明白。其他同学还有疑问吗？

生3：你列的除法算式，为什么又变成了乘法算式？

师：英雄所见略同，我也有这个疑问，但解决咱们共同的问题前先来解决我的另一个疑问，平均分就分吧，分完不就得了，为什么列除法算式？

生1：因为把■张饼平均分成3份，要求1份是多少，所以用除法计算。

师：你表达的很完整，不但把事情叙述清楚了，还把问题也说明白了，只有这样我们才知道把一个数平均分成几份，求1份是多少要用除法计算，这和整数除法的意义是一样的。请刚才的同学再来说说你的问题。

生3：你列的是除法算式，为什么又变成了乘法？

生1：半张饼平均分成3份，每个人是■份，而■是■张饼其中的1份，所以变成了■×■。

生4：我觉得你说的有点问题，■张饼平均分成3份，每个人吃的是1份，而不是■份，■表示的是3份里的1份，也就是■的■，求■的■是多少用乘法计算，所以除法转化成乘法，最后结果是整张饼的■。（生1点头赞同）

师：解释的很清楚，这位同学明白了吗？

生3：明白了，把除法转化成学过的乘法，分数除法就变得简单多了。

师：刚才同学之间的对话让我们明白了把半张饼平均分成3份，求其中的1份是多少，用除法计算。求半张饼中3份里的1份就是求■的■是多少，所以除法转化成了乘法，除以3变成了乘3的倒数。（师边小结边板书计算过程）分数乘法过去学过，最后结果是■张饼。好神奇呀，除法变成乘法。这位同学能给大家在图里指出■张饼在哪里吗？（生1在图里打上勾）

生5：老师，我还有疑问，刚才同学提到每人吃了整张饼的■，我觉得这里的单位“1”不是整张饼，而是■张饼。

师：我把你的问题记录在黑板上。（师在黑板一侧板书■“1”？）

【评析】通过半张饼的示意图，解决了为什么用除法算和除法计算转化为乘法计算的重点知识，特别是引发了学生对单位“1”的质疑，促使全体学生的思维向更深刻的一步推进。

（2）整张饼平均分成6份

师：这里还有三位同学的画法我觉得挺有趣，我们一起来看看。（投影同时展示3份作业）有方饼、有圆饼，计算结果和刚才的都一样，但是看着你们这三张图，我有点不明白，明明我就买了半张饼，但你们画的都是一张饼，你们的意思是让我把另半张饼也买回来？

【评析】在算理的探讨中，弄清单位“1”是谁是思维上的一个坎儿，教师用看似糊涂的一个问题，直接把学生思维的焦点引向对单位“1”的思考，教师“装糊涂”的方式很巧妙。

生1：另半张饼是想象出来的。

师：另半张饼没有买，为什么要想象着画出来？

生2：我觉得半张饼是整张饼的■，所以单位“1”应该是整张饼，所以我画了一张饼。在图里我标出了买来的■张饼的位置，再把半张饼平均分成3份，取了其中的1份，就是求■的■是多少，所以除法又转化成了乘法，最后结果■张饼。

生3：你画的阴影部分不是整张饼的■呀？

师：（师向这个学生竖大拇指）咱俩心有灵犀，你和我想到一块儿了。你的图画错了吗？

生2：我的图没有画错，我补充一下就行。（生拿笔继续分饼）

师：你为什么不把想象的半张饼平均分成4份、5份呢？为什么平均分成了3份？（生2抓头，又摇头。）还没想好，其他同學帮他解释一下。

生4：因为买来的半张饼平均分成了3份，如果想象的半张饼不平均分成3份，那么整张饼就不是平均分了。

师：你说的很有道理，看来所有的事情都是和平均分有关系的，那他这样补充完整后，阴影面积就是整张饼的■了。

生5：老师，他想象的半张饼是用虚线画的，所以平均分的线也应该是虚线，应该和下边这幅图里的圆饼一样。

生2：刚才是笔误，我改过来。（生重新画分割线）

师：关于他画的图还有疑问吗？右边这幅图画的也是方饼，说说你的想法。

生6：我也画了一张方饼，■张饼是整张饼的■，所以单位“1”是整张饼，我用的都是实线。半张饼平均分成3份，每人吃其中的1份，就是求的是多少，所以变成了乘法。没买的半张饼也平均3份，那么整张饼就平均分成了6份，每个人就吃整张饼的■，就是我画阴影的地方。

师：你说的很详细，但刚才你提到了整张饼平均分成了6份，这个6是怎么来的，你能再说说吗？

生6：买来的半张饼平均分成了3份，想象的半张饼也得平均3份，那么整张饼就平均分成了2个3份，也就是6份。

师：说的更清楚了，谢谢你。再来请这位画圆饼的同学说说自己的想法。

生7：老师，我的算式只写了乘法，应该用除法计算，我把它改过来。（生改正错误）

师：好细致的小男孩，好样的！

生7：我用圆形表示一张饼，把它平均分成2份，用阴影表示买来的半张饼，再把买来的半张饼平均分成3份，想象出的半张饼也平均分成3份，整张饼就平均分成了6份。每人吃其中的1份，再涂上一层阴影，这个双阴影就占整张饼的■。

师：刚才提到■张饼是单位“1”的女生，你现在觉着单位“1”应该是谁？

生8：应该是整张饼。

师：大家的推理能力真是太棒了，我们聊明白了单位“1”。既然要求大家解释算法的合理性，那这几张作品中，你觉着谁的更合理一些。

生9：我觉得这个圆饼的比较合理，他用虚线表示出了想象的半张饼，还用虚线进行平均分，因为都是想象的，所以用虚线更合理。

生10：我也觉得这个圆饼更合理，不但用到了实线和虚线，还用单阴影和双阴影区分了买来的半张饼和每人吃的饼，这样更清楚。

（3）线段图法

师：两位同学说的真好，其他同学课下可以借鉴他的方法，把自己的图形进行修改。还有一位同学也用到了实线和虚线，但他画的却不是大饼，我们一起来看看。（展台展示线段图画法）这位同学在图上清楚地写出了自己的想法，还有补充的吗？

生：我用一条实线表示■张饼，右边画一条虚线表示想象的半张饼，结合刚才这位同学的画法，我应该把想象的半张饼也平均分成3份。（生在图上进行修改）这样就能看出■的■就是整张饼的■了，也就是■张饼。

师：借助实线和虚线不但进行了平均分，还验证了结果是否正确，你很有思想。

（4）借助分数基本性质和分数意义来解释

师：还有一位同学的算法很独特。大家能看懂吗？（投影展示作品）

生1：我不太明白为什么要把■通分成■，你能给我讲讲吗？

生2：■除以3我们不会计算，所以我把■通分成■，表示3个■，3个■平均分成3份，一份就是1个■，也就是■张饼。

师：这种推理也能解释明白■的由来，你的做法很巧妙！

4.小结

师：通过大家的互相交流，我们终于弄明白了，■张饼平均分成3份，求一份是多少张大饼，就是求■的■是多少，所以除法转化成了乘法，也就是■乘3的倒数。我们巧妙地借助虚线看出半张饼就是整张饼的■，把半张饼平均分成3份，那么整张饼就平均分成了2个3份，■张饼的■就是整张饼的■，也就是■张饼。看咱们同学们多棒呀！我们自己找到了分数除以整数的方法。

【评析】学生在一个情绪上轻松自然，思维上积极投入的氛围中，先从半张饼的图形中建构一个数除以整数的数学模型，再通过对比几种不同的圆形和方形饼的分法，自己找到比较合理的解释，最后从平面图形抽象到线段再到分数意义的推理，发现了知识间的内在逻辑，学生的数学推理能力得到了很好地发展。本环节落实了第2条学习目标：在教师的引导下，通过画图、交流等理解一个数除以整数（0除外）等于这个数乘整数的倒数。

（二）再次验证算理

师：刚才我们把半张饼平均分给3个人吃，如果分饼的人数多一些，你还会算吗？（课件出示试一试的题）同学们默读题目，自己算一算，把计算过程写在作业纸上。（投影展示一个学生的计算）

师：请这位同学给大家讲讲最后的■张饼是怎么算出来的？

生：我就是按刚才大家说的方法算出来的，半张饼平均分给5个人吃，每个人吃的就是■的■是多少，所以除法转化成了乘法，结果就是■张饼。

师：你不但写的整齐，解释的也很清晰，真好！他的想法和大家的一样吗？（生表示一样）计算结果呢？（生都点头）

（三）逐步完善算法

师：刚才我们把人数增多了，如果买饼的张数再多些呢？（课件出示例2：王老师买来2张饼，平均分给5个人，每人吃多少张饼？）请同学们们继续帮着分一分。

师：给大家讲讲你是怎么分的这2张饼？

生1：把2张饼平均分给5个人，求每个人吃多少张饼用除法计算。2÷5就是取2张大饼中的■，所以÷5变成了×■，最后得出■张大饼。大家明白了吗？

师：刚才大家慌忙计算时，我发现一位同学早早就算完了，他是直接写出结果的，我们请他说说是怎么想的？

生3：被除数作分子，除数作分母，除号相当于分数线，所以直接得出■这个结果。

师：我明白了，这是我们过去学过的一个知识，他利用了分数和除法的关系，学以致用，真好！原来这部分知识我们是通过观察几组除法算式和分数得到了它们之间的关系，但并不知道为什么，今天学习了分数除以整数的计算方法后，证明了我们过去的算法也是对的。学习数学就是这样，前后之间的知识都是有联系的。

【评析】通过学习，学生体会到新方法很好地解释了旧知识的正确性，建立起新旧知识间的联系。

（四）归纳算法

师：这节课我们一直在自己尝试着算呀、算呀（师手指板书），算着算着有点儿发现吗？

生1：分数除以整数，就等于分数乘这个整数的倒数。

师：说的挺有道理，还有补充吗？

生4：我觉得整数除以整数也可以这样，黑板上第二个算式就是整数除以整数，也可以转化为整数乘另一个整数的倒数。

师：分数和整数既然都可以，那我们就把它们叫做一个数，这就是我们这节课一起研究的一个数除以整数的计算方法。（板贴计算法则并板书课题）请同学们自己读一读计算方法，用自己的方法记忆一下。（生自己默读或做笔记）

师：我写的计算方法中有0除外，都知道什么意思吧？（生都表示明白）

【评析】结合算理推导过程和板书，学生自主归纳出一个数除以整数的计算法则，落实学习目标3，这种“动态的结果”防止了学生机械的记忆，加深了对算理的理解。

三、拓展延伸

师：今天我们一直在分大饼，分着分着就学习了一个数除以整数的相关知识。生活中还有很多这样的事情，请你找到这样的例子，写一篇小日记。这节课就上到这，下课！

【评析】在学生已有知识和生活经验的基础上布置作業，使所学的知识得到拓展与延伸。

总评：

《一个数除以整数》是在学生学习了整数除法、分数乘法的计算方法以及倒数知识的基础上进行教学的。在计算教学中培养学生的推理能力，提高其数学素养，是数学教学的研究方向之一。王老师执教的这节课以发展学生的推理能力作为教学设计的核心，有两个突出亮点：

1.巧妙点拨，真正实现了生生互动式学习

课堂教学常常以对话为主要互动方式，王老师摈弃传统的互动方式，让学生在动手操作的基础上进行展示性交流，并站在学生的角度考虑问题，用几个疑问“你们的意思是让我把另半张饼也买回来？另半张饼没有买，为什么要想象着画出来？”向学生请教，学生有了一种安全感和愉悦感，激发出思维的潜能，打开了“话匣子”;教师的这几个问题看似向学生请教，实质上是抓住课堂中学生生成的每一个思维的关键点，给学生创造发现问题、提出问题的机会，在教师的巧妙点拨下，学生在问题间自由往返，主动发现各种联系，建构了数学推理的路径，实现了同伴互助下的学习。

2.充分尊重学生个体的体感经验，让每个学生都明晰算理

分数除法计算的教学中有一个重要的问题，即“为什么要把分数除法计算转化为乘法计算”。多年来因为教师的不重视，常常导致课上除法计算转化为乘法计算的演变过程的缺失，学生因此失去了深入探讨算理的机会，导致死记硬背算法的现象频出。本节课王老师设计了写、画、折的直观操作和交流活动，以发展学生的推理能力作为教学设计的核心，有利于学生理解算理。交流过程中当一个学生质疑发言学生“你列的除法算式，为什么又变成了乘法算式？”时，王老师回应“英雄所见略同，我也有这个疑问。”当一个学生评价发言学生的做法“我觉得你说的有点问题，■张饼平均分成3份，每个人吃的是1份，而不是■份”时，王老师称赞并引领“解释的很清楚，这位同学明白了吗？”像这样，王老师理解、赞赏、尊重学生不同感受的例子比比皆是，于是学生们从画图到讲理，从画形状像大饼的圆形图到抽象一点的长方形图，再到更抽象的线段图，最后到不画图用分数的基本性质讲理，每个人探究算理的切入点不同，运用已有知识和经验解决问题的水平不同，但都得到王老师的尊重和恰当地引导，正真做到了“理解算理，一个也不能少”。

（评析：田淑玲 石家庄市新华区教育局）