星状河渠网络中非稳定流的精确边界能控性

2022-04-24于立新

烟台大学学报（自然科学与工程版） 2022年2期

关键词：边界条件结点等价

史琨,于立新

(烟台大学数学与信息科学学院, 山东烟台 264005)

1 引言及预备知识

考虑如下一阶拟线性双曲型方程组

(1)

其中u=(u1,…,un)T是关于(t,x)的未知向量函数,A(u)是一个n×n的矩阵,并且带有光滑项aij(u) (i,j=1,…,n),且F(u)满足

F(0)=0。

(2)

由双曲型的定义, 在所考虑的区域上, 对任意给定的u,A(u)有n个实特征值λ1(u),…,λn(u), 满足

λr(u)<0<λs(u) (r=1,…,m;s=m+1,…,n),

(3)

且具有一组线性无关的左特征向量li(u)=(li1(u),…,lin(u))(i=1,…,n)即

li(u)A(u)=λi(u)li(u),det|lij(u)|≠0。

(4)

设vi=li(u)u,vi被称为第i个特征值所对应的对角变量。

给定边界条件

x=0:vs=Gs(t,v1,…,vm)+Hs(t)(s=m+1,…,n),

(5)

x=L:vr=Gr(t,vm+1,…,vn)+Hr(t)(r=1,…,m),

(6)

其中Gi和Hi(i=1,…,n)是关于其变量的适当光滑的函数,不失一般性,假设

Gi(t,0,…,0)≡0(i=1,…,n)。

(7)

给定初始条件

t=0:u=φ(x),0≤x≤L。

(8)

为了保证精确边界能控性,需要在区域R(T)={(t,x)|0≤t≤T,0≤x≤L}上有一个经典解,这里T>0可能是一个适当大的数。这种经典解被称为半整体经典解,它不同于整体经典解,也不同于局部经典解。为了后续的证明,引入如下两个引理。

引理1[2]假设lij,λi,fi,Gi,Hi(i,j=1,…,n)和φ关于其变量都是C1函数。进一步假设式(2)—(4)和(7)成立, 且在点(t,x)=(0,0)和(0,L)处分别满足C1相容性条件。则对于任意给定T0>0, 混合初边值问题(1),(5),(6)和(8)在区域R(T0)={(t,x)|0≤t≤T0,0≤x≤L}上存在唯一的半整体C1解u=u(t,x),其C1模充分小,只要||φ||C1[0,L]和||H||C1[0,T0]足够的小(依赖于T0)。

t=T:u=Φ(x), 0≤x≤L。

(9)

在实际生活中, 很多问题可以转化为数学中的拟线性双曲型方程问题,例如, 石油运输管道、河渠模型中的能控性问题。最初, CIRIN[1-2]考虑了带有线性边界条件的拟线性双曲型方程组的精确边界能控性问题,之后, 文献[3-5]对具有一般非线性边界条件的一阶拟线性双曲型方程组的精确边界能控性建立了完备的理论。基于此理论, 文献[6-8]实现了波动方程的精确边界能控。同时, LI[5,9]和GU等[10]得到星状河渠网络的精确边界能控性结果。

在对于星状河渠网络中Saint-Venant方程组能控性研究的过程中, LI[5,9]对于n条河渠构成的星状河渠网络的能控性结果主要分为两种情况:其一, 实现了n个控制全部施加在简单结点处的能控性;其二, 受制于复结点处的边界条件, 实现了在复结点处施加一个控制, 其余n-1个控制施加在简单结点处的能控性。文献[10]将LI[5]的第二种情况推广, 实现了在n条河渠构成的星状河渠网络中, 仅在n-1个简单结点处施加控制的能控性,而在实际应用中, 某些情况下全部简单结点或部分简单结点不可施加控制。本文首先改变原先在复结点处的边界条件, 使得边界条件更为一般化, 从而控制不再受限, 且改变后的边界条件仍可被等价改写为一般的非线性边界条件, 在下文第2部分有详细证明。本文中, 首先得到了将n个控制全部施加在复结点的能控性结果。其次, 对于文献[5]中的第二种能控性和文献[10]中的能控性, 本文分别将其推广, 在相同控制数量和控制时间的情况下, 施加在复结点与简单结点的控制数量可以任意分配, 依然可以实现河渠网络的能控。

本文安排如下: 第2部分得到关于具有一般边界条件的Saint-Venant方程组的半整体C1解的存在唯一性，第3部分给出了关于星状河渠网络仅在复结点处施加控制和在复结点与部分简单结点任意分配控制的精确边界能控性结果。