核心素养下高中数学课堂导入路径探索

林建辉 宾红华 刘小辉

[摘 要]课堂导入的设计直接关系到课堂教学的实际效果。在数学课堂教学的引入环节，如何吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，是高中数学教学的难点所在。探究核心素养背景下的高中数学课堂导入路径，有助于将核心素养真正落实到课堂教学，从根本上提高课堂教学质量。

[关键词]课堂导入;核心素养;高中数学;基本不等式

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）05-0011-03

审视传统的高中数学课堂，教师一味注重知识讲授和应试技巧的训练，对课堂导入的重视不足。这种单一化的教学方式容易使学生忽视数学学科的历史背景和应用价值，不利于发展学生的数学学科核心素养，这与新课标所倡导的“立德树人”教育理念背道而驰。因此，在核心素养背景下，如何应用多样化的导入方式，优化课堂教学，成为一线教师教学研究的重点问题之一。本文以“基本不等式”为研究对象，分别从数学文化、实践活动、情境创设、复习旧知、几何建构五个维度，对高中数学课堂导入路径进行探索，希望可以为高中数学教与学提供一些可行性建议。

一、核心素养下数学课堂导入原则

（一）趣味性

不少高中生排斥数学学习，究其原因是数学知识抽象难懂。因此，教师要精心设计课堂导入，创设富有趣味性的问题情境，调动学生的学习主动性，使学生积极参与课堂、享受课堂。

（二）现实性

数学来源于生活，应用于生活。教师可以现实生活中的情境导入，这样一方面可以勾起学生的回忆，让学生在学习的过程中产生共鸣，深刻感受到数学学科的应用价值;另一方面可以引导学生从现实的生活情境中抽象出数学模型，将实际问题数学化，培养学生分析问题和解决问题的能力，发展学生数学抽象、数学建模等核心素养。

（三）启发性

传统课堂上，许多教师采用讲授法进行教学，一味注重学科知识和解题模板的讲授，缺乏对学生思维的启迪，学生难以理解数学的本质。现如今的数学课堂，提倡以“问题链”的形式启发学生思考，引导学生进行深度学习，使学生的数学学科核心素养得到有效提升。

二、核心素养下数学课堂导入的路径

（一）数学文化导入

片段一：

师（利用多媒体展示第24届国际数學家大会的会标）：同学们，请看大屏幕，图1是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的现场，悬挂在会场中央的是本次大会的会标（如图2）。会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，弦图构图巧妙，既凸显数学的美，又蕴含着数学的奥妙。接下来，我们就一起来探究会标中所隐含的数量关系。

为了方便研究，我们不妨将图2中的会标抽象成几何图形（如图3）。可以看出，正方形[ABCD]由4个全等的直角三角形和正方形[EFGH]组成。

我们不妨设直角三角形的两条直角边长分别为[a]，[b]，那么正方形[ABCD]的边长为[a2+b2]，正方形[EFGH]的边长为[a-b]。你能用数学语言刻画图形中存在的等量关系吗？

生1：由面积关系可知正方形[ABCD]的面积等于4个直角三角形的面积与正方形[EFGH]的面积之和，即[a2+b2=4×12ab+a-b2]。

师：很好，我们刚刚借助数学语言刻画了弦图中存在的等量关系。那么，弦图背后是否隐藏着某种不等关系呢？

生2：正方形[ABCD]的面积大于4个直角三角形的面积之和，即[a2+b2>2ab]。

师：很好。如果[a=b]时，面积关系又会发生怎样的变化呢？（运用几何画板进行动态演示）

生3：当[a=b]时，中间的正方形[EFGH]将会缩为一个点，此时[a2+b2=2ab]。

师：我们得到了不等式[a2+b2≥2ab]，接下来，我们尝试着用[a]，[b]替换表达式中的[a]，[b]，又能得到怎样的不等关系呢？

生4：如果[a>0]，[b>0]，我们用[a]，[b]替换表达式中的[a]，[b]，可得[ab≤a+b2]，当且仅当[a=b]时，等号成立。

由此引入基本不等式[ab≤a+b2]。

评析：本片段以赵爽的弦图为背景，将数学史的内容融入课堂教学，一方面可以让学生感受到中国古代数学的伟大成就，激发学生的民族自豪感;另一方面，弦图的巧妙构图可以让学生更加直观地感知数学图形的对称美和和谐美。

（二）实践活动导入

片段二：（内容摘自史亚军老师的“基本不等式”教学设计）

上课伊始，教师向每位学生分发两张面积不等的正方形纸片。

教师带领学生将两张正方形纸片沿着它们的对角线对折，再沿斜边拼接，探究两个直角三角形的面积与矩形的面积间的关系。

师：我们不妨假设两个正方形的面积分别为[a]和[b]（如图4），那么我们如何求图中两个三角形的面积之和呢？

生1：显而易见，两个三角形的面积之和为[a+b2]。

师：那矩形的面积又该如何求解呢？

生2：矩形的长为[a]，宽为[b]，面积为[ab]。

师：观察图中两个直角三角形的面积之和与矩形的面积，它们之间存在着怎样的不等关系呢？

生1：矩形的面积不大于两个直角三角形的面积之和，即[ab≤a+b2]。

师：不等式[ab≤a+b2]何时等号成立呢？

生2：当[a=b]时等号成立。

由此引入基本不等式[ab≤a+b2]。

评析：本片段中，教师以图形的折叠与拼接为背景，鼓励学生动手操作，使学生在活动中体会几何图形的面积关系，培养学生的动手实践能力和直观想象能力。

（三）情境导入

片段三：（内容摘自姚丁丁老师的“基本不等式”视频）

教师利用多媒体展示问题情境。

“十一”黄金周，小明去黄金店购买黄金，店老板拿出一台天平秤，将黄金放在天平秤上称了一下，得到质量为a克，交换一下位置重新称量，得到质量为b克，老板说将称量结果相加后除以2就是黄金的“实际重量”。

师：请大家思考，小明购买黄金是赚了还是亏了？

生1：我们不妨先假设黄金质量为[x]克，根据初中所学杠杆原理，可得[xl2=al1]（如图5），[bl2=xl1]（如图6），将这两个等式联立，可以计算得到[x2=ab]，即[x=ab]。

师：我们如何比较[a+b2]和[ab]之间的大小关系？

生2：可以采用作差法进行比较。

师：这是个好办法，请大家尝试。

生3：因为[a+b2-ab=a+b-2ab2=a-b22≥0]，所以[a+b2≥ab]。

师：不等式的等号在什么情况下成立呢？

生4：当且仅当[a=b]即[a=b]时等号成立。

师：现在我们是否能够判断小明购买黄金究竟是赚了还是亏了呢？

生5：很明显是亏了。

由此引入基本不等式[ab≤a+b2]。

评析：本片段中，教师以“不平衡天平秤”这一生活情境导入课堂，既贴近学生的现实生活，又与物理学知识相联系，有助于激发学生的探究欲，培养学生的思维能力，发展学生的学科核心素养。

（四）复习导入

片段四：

师：在初中，我们已经学习了完全平方公式，同学们还有印象吗？

生1：两数差的平方等于它们的平方和减去它们乘积的2倍。

师：这位同学用文字语言描述了两数差的完全平方公式，我们能否运用符号语言来刻画呢？

生2：可以表示为[x-y2=x2-2xy+y2]。

师：很好。我们知道对于任意的两个实数[x]和[y]，[x-y2≥0]总是成立的，即[x2-2xy+y2≥0]是成立的，移项可得[x2+y22≥xy]，当且仅当[x=y]时，等号成立。

师：如果有[a>0]，[b>0]，我们不妨取[x=a]，[y=b]，通过等量替换，我们能得到怎样的结论呢？

生3：[a+b2≥ab]（当且仅当[a=b]时等号成立）。

师：这是我们通过等量替换得到的，那我们可以用什么方法对它进行严格的证明呢？

生4：可以采用作差法进行证明。

因为[a+b2-ab=a+b-2ab2=a-b22≥0]，

所以[a+b2≥ab]（当且仅当[a=b]时等号成立）。

由此引入基本不等式[ab≤a+b2]。

评析：本片段中，教师引导学生回顾初中两数差的完全平方公式，通过公式变形、等量替换以及作差法证明，导出基本不等式[ab≤a+b2]。

（五）几何导入

片段五：

师（利用多媒体呈现几何图形，如图7）：观察图7，圆的直径为[AB]，点[C]是直径[AB]上一点，过点[C]作垂直于[AB]的弦[DE]，已知[AC=a]，[BC=b]。那么，我们是否可以根据几何图形，求出[CD]的长度呢？

生1：可以连接[AD]，[BD]，根据射影定理可证[△ACD∽△DCB]，由于相似三角形对应边成比例，计算可得[CD=ab]。

师：我们可以借助已知条件求出圆的半径吗？

生2：由于直径[AB=a+b]，因此半径为[a+b2]。

师：那么，我们如何判断[a+b2]和[ab]之間的大小关系呢？

生3：[CD]的长度小于或等于圆的半径，因此可以得到[ab≤a+b2]。

师：通过大家的讨论，我们已经得出[a+b2]和[ab]之间的大小关系，那么请大家继续思考：上述不等式的等号在什么情况下可以取到呢？

生4：当点[C]与圆心重合，即[a=b]时，不等式的等号可以取到。

由此引入基本不等式[ab≤a+b2]。

评析：本片段中，教师以几何图形为研究工具，启发学生探究圆的直径和弦长之间的大小关系，引导学生总结出基本不等式的几何解释“半弦长不大于半径”，并通过“以形助数”“以数辅形”将代数的抽象性与几何的直观性有机地结合起来，从而发展学生的数学思维。

课堂导入方式多种多样，教师可以借助旧知引入新知，可以联系实际生活创设情境，也可以融入数学史与数学文化等。不同的课堂导入方式都彰显着其独有的特色，展现了授课教师对于教学内容的独到见解。核心素养下的高中数学课堂导入，不仅可以激发学生探究新知的欲望，让学生积极探索、自主实践，还可以让学生在了解数学史的过程中培养爱国情怀。因此，在高中数学教学中，教师要根据实际情况选择恰当的课堂导入路径，发展学生的数学学科核心素养，不断提高课堂教学质量。

[   参   考   文   献   ]

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[3]  周鹏.关注核心素养培养 创新高中数学课堂导入方法[J].教育界，2020（39）：81-82.

[4]  楚长锦.“说数学”活动的内涵分析及策略研究[D].重庆：重庆师范大学，2015.

[5]  万姝玮，蒋亦.对引入基本不等式的几点思考[J].高中数学教与学，2013（14）：31-32.

[6]  肖凌戆.基本不等式的教学导入研究[J].中国数学教育，2015（8）：58-59，64.

[7]  周鹏.在巧妙的课堂导入研究与实践中，落实高中数学核心素养[J].数学学习与研究，2020（13）：79-80.

（责任编辑 黄桂坚）