巧用“数学模型”，渗透模型思想

福建省福州市仓山区教师进修学校 林晓捷

模型思想是小学数学教学十大核心概念之一，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，它是唯一用“思想”命名的核心概念。数学模型与生活密切相关，其原型来源于生活。在教学中渗透模型思想实则是帮助学生在头脑中建立关于模型的结构，并通过练习与实际操作锻炼学生的抽象思维，激发学生对数学的学习兴趣，从而使学生可以建立完备的数学体系，并将知识应用在实际生活中，进而不断提升学生解决实际问题的能力。

一、渗透模型思想的意义

学生对问题进行建模的过程也是对问题进行归纳分析的过程，通过对问题进行分析，抽象出数学问题，建立模型并解决问题。学生在经历整体的知识建构之后，有利于培养自身搭建解决问题的思路，从而提高解决问题的能力。学生在建模的过程中首先要做的是分析问题的结构框架，在分析过程中训练的是学生剖析问题与提出问题的能力，其次才是锻炼学生解决问题的能力。教师在渗透模型思想的过程中，不断诱导学生对问题进行探究，通过思考、分析、解决和反思的循环过程，不仅有利于学生巩固所学知识，同时也有利于其逐渐养成探究思维的习惯。因此，在小学数学教学中渗透模型思想，建立模型显得尤为重要。

二、理解数学的常用模型

“数学模型”代指数学语言、符号、图形和算法等能够概括或表述实际问题的主要特征以及主要关系的数学结构。小学数学中蕴含的“数学模型”有：数量模型——反映一个数与另一个数之间的关系；运算模型——关于数的加减乘除运算以及一些常见的数量关系；方程模型——方程是建模思想的重要体现；几何图形模型——把每一种图形看作一种数学模型。平面图形的周长、面积以及立体图形体积的计算公式教学，是模型化思想渗透的重要载体。

（一）数量模型

主要反映一个数与另一个数之间的关系，比如总数与部分数之间的关系。一般建立的模型是“总数=部分数+部分数”或“总数=每份数份数”，也可以依据情境的不同引导学生灵活地使用这类模型来解决现实生活中的具体问题。

（二）运算模型

数学概念的特点是抽象、概括，有的概念对学生来说不容易直接理解，教师要善于运用运算模型寻找生活中的直观物体或借助数学中的运算模型，借助与数学对象有关联的实际存在物或替代物作为参照，建立与数学概念的关联，引导学生进行形象、简明的联想与思考，从而深刻理解概念的内涵与外延。小学数学教学中，特别是小学中低年级，学生的思维以具体形象思维为主，教师要善于寻找学生喜欢、乐于接受的实物模型，借助与数学对象有关联的实际存在物作为参照，建立与数学对象的关联，便于学生进行形象、简明的联想与思考，让学生感知直观模型，感受直观模型对学习数学的帮助。例如，在小学数学“数位”的学习中，十根小棒捆成一捆，十捆装成一盒，这里的一根小棒、一捆小棒、一盒小棒就是针对个位一、十位十、百位一百的实物直观模型。

（三）方程模型

方程模型是指从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法。方程模型的独特优势是使问题简单化，方便解题。

（四）几何模型

这部分内容是小学所学的平面图形和立体图形及相关的物体，并且这些物体和图形是用数量、几何特征进行清晰表达的模型，其包含周长、面积、体积、容积相关的模型。学生只要理解和掌握这些基本几何模型，无论图形是大是小，无论是图形计算题还是生活实际操作，都可以用这个公式去解决，大大节省了时间，提高了解决问题的效率。

三、模型思想的培养

数学解决问题是由一定的情景引起，按照一定的目标，应用各种认知活动、技能等，经过一系列的思维操作，使问题得以解决的过程。数学问题能否得到正确解决首先取决于学生对问题的理解分析是否正确。但问题通常都具有抽象性的特点，学生很难理解，也难以转化为自己可理解的内部语言，此时如何将问题表述的内容转化为自己可理解的内容成为学生能否解决问题的先决条件，巧用各类解决问题模型，就能有效解决这个问题。借助各类解决问题模型这一解决问题的策略，通过模型思想来揭示数量之间的关系，将抽象的数学问题、数量关系变得简单形象、有模型、善拓展，不仅使解题思路简捷明了，还有助于学生拓展解题思路，丰富数学解题策略。

（一）先探索后建模，再验证

给予学生充分的时间，让学生经历构建模型的探索过程，然后在探索已有经验的基础上构建模型，进行教学。比如各种平面图形的周长、面积，立体图形的体积、表面积公式的探索，还有各种运算定律的探索等。在学生学习了教材各种基本模型以后，利用已有知识解决新的更加复杂的各种问题，能够举一反三（如图1），如方程问题、植树问题、鸡兔同笼、找次品、抽屉原理等。

（二）减少“讲与听”，增加“说与做”

心理学研究表明，学习者采用不同的学习方式，其收获显著不同，看一遍的收获是10%，听一遍是20%，说一遍是70%，动手做一遍（如操作、演练等）是90%。

从中我们可以看出，减少学生被动听讲的时间，增加学生表达、操作、互动的时间是最有效的一种建模方式（如图2）。例如，小组合作学习过程中两人一组互相说一遍，动手写一写，会比只听教师或其他人讲一遍收获大得多。

（三）借助几何直观模型，形象理解概念

数学概念的特点是抽象概括，是事物本质属性的反映。概念、定义、公式、法则、定律、规则等都是概念性知识，这些知识对于学生而言，有两种获得的方式：类比和概括。当学生学习新的数学概念时，利用已有认知结构中的概念与新的概念之间建立联系进行认知，即迁移类比。从大量具体例子出发，概括出新概念的本质属性概念，从而认知新的概念，即归纳概括。教师要善于鼓励学生在学习中发现所学知识的规律，教学时有意识地培养学生在画图中构造直观模型的能力，通过引导学生画几何直观图，把语言抽象的表述转化为具体可感的探究载体，在直观模型中发现规律，获得探索数学知识的方法，积极建构数学知识体系，促进发现规律、应用规律意识的生成。

图3

图4

图5

通过以上实例，不难看出数学概念的特点是抽象、概括。有的概念对学生来说不容易直接理解，教师要善于运用几何直观模型，寻找生活中的直观物体或借助数学中的直观图形，借助与数学对象有关联的实际存在物或替代物作为参照，建立与数学概念的关联，引导学生进行形象、简明的联想与思考，从而深刻理解概念的内涵与外延。

（四）借助直观模型，探索发现规律

模型思想是指借助于一定的经验，借助表象或联想到的数学模型，直接把握数学的本质的能力。利用适当的图形、几何模型进行数学解释，能够开拓学生思路，帮助学生理解和接受抽象的数学内容和方法，直观的数学模型能让数学变得通俗易懂。模型思想不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。模型思想能力是学生重要的数学能力之一，可通过初步感知模型思想、探索发现规律、构造运用模型、反思模型合理性等来培养学生的模型思想能力。

图6

教师要善于鼓励学生在学习中发现所学知识的规律，从一年级开始，教学时有意识地培养学生在画图中构造直观模型能力，通过引导学生画几何直观模型，把抽象的语言表述转化为具体可感的探究载体，画图发现规律，做到动口、动脑、动手，体验规律的形成过程。在直观模型中发现规律，获得探索数学知识的方法，积极建构数学知识体系，促进发现规律、应用规律意识的生成。

总之，数学是一种模型科学，数学教学同样是模型建构的教学。小学数学的内容虽然简单，但却蕴含深刻的数学思想，教学中应将感悟作为学生获得数学基本思想的途径和要求。教师要有意识地引领学生建构有意义的数学模型，渗透数学模型思想，引导学生建构数学模型，促进学生把握数学模型的本质，才能切实减轻学生的学业负担，达到“减负提质”的最佳效果。