基于大单元背景的概念课教学设计

顾晓峰

[摘 要]文章以大单元为视角，于知识引入、知识生成、知识升华等环节创设问题情境，引导学生开展自主学习活动，挖掘数学内在思想，以更好地培养学生的数学学科核心素养。

[关键词]大单元;对数函数;教学设计

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）05-0005-03

一、单元内容与解析

“对数函数”单元的内容包括对数函数的概念、图像和性质，以及同底指数函数与对数函数之间的关系。

本单元是在幂函数、指数函数以及对数函数概念及其运算的基础上，进一步研究对数函数的概念、圖像和性质。事实上，在等式[z=xy]中，若将[y]视为常数，[x]视为自变量，[z]视为因变量，就得到幂函数;将[x]视为常数，[y]视为自变量，[z]视为因变量，则得到指数函数;将[x]视为常数，[z]视为自变量，[y]视为因变量，则得到对数函数。

函数的一般概念和性质是对数函数研究的基础，对数的运算是对数函数概念获得的基础。指数函数的图像和性质的研究方法可迁移到对数函数的图像和性质的研究中。对数函数的研究为进一步揭示同底指数函数与对数函数之间的关系做好铺垫。

二、单元目标与解析

（一）目标

（1）了解对数函数的实际意义，理解对数函数的概念。

（2）能用描点法、借助信息技术或者图像的变换作出具体的对数函数的图像，探索并理解对数函数的性质，进一步体会研究具体对数函数的一般思路和方法，提升数学学科核心素养。

（3）明确同底指数函数与对数函数之间的关系，了解它们互为反函数。

（二）解析

实现上述目标的标志是：

（1）学生能说出相关量之间的关系式，能从特殊到一般地给出对数函数的一般表达式。

（2）学生能根据指数函数的图像和性质的学习经历，自主类比研究过程和方法，得到对数函数的图像，结合图像直观认识函数性质，体会数形结合思想。

（3）对于同底指数函数和对数函数，学生知道指数函数的定义域就是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域，了解它们互为反函数。

三、单元教学问题分析

本单元中，对数函数概念的建立应立足已有的具体指数函数模型，即碳14衰减的函数模型[y=1215730xx≥0]（其中x是时间，y是碳14的含量），根据指数与对数的关系将其变形为[x=log125730y0<y≤1]。教学中，教师需要引导学生回答两个问题：①研究[x=log125730y0<y≤1]的动机是什么？②这里的[x]是关于[y]的函数吗？为什么？根据经验，学生容易从一般的指数函数[y=ax（a>0， a≠1）]中得到对数函数[x=logay（a>0， a≠1）]，并根据习惯改写为[y=logax（a>0， a≠1）]，然而在这个改写的过程中，学生容易混淆[x]与[y]的关系，教师应在此处考虑更自然的过渡方式。

在对数函数的图像和性质的学习中，大部分学生会依据“具体函数—描点连线—图像性质”的一般思路进行研究，也有学生会从同底指数函数与对数函数的对应点关系入手进行研究。对于可能出现的不同发现路径，教师可利用信息技术工具辅助学生探究。

四、单元教学支持条件分析

在本单元的教学中，概念引入部分可插入介绍“碳14衰减”问题的视频，通过背景介绍，增强学生的学习动机，使学生感受到对数函数的实际意义。在对数函数的图像和性质的教学中，教师可借助几何画板或者GGB画出[a]取任意可能值时[y=logax]的图像，也可通过追踪点的移动来验证对数函数和同底指数、对数函数图像之间的特点。

五、教学过程

（一）知识引入

播放一段关于考古学家发现一处新石器时代人类生活遗址的视频。如何确定发现的生活遗址处于漫长年代中的哪一段呢？考古学家从生活遗址中取样然后带回实验室进行碳14检测。因为碳14元素每隔5730年衰减为原来的一半，所以可以根据其衰减幅度逆推出动物（植物）死亡的年数。

问题1：同学们，看完这段视频，你知道考古中可以怎样推测出生物的死亡年数了吗？

问题2：如果知道了碳14的含量[p]，怎么得到死亡年数[t]？现有的模型能否用来解决这个问题？

问题3：如果现有模型无法使用，能否建立一个新的数学模型？

评析：引入视频有两个用意，一是让学生直观体会数学模型的实际应用价值，二是让学生了解实际考古工作中大多是通过碳14含量来推测生物的死亡年数的。

问题4：[t]是关于[p]的函数吗？可以怎么理解？

问题5：对于一般的[p=at（a>0， a≠1）]，能否进行推广？

评析：学生获得[t]与[p]的关系式后，通过质疑其是否存在函数关系引发第二次认知冲突。教师引导学生从两个层面解释：一是从实际意义出发，认识到每一个碳14含量[p]都有唯一确定的死亡年数[t]与之对应;二是基于指数函数的单调性，通过作图发现每一个函数值[p]对应着唯一确定的自变量[t]。学生从实际背景中获得感性认识，再利用数学知识理性理解。最后，让学生对一般的指数函数进行推广，得到新的函数模型：[t=logap（a>0， a≠1）]。根据习惯，常常用[y]表示因变量，[x]表示自变量，从而抽象出对数函数的概念。

问题6：[y=ax]与[y=logax]有何关系？能否从对应点的角度说明？

评析：因为对数函数的概念来自同底指数函数，所以自然要关心它们之间有何联系，这就引发了学生的第三次认知冲突，需要进一步抽象两者间的关联，而这个问题关乎后面图像和性质的获得以及反函数的引入。面对摆脱实际意义的函数表达式[y=ax]与[y=logax]，学生可能会在思考方向上手足无措，于是教师暗示学生从对应点的角度说明：若[y=ax]经过点[（x0， y0）]，则[y0=ax0]，则[x0=logay0]，说明[y=logax]经过点[（y0， x0）];反之，若[y=logax]经过点[（x1， y1）]，则[y=ax]经过点[（y1， x1）]，表明它们的图像是关于[y=x]对称的。学生获得新概念后，教师及时引导他们将新概念与相关概念进行对比，以此加深学生对同底指数函数与对数函数之间的关系的认识，使学生对概念从单一的个体认识上升到关联性认识，进一步发展学生的数学抽象能力。

（二）知识生成

问题7：对于新的函数——对数函数，我们可以研究哪些内容？如何研究？

学生自己设计探究方案，而后以2人为一組探究对数函数的图像和性质，将结果整理在纸上，并汇报展示。

评析：学生在学习幂函数和指数函数后，已经初步经历了一个新函数的完整研究过程，具有一定的理论基础和探究能力。在教学时，教师抛出问题，让学生全程自己探究，按照具体探究步骤逐步获得结论，充分发挥学生的主体性。在研究策略上，学生主要提出两种方法：类比与化归。

1.通过类比探究对数函数

指数函数的学习让学生积累了研究具体函数的完整经验，所以一部分学生会通过类比进行研究：①类比研究路径。类比指数函数从特殊出发进行探究的思路，学生会选择特殊的对数函数进行列表、描点、连线来画图，且一般选择底数互为倒数的一对（几对）函数，如[y=log2x]、[y=log12x]，[y=log3x]、[y=log13x]进行探究。②类比研究方法。类比由[y=2x]图像得到[y=12x]图像的方法，学生在得到[y=log2x]的图像后，根据[y=log12x=-log2x]，发现两者图像关于[x]轴对称，故可以通过对称性直接获得[y=log12x]的图像。让学生体会到图像变换也是作图的一种重要手段。③类比研究内容。在画出对数函数图像后，学生类比指数函数的性质，确定研究内容：对数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。

2. 通过化归探究对数函数

一部分学生受到问题6的启发，利用同底指数函数与对数函数的关系，直接作具体的指数函数关于[y=x]对称的图像，得到相应的对数函数图像再观察获得性质。其实，图像变换是蕴含化归思想的一种重要手段，它本质上是通过逻辑推理间接获得新的图像。一些能力较强的学生，甚至可以不用画出具体的图像就能通过逻辑推理直接说出对数函数可能具有的特征。对于这样的“跳跃”，教师应给予支持与鼓励。

学生在自主探究后，得到[a>1]与[0<a<1]时的两类图像及其性质，教师可利用几何画板的拖动功能来改变[a]值并观察图像的变化，进一步验证图像间的共同点与不同点，加深学生从特殊到一般的体会，使他们更深刻地认识对数函数。

（三）知识升华

问题8：我们利用对数函数的图像得到了有关性质，这些性质一定正确吗？是否可以进一步验证？

设计意图：对数函数的性质是学生通过观察、归纳得到的，可以从函数本身进行解释。如为什么图像过定点（1，0）？因为[loga1=0];为什么[y=logax]在[a>1]时是单调递增函数？可以根据单调性定义进行简要说明。将由“形”得到的结论进一步通过“数”来验证，这虽然不是教学的重点，但有利于学生形成规范化思考的理性思维品质，因而在教学中需要有所呈现。

问题9：我们分别画出了[y=log2x]、[y=log12x]、[y=log3x]、[y=log13x]的图像，并总结了[y=logax]的图像及性质，我们还能从这些图像中发现什么变化规律吗？

问题10：能否从不同角度验证你的发现？

设计意图：将四个特殊的对数函数图像放在同一个坐标系里，学生能直观感受到图像变化与[a]之间的联系，让学生充分表达，教师进行修正与完善。验证过程则可从两个角度解释：一是根据几何画板的直观演示;二是作出直线[y=1]，其与图像交点的横坐标即为底数，从数的角度看出[a]与图像的对应关系。学生在观察中提出猜想，在验证中升华理解。

六、教学思考

（一）教材为根，整体把握教学内容

基于大单元设计的视角，“对数函数”部分是在幂函数、指数函数以及对数概念及其运算的基础上，进一步研究对数函数的概念、图像和性质的。事实上，在等式[z=xy]中，若将[y]视为常数，[x]视为自变量，[z]视为因变量，就得到幂函数;将[x]视为常数，[y]视为自变量，[z]视为因变量，则得到指数函数;而将[x]视为常数，[z]视为自变量，[y]视为因变量，则得到对数函数。此外，指数函数、对数函数的运算是对数函数概念获得的基础，而指数函数的图像和性质的研究方法可迁移到对数函数的图像和性质的研究，对数函数的研究又为反函数的引入打下基础。这表明本节内容的重要地位，体现了数学知识与方法间的关联性和系统性。

（二）学生为本，积累数学活动经验

在“知识引入”环节，从熟悉的碳14衰减的函数模型出发，让学生在认知冲突中体会演绎推理与归纳推理的过程。情境中，[t=log125730p（0<p≤1）]是第一次抽象，一般的对数函数[y=logax（x>0， a≠1）]是第二次抽象，[y=ax]与[y=logax]之间的关联是第三次抽象。每一次抽象都是对知识的逐步深化，学生在质疑、探索、检验、反思中不断积累数学经验。在“知识生成”环节，基于知识的特点，通过合作、探究、交流的方式，让学生展现自我，充分暴露思维过程，课堂不再是单向性的师生问答模式，而是变为探究与展示的交流场所。

（三）素养为标，形成能力

落实核心素养是数学课程目标的集中体现，其育人价值体现在当学生遇到新问题时，能够利用已有的数学知识、方法与思维解决问题。本节课在“知识引入”环节，着力发展学生数学抽象、数学建模、逻辑推理的能力;在“知识生成”环节，重在引导学生利用类比、转化等数学思想自主探究新函数;在“知识升华”环节，主要让学生反思探究结果的严密性，让抽象的“数”与直观的“形”互相融合，强化学生对数形结合思想本质的进一步认识。学生在深度学习中深刻理解了知识的来龙去脉，同时获得了研究数学对象的方法与能力，进一步提升了学科核心素养。

[   参   考   文   献   ]

[1]  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020：5.

（责任编辑 黄桂坚）