基于RBF-NN近似模型的地铁钢轨探伤车转向架悬挂参数多目标优化

肖 乾，程玉琦，李 超，周生通，高雪山，黄 敏

（1.华东交通大学 载运工具与装备教育部重点实验室，南昌330013；2.中车株洲电力机车有限公司，湖南 株洲412000）

地铁钢轨探伤车的运行平稳性直接影响其伤损检测的质量，而转向架悬挂参数对于探伤车的运行的平稳性、曲线通过性有很大的影响。近年来，转向架悬挂参数的优化方法备受关注，许多学者[1-5]构建了车辆-轨道系统的动力学模型，采用合适的优化算法对高铁客车的转向架悬挂参数进行多目标优化设计，改善车辆的各项动力学性能。但是少有学者对探伤车的转向架悬挂参数优化进行探讨，作为检测钢轨损伤的专用列车，探伤设备安装于高速平稳的探伤车上，钢轨轨头的伤损检出率也会有所提高。因此，地铁钢轨探伤车转向架悬挂参数的优化研究对于地铁钢轨损伤检测质量有着重要的意义

目前，由于所建立的动力学模型所具有非线性的特征，使得悬挂参数在优化设计时计算复杂，导致在多目标优化求解时耗时耗力，并且很多时候得到的是局部最优解并非全局最优解，不能达到最佳的优化效果。为了解决以上问题，通过建立近似模型，以设计参数为变量构建函数关系式代替原先的动力学模型，既能节省时间又能获得比较全面的优化结果。现代工程中，常用于多目标优化问题的近似模型主要包括响应面模型（Response Surface Methodology，RSM）、Kriging模型、人工神经网络模型等。响应面模型利用多项式函数拟合设计空间，它可以通过较少的试验在局部范围内比较精确逼近函数关系，可以拟合复杂的响应关系，但是不能保证响应面通过所有的样本点，因此存在一定的误差。面对车辆-轨道动力学模型这类复杂函数关系的耦合，应雪等[6]利用拉丁超立方试验设计方法得到各样本点的真实仿真数据，并以此为基础建立了Kriging近似模型，对某高速列车的悬挂参数进行多目标优化设计，得到了最优参数组合，验证了该方法的正确可行性。但是Kriging模型通常计算量比较大，且该方法属于插值法，对于“噪声”数据较为敏感，对于高纬度和低阶函数计算精度较低，如果数据量太大，容易使得模型构造不成功[7]。径向基函数神经网络(RBF-NN)是一种性能良好的前馈型人工神经网络模型，它是基于人脑的神经细胞对外界反应的局部性而提出的，具有较高的运算速度和较强的容错能力。张慧云[8]以某高速列车的质量参数、悬挂参数等作为设计变量，以车体的平稳性指标、脱轨系数、轮重减载率、倾覆系数等为响应值，基于RBF 近似模型，采用多目标粒子群优化算法进行优化计算，最终得到了较好的结果。解欢等[9]基于高速列车的动力学模型，构建了Kriging模型、2阶RSM模型、RBF-NN模型3种近似模型，对比分析发现RBF 模型的拟合精度最高，通过对一系纵向、横向刚度等6个参数的优化，改善了车辆的横向加速度、脱轨系数和轮重减载率。

基于以上分析可知，RBF-NN 近似模型能够很好代替车辆-轨道动力学理论模型进行分析计算，在最短的时间内达到最佳的优化效果，因此本文选用RBF-NN近似模型进行计算分析。以最大运行速度为80 km/h的地铁钢轨探伤车为例，选取探伤车转向架的一系纵/横/垂向刚度、二系横/垂向刚度、二系横向阻尼、二系垂向阻尼为设计变量，以车辆的运行平稳性指标和曲线通过性能相关指标为优化目标，构建RBF-NN 近似模型，采用第二代非劣排序遗传算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm，NSGA-Ⅱ)对近似模型进行寻优计算，获取最佳的悬挂参数组合，从而实现多目标优化。

1 探伤车悬挂参数优化基本理论

1.1 车辆-轨道动力学模型基本理论

根据车辆动力学理论[10]，探伤车可简化为1个车体、2个构架、4个轮对、8个轴箱和两系悬挂系统，其中轮对和构架之间用一系悬挂连接，构架和车体之间用二系悬挂连接[11]。轨道部分则采用UM自带的移动质量轨道模型，该模型将钢轨视为一个有横向、垂向和扭转3个自由度的刚体，钢轨与地面通过UM里面的点弹簧力元（Special forces-Bushing）进行连接，支撑点力元按实际扣件间距布置，该轨道模型为简化模型，不考虑轨枕和枕下基础的自由度。车辆与轨道通过轮轨接触关系联系起来，基于Hertz非线性弹性接触理论和Kalker 线性蠕滑理论，采用轮轨非椭圆多点接触算法（Kik-Piotrowski 算法）进行计算。

图1 是车辆-轨道耦合动力学计算模型，图中V是车辆运行速度；Ktz和Ctz、Kpz和Cpz、Kpz和Cpz分别是二系悬挂、一系悬挂、钢轨的刚度和阻尼。

图1 车辆-轨道耦合动力学计算模型

车辆-轨道耦合动力学方程可以表示为：

式中：X、为系统的广义位移、速度、加速度；M、C、K为系统的质量、阻尼、刚度矩阵；P为广义载荷。

1.2 RBF-NN近似模型基本理论

RBF-NN 近似模型分为3 层前向网络，分别是：输入层、中间层、输出层，如图2 所示。输入信号通过输入层进入网络，在经过中间层的时候完成函数的非线性映射，这里的非线性变化通常是固定不变的，之后将映射结果以不同线性加权组合传送到输出层，最终完成非线性预测。其中，中间层的激活函数通常是高斯函数。

图2 3层前向神经网络构成

设输入矢量为x=(x1,…,xi,…,x7)，分别代表着探伤车转向架的7 个主要悬挂参数，则中间层发生的径向基变化如下[12]：

式中：bi为中间层第i个神经元的输出；ci为其中心向量；σi为中间层第i个神经元的宽度。

设中间层的输出向量为：B=[b1,b2,…,bi,…,bn]，中间层空间到输出层空间的映射是线性的，输出层在新的空间中实现线性加权组合，输出的表达式如下：

其中：yj为输出层第j个神经元的输出，ωji为中间层第i个神经元和输出层第j个神经元的连接权值，这里的y=(y1,…,yj,…,y8)，分别代表车体前/后端横向平稳性指标、车体前/后端垂向平稳性指标、脱轨系数、轮轨横向力、轮轴横向力、轮重减载率这8 个输出变量。若当前RBF 神经网络中间层的输出为矩阵B，隐藏层至输出层的连接权值矩阵为ω，则对所有训练集样本，网络的输出为：

则其实际输出与训练集的误差为：

通过最小二乘法使ε最小化，可以求出中间层至输出层的连接权值矩阵：

其中：B+为B的伪逆矩阵：

本文基于多学科优化软件Isight 建立RBF-NN近似模型，建立流程如图3所示。

图3 RBF-NN近似模型在Isight中的建立流程

2 车辆-轨道动力学模型的仿真计算

为了验证探伤车原始动力学性能是否达到相关标准，以及如何在众多参数中选取合适的参数进行多目标优化，需要对探伤车模型进行仿真计算。利用UM软件分别计算了车辆在直线和曲线工况下的各项动力学性能，仿真过程中，车轮采用LMA 型踏面，轨道为CN_Rail_60 钢轨，轨道不平顺激励选用德国高速轨道谱低干扰谱。在UM软件对该模型建模如图4所示。

图4 UM中车辆-轨道动力学模型

由于探伤车为专用列车，其最大额定工作速度为80 km/h。在直线工况下，分别测量20 km/h～80 km/h时车辆的各项动力学性能指标，主要考虑的指标为平稳性指标。按照GB/T5599－2019《铁道车辆动力学性能评定和试验鉴定规范》规定，车体振动加速度测点分为前、中、后3 个，其中A 为车体中部测点，B、C 分别为前、后部测点，各测点的平稳性和振动加速度情况如图5所示。

由图5可知，直线工况下，随着运行速度的上升探伤车的平稳性指标呈增大趋势。根据TB/T17426－1998《铁道特种车辆和轨行机械动力学性能评定及试验方法》规定，其平稳性指标评定标准为：W＜3.0(优)，3.0＜W＜3.5(良)。探伤车横向、垂向平稳性指标在速度为20 km/h～80 km/h时均小于3，等级为优；在后期优化时将这两个指标作为优化目标。

图5 直线工况下各点平稳性计算结果

在曲线工况下研究车辆运行的安全性和曲线通过能力。其中安全性指标主要包括脱轨系数和轮重减载率，曲线通过能力主要考察轮轨横向力和轮轴横向力。参考《地铁设计规范》，各曲线工况的设置情况如表1所示，80 km/h的速度等级下各曲线工况下安全性和曲线通过能力指标如图6所示。

表1 曲线工况下在UM中计算线路条件

国际铁路联盟UIC 规定：脱轨系数Q/P＜1.2，图6(a)中车轮的脱轨系数大多数都远小于1.2，满足相关标准。根据GB/T5599－1985《铁道车辆动力学性能评定和试验鉴定规范》，本文轮轨横向力的容许限定值是48.4 kN，轮轴横向力的容许限定值是67.7 kN，轮重减载率安全限定值的第一限度应小于0.65。图6(b)、6(c)、6(d)中各指标均小于相应限定值，为了得到更优的性能指标，需要对悬挂参数进行优化。

曲线通过性能指标众多，选取合适的参数进行优化非常重要。由图6 可知，在3 种工况条件下，曲线半径为300 m 时的工况，动力学性能指标相对较差，因此优化时，选择曲线半径为300 m、超高为80 mm、过渡曲线为110 m 的工况；探伤车运行时的最大脱轨系数位于车轮1 L，最大轮轴横向力位于第4位轮对，最大轮重减载率位于第4轮对，最大轮轨横向力位于车轮1 L。因此，在后期进行多目标优化的时候，将车辆的横向/垂向平稳性指标、车轮1 L的脱轨系数、第四位轮对的轮轴横向力和轮重减载率、车轮1 L的轮轨横向力这6个指标作为优化目标。

图6 各曲线工况下安全性和曲线通过能力指标

3 探伤车转向架悬挂参数多目标优化设计

3.1 优化流程

本文使用多目标优化软件Isight[13]，基于MATLAB编程建立UM-Isight的联合仿真平台，主要是在直线、曲线两种工况下，采用UM软件计算探伤车转向架在不同悬挂参数条件下各测点相应的动力学性能指标值。在使用Isight 软件时首先通过试验设计的方法选取合理的参数组合，然后在用UM 软件计算完一组参数组合时，驱动其自动进行下一组参数组合计算，直至完成所有参数组合，之后以探伤车转向架主要悬挂参数作为设计变量，以列车运行平稳性和曲线通过性能的关键指标作为输出响应建立RBF-NN 近似模型，极大缩短了悬挂参数优化设计周期，最后利用NSGA-Ⅱ遗传算法进行悬挂参数多目标优化设计。

3.2 悬挂参数的选取

本文以悬挂参数中最主要的7 个参数作为ISight 中实验设计部分的输入因子即多目标优化的设计变量，各设计变量的取值范围为原型车悬挂参数取值上下变化50%，各参数的数值和名称如表2所示；以车体横向平稳性指标、垂向平稳性指标、轮重减载率、轮轴横向力、轮轨横向力、脱轨系数这6个指标为优化目标，通过最优拉丁超立方试验设计，抽取200组样本，以确保计算量足够大，对各参数在变化范围内充分均匀采样，也为后续构建近似模型、优化悬挂参数的精度提供保障。

表2 设计变量

3.3 试验设计

选取试验设计方法需要综合考虑试验次数与试验结果的匹配，在尽量少的试验次数前提下，综合考虑输出响应的复杂性与设计变量个数。在对悬挂参数进行优化分析的过程中，样本点的每一次采集皆需较大的计算成本。综合以上分析，本文选择在相同因子个数与因子水平时所需试验次数少、样本点在设计空间分布最为均匀并且能够很好拟合非线性响应的最优拉丁超立方设计，以保证在取点全面的同时，减少样本点的个数。以一系纵、横向刚度为例，其样本点选取的散点图如图7所示。

图7 样本点抽取示例

3.4 近似模型的误差分析

对上述设计变量和输出响应的参数训练集进行拟合，得到RBF 神经网络近似模型，近似模型与其近似替代的实际数学关系之间必须具有足够的精度，才能保证后续转向架悬挂参数多目标优化的准确程度[14]。通过Isight 软件中交叉验证的方法可以进行误差分析，其可信度与预测精度评价指标有：误差平均值、误差最大值、误差均方根以及确定性系数R2。当近似模型的各项误差均低于容许值时，可认为近似模型是可信的；在确定系数R2越接近1时，则表明近似模型的预测精度就越高。

6个近似模型的误差分析具体情况如表3所示，综合考察各模型的模型误差可知，近似模型的平均相对误差、最大相对误差、相对误差均方根大多数都远小于其容许值，确定性系数均大于0.9并且大多数逼近1，说明近似模型的实际值与预测值非常接近，具有较高的精度，可以进行接下来的优化分析。

表3 近似模型的误差

4 优化结果

4.1 基于近似模型的Pareto寻优计算

RBF 神经网络近似模型具有拟合精度高、计算速度快的优势，接下来通过选取合适的优化算法获得悬挂参数的最优组合。NSGA-Ⅱ算法是在NSGA（Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm）算法基础上改进而来，不再需要参数共享，能够保持种群的多样性，提高计算效率，是目前解决多目标优化问题常用的一种有效算法[15]。因此本文采用NSGA-II遗传算法对上述神经网络近似模型进行寻优。

对NSGA-II 遗传算法进行如下设置：种群规模设置为80，进化代数为80，交叉概率为0.9，根据设置将进行6 400次遗传。将上表7中T1～T7 7个参数作为设计变量，优化目标为上表4 中直线工况和曲线工况下同时达到最小的各项动力学指标。

通过求解器输出的结果，可以观察到寻优的过程，由于寻优过程类似，故只列出部分寻优图，图8为Isight输出的横向平稳性、垂向平稳性的Pareto寻优历程示意图。图中横轴表示搜索次数，点代表搜寻到的子代个体，其中以不同颜色表示点的不同性质，红色为不满足约束条件的个体，蓝色的点为满足约束条件的个体，绿色为Pareto最优的个体。

图8 近似模型求解的Pareto寻优历程图

4.2 优化结果分析

通过ISight 对6 400 组数据进行寻优计算后，各项动力学指标都适中的有8项，将这8组数据分别代入原始车辆-轨道刚柔耦合系统动力学模型中，计算出实际响应值，经过综合考虑直线运行平稳性、曲线通过性能的各项指标，得出的最佳组合如表4所示。

表4 最佳优化数据组合

由表5可知，对比直线工况下20 km/h～80 km/h速度等级下平稳性指标的优化率可知，各速度等级下，平稳性指标都有不同程度好转，总体来说，垂向平稳性指标优化效果高于横向平稳性指标。

表5 直线工况下不同速度等级平稳性指标优化前后对比

将初始值、预测响应与实际响应进行对比，相关结果如表6 所示。作为优化目标的平稳性、曲线通过性能等指标的最大误差为9.87%，最小误差为0.32%，其中直线工况下，拟合精度比曲线工况下拟合精度低，近似模型的精度总体上是可接受的。通过对比优化前、后各指标可以发现：车体前端和后端的垂向平稳性指标优化较为明显，最大的优化率达到了35.39%，车体前端和后端横向平稳性指标优化程度较小；而在曲线通过性能方面，第一位轮对左侧车轮的脱轨系数优化最为明显，达到了15.71%，第四位轮对的轮重减载率优化程度较小，为1.38 %。总体来说，各参数均得到不同程度优化，优化结果较好。

表6 80 km/h 速度等级下预测响应值和优化前初始值对比

5 结语

根据某地铁钢轨探伤车的真实参数，利用UM动力学软件进行建模，经过UM-Isight 联合仿真计算，运用最优拉丁超立方试验设计方法抽取样本点构建RBF-NN 近似模型，计算误差在可控范围内。以一系弹簧纵向刚度、一系弹簧横向刚度、一系弹簧垂向刚度、二系弹簧纵/横向刚度、二系弹簧垂向刚度、二系垂向阻尼、二系横向阻尼这7个参数为设计变量；以车辆横向平稳性、垂向平稳性、轮轨横向力、轮轴横向力、轮重加载率、脱轨系数这6个指标为优化目标，基于NSGA-Ⅱ遗传算法对探伤车转向架悬挂参数进行多目标自动寻优设计，结果表明：

（1）所构建的RBF-NN近似模型具有较高精度，能够很好拟合设计变量和输出响应之间的关系。

（2）原参数情况下，一系纵向刚度、二系横向刚度、二系横向阻尼值偏大，一系垂向刚度、二系垂向刚度、二系垂向阻尼值偏小。悬挂参数的优化效果非常明显。直线工况下，车体前端和后端的垂向平稳性指标下降明显，优化率高达35.39%，横向平稳性指标略微下降。曲线工况下，轮轨横向力、轮轴横向力、脱轨系数、轮重减载率均有不同程度下降，其中脱轨系数优化率最大，达到了15.71%。