类型全展示,巧解填空题

王丽丽

(山东省平度经济开发区高级中学)

填空题是高考数学试卷中基本题型之一,一般有四小题,占比15%左右,往往具备题小、量大的特征,解答填空题只要给出准确答案即可.填空题的类型一般可以划分为:定量型填空题、定性型填空题、开放型填空题、多选型填空题等.

1 定量型填空题

定量型填空题主要考查学生的数学运算,解题时要对一些相关的条件进行分析,借助数学公式进行运算,从而使问题得以破解.

例1已知椭圆＝1(m＞0)的右焦点为F,过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为P(1,-1),则椭圆E的方程为______.

分析以直线与椭圆的位置关系为背景的问题,可以利用“点差法”处理,对直线的斜率公式以及中点的坐标公式加以变形,通过设而不求,利用三点共线对应直线的斜率相等的关系求解即可.

解设A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0),所以

2 定性型填空题

定性型填空题主要考查学生的逻辑推理与直观想象等方面能力,求解问题时要借助相关概念、性质、定理等对问题进行分析.

例2设向量a,b,c满足|a|＝|b|＝1,a·b＝,〈a-c,b-c〉＝60°,则|c|的最大值＝_______.

分析根据题目条件,先利用平面向量a,b的模及数量积确定两者之间的夹角,再结合两个向量的夹角构建同起点的三个向量之间的直观关系,从而构建两个不同的平面几何图形,通过数形结合和分类讨论进行分析与求解,最后确定模的最大值.

综上,|c|的最大值是2.

图1

3 开放型填空题

开放型填空题的特点是答案不唯一,有“判断型”“存在型”“讨论型”“猜测型”等类型.有的条件开放,有的结论开放,因其形式新颖、解法别致,有利于考查学生分析问题、解决问题的能力.

例3记数列{an}的前n项积为Tn,写出一个同时满足①②的数列{an}的通项公式:an＝______.

①{an}是递增的等比数列;

②T3＝T6.

分析结合条件①和②确定a5＝1,这是解决问题的关键所在,综合条件①中的信息,给出一个满足条件的公比q的值,即可确定对应的等比数列的通项公式.

解因为{an}是递增的等比数列,且T3＝T6,所以a4a5a6＝1,结合等比数列的性质可知a5＝1,又q＞1,取q＝2＞1,由a5＝a1q4＝1,可得a1＝2-4,则有an＝a1qn-1＝2n-5(答案不唯一,只需满足a5＝1,且q＞1即可).

4 多选型填空题

多选型填空题属于开放性问题,难度高于多项选项题,要求学生选出所有满足题意的命题即可.少选或多选均是错误的,这就要求学生对知识要有一个全面的认识,同时对每一个命题都要进行逐一分析与判断.

例4函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜)的部分图像如图2 所示,且满足f＝,现将图像沿x轴向左平移个单位长度,得到函数y＝g(x)的图像.下列命题中所有真命题的序号是_________.

图2

①g(x)在区间上是增函数;

②g(x)的图像关于x＝对称;

③g(x)是奇函数;

④g(x)在上的值域是

分析根据题目条件,结合图形确定函数f(x)的解析式,并通过三角函数的图像变换确定函数y＝g(x)的解析式,最后利用三角函数的图像和性质分析和判断各命题的真假性.

综上,真命题的序号是②③④.

解答填空题时必须做到“五点”:快、稳、全、活、细,每个环节都要面面俱到,全面分析题意,善于思考,灵活运用有关数学知识,选择最为合理恰当的方法,设定对应的解题方案,如综合特殊值法,类比猜想,估算排除等.

(完)