等差数列前n 项和公式的再认识

岳昌庆

(北京师范大学出版集团)

等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n-1)d可以看成an＝dn＋(a1-d),此即为平面直角坐标系中一次函数的解析式(an关于n的),其图像为分布在一条直线上的一系列孤立的点(n,an).这一观点已深入广大师生心里,本文不再讨论.以下就等差数列{an}的前n项和Sn＝na1＋谈一些心得体会.

例1等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( ).

A.130 B.170 C.210 D.260

1)这种方法避免了用常规方法解题时烦琐的计算,对提高解题速度会有一定的效果.2)这种解题步骤不同于其他解法的解题步骤,万一计算有误,几乎得不到中间步骤分,真可谓利弊参半.3)这一“知识点”适用于已知条件均为关于前n项和的等差数列.

例2(2008年广东卷文4)记等差数列的前n项和为Sn,若S2＝4,S4＝20,则该数列的公差d＝( ).

A.2 B.3 C.6 D.7

从解题过程来看,几乎看不出任何等差数列的痕迹.只有加深、悟透了两者(直线、数列)之间的联系,解题时才能游刃有余,出神入化.

例3(2000 年全国卷文18)设{an}为等差数列,Sn为{an}的前n项和,已知S7＝7,S15＝75,Tn为数列的前n项和,求Tn.

用此方法易证:若等差数列Sm＝Sn(m≠n),则Sm＋n＝0(证明过程略).

例4(2011年辽宁卷文15)Sn为等差数列{an}的前n项和,S2＝S6,a4＝1,则a5＝________.

由S2＝S6,得S8＝0,所以a1＋a8＝a4＋a5＝0,又a4＝1,所以a5＝-1.

1)本题用到了等差数列Sn＝(a1＋an).

2)在等差数列{an}中,若m,n,p,q∈N*,且m＋n＝p＋q,则am＋an＝ap＋aq.

例5(2013年新课标Ⅱ卷理16)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10＝0,S15＝25,则nSn的最小值为________.

1)正确求出nSn后,可用求导的方法,考查函数的单调性,从而求出nSn的最小值.2)求出函数f(n)的导函数f′(n)后,讨论f(n)的单调性,在解答过程中略去.3)本题将数列、直线、函数导数及最值三者巧妙地联系在一起,打通了它们之间的界限,让学生明白原来它们并不是“井水河水两不犯”的.

例6设数列{an}的前n项和为Sn＝na＋n(n-1)b,n∈N*,a,b是常数且b≠0,证明:

(1){an}是等差数列;

(2)以(an-1)为坐标的点Pn(n∈N*)都落在同一条直线上,并写出此直线的方程.

(1)an＝a＋2b(n-1)(证明过程略).

1)本题与前几道例题不同:直线上的点的横坐标是an,而不再是n,好像是上了一个层次.2)但本质上an-am仍是关于n-m的一次函数,故本质上是相同的.

(完)