以大观念为核心重构单元学习

牛献礼

【摘 要】“多边形的面积”单元教学以数学“大观念”为核心，将课程内容结构化，各部分内容的着力点既前后关联又各有侧重，即“平行四边形的面积”的教学应借助方格纸度量面积，让学生理解“转化”的道理，并学会用“剪拼法”将未知转化为已知;“三角形的面积”的教学注重引导学生用“合拼法”“剪拼法”等多种转化方法探究新知，并理解不同方法背后的共同道理;“梯形的面积”的教学则进一步放手让学生自主选择转化方法去推导公式。各部分的教学都注重“理法融合”，关注学生对具体知识背后的“大观念”的持续性理解。

【关键词】大观念 转化思想 自主探究 持续性理解

素养是一个人表现出来的思维品质和做事风格。学生的素养往往体现在解决新情境下复杂问题的意愿和能力，而这需要学生理解和迁移知识学习过程中蕴含的思想方法、思维方式、情感态度等。一个人对思想方法等的认识形成一个个的“观念”（idea），其中居于学科中心地位、最核心的就是“大观念”（big

ideas）。“大观念”是抽象概括出来的概念，它能反映学科本质，处于更高层次，因而能够将各种相关概念和理解聯系成为一个连贯的整体，使之能够在更大范围内得以迁移运用，是知识向核心素养转化的中介。

为此，笔者在执教小学数学五年级“多边形的面积”单元时，分析并提炼出具体知识内容背后的大观念。

大观念1：测量图形的面积，实质是测量该图形所包含的面积单位的个数。

大观念2：可以借助图形与图形之间、各图形要素之间的关系，推导出多边形的面积公式。

大观念3：多边形面积公式的不同推导过程有着共同的道理，都是将未知转化为已知去解决新问题。

大观念4：以上过程发展了学生的几何直观、推理能力和空间观念等数学思想。

教学时，我们不能把学习目标设定为“掌握多边形的面积公式，会利用公式计算面积”这么简单，而应该引导学生通过对平行四边形、三角形和梯形等多边形面积公式的自主探究和深入思考，不断理解面积度量的本质，持续感悟“转化”的思想方法，从而实现数学思想方法层面的“通”与“进”。

笔者以提炼出的“大观念”为核心，对“多边形的面积”单元内容进行了结构化重组，将“转化”思想贯穿单元始终，各部分的着力点既前后关联又各有侧重，帮助学生深入理解图形面积的本质，即图形面积就是计算面积单位的个数。

一、典型课例1：平行四边形的面积

平行四边形与长方形一样，其面积的本质含义都是“包含的面积单位的个数”，计算方法也是用“一行的个数×行数”。从知识之间的内在逻辑关系来看，平行四边形的面积公式是面积计算的一个关键模型，本节课形成的“将未知转化为已知去解决新问题”等大观念对后续的三角形、梯形、圆形、组合图形以及不规则图形等的面积计算都有着重要的启示作用。

为此，平行四边形面积的教学应突出两个关键点：一是沟通“数方格”与“剪拼法”的联系，理解“把平行四边形转化成长方形是为了更方便地数方格”，体会转化的必要性;理解平行四边形的“底”就是“一行有几个面积单位”，“高”就是“有几行”，“底×高”就是“一行的个数×行数”，计算出的是“面积单位的个数”，从而真正建构平行四边形面积的概念。二是聚焦于学生的“真问题”（即多数学生受长方形面积公式负迁移的影响，最容易产生“邻边相乘”的想法），在比较、辨析中理解“底乘高”和“邻边相乘”的区别。将这两个关键点理解透彻，在后续计算三角形、梯形等图形的面积时，学生能够基于已有知识经验展开自主探索。

1. 复习长方形的面积公式及推导过程

师生在交流中形成下图（见图1）。

2. 探究怎样计算平行四边形的面积

学生借助方格纸上的平行四边形独立思考，然后全班交流（见图2）。

生1：数方格。把不满一格的半格都互相拼成整格，一共有15个格（见图3）。

生2：剪拼法。沿着高把左侧的三角形“剪下来”，再把这个三角形整体向右移动，拼成了长方形，面积是5×3=15（格）（见图4）。

讨论：“数方格”的方法和“剪拼法”有什么区别和联系？

归纳：平行四边形里有大半格还有小半格，方格数起来很不方便;而通过“剪拼法”把平行四边形转化成面积相等的长方形之后，小方格都变成整格了，很容易看出“一行有几个”和“有几行”，方便数也方便计算。

师：看来“转化”还真有必要呀！请大家再想一想，平行四边形的面积计算其实是什么？

小结：和长方形一样，平行四边形的面积计算本质也是数面积单位的个数。

【设计意图】“数方格”也就是数面积单位，是测量本质的直观体现，能有效改正“邻边相乘”的错误思路。同时，在方格图里进行割补，能使学生直观地感受到：只有将图形这样变形，才能最方便地数出它包含了几个面积单位。

3. 辨析“剪拼转化”与“推拉转化”的异同

出示练习：计算下面平行四边形的面积（见图5）。

学生独立尝试后，答案大致有两种：32平方厘米和40平方厘米。

生1：用“剪拼法”把平行四边形右边的三角形剪下来，拼在平行四边形左边，就变成了一个长方形。这个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，所以面积是32平方厘米。

教师结合回答，动态呈现剪拼的过程（见图6）。

生2：我是把平行四边形“推拉”成一个长方形，再用它的长乘宽（两个邻边相乘），面积是8×5=40（平方厘米）。

师：哪个答案是正确的？有什么办法可以验证？

生：可以通过方格图数一数这个平行四边形到底包含多少个面积单位来验证。

课件显示：方格沿着高“剪拼”成宽是4个格的长方形，得到的面积是8×4=32（格），即32平方厘米;而“推拉”成的长方形的宽是5个格，面积是8×5=40（格），即40平方厘米（见图7）。

小结：用“剪拼法”把平行四边形转化成面积相等的长方形，平行四边形的底等于长方形的长，高等于长方形的宽，长方形的面积=长×宽，平行四边形的面积=底×高。

【设计意图】多数学生受长方形面积公式负迁移的影响，最容易产生“邻边相乘”的想法，上述教学聚焦于学生的“真问题”，激发学生积极思考，并借助“数方格”明晰“剪拼转化”的道理和“推拉转化”的问题所在。这样直面学生“真困惑”的追本溯源的数学活动，针对性很强，也为学生奠定了利用“转化”思想解决问题的认知基础。

二、典型课例2：三角形的面积

在“三角形的面积”教学中，“合拼法”（即用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形）几乎是公认的最易于学生理解、掌握的方法。但实际上，如果不是提前看书预习过，通过“再拼上一个完全一样的三角形”来实现转化的方法，许多学生是不容易想到的。相比之下，学生由推导平行四边形面积公式的“剪拼法”迁移到“通过剪拼将三角形转化为平行四边形”却是不难实现的。另外，由于学生的思维水平有差异，三角形面积公式的推导过程也会各不相同。如果缺少了对这些不同思路与推导过程的比较与归纳，学生是很难深刻理解上述“公认的”推导过程的优越性的，更不会真正认识到：公式中的“÷2”不仅代表着“三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半”，更代表着“转化”的数学思维方法。

因此，在教学中教師应当少一些“暗示”，多给学生一些自主探究和与同伴交流的空间，继而在多种方法的比较、讨论中，促使学生形成“三角形面积公式的不同推导过程有着共同的道理，都是将未知转化为已知”的大观念。

1. 唤醒经验，引导思考

师：想一想，平行四边形的面积公式是怎么推导出来的？如果给你一个新的图形应该怎么考虑？

师：（出示三角形）怎样计算三角形的面积？（板书：三角形的面积）

【设计意图】数学最重要的是教学生学会思考。上述环节把平行四边形和三角形的面积公式推导联系起来，启发学生做类比联想，“将未知转化为已知”这个“大观念”自然凸显。

2. 自主探索，推导公式

（1）自主探索

学生借助“探究学习单”独立思考，教师巡视指导。

（2）全班交流

① 探讨用两个三角形推导的方法。

生：我又“复制”了一个三角形，用这两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，它们的底相等，高也相等，所以三角形的面积=底×高÷2（见图8）。

师：想一想，“底×高”表示什么？

生：“底×高”是平行四边形的面积。

师：能解释一下为什么“÷2”吗？

生：因为“底×高”是两个三角形的面积，所以要“÷2”。

②探讨用一个三角形推导的方法。

生1：沿着中点的这条线把上面的小三角形剪下来，与下面的梯形拼成一个平行四边形。平行四边形的底=三角形的底，高=三角形高的一半，所以三角形的面积=底×高÷2（见图9）。

师：谁听懂了？为什么要“÷2”？

生2：因为平行四边形的高是三角形高的一半，所以平行四边形的面积=底×（高÷2），括号去掉，就是底×高÷2。

生3：我觉得开始时先不要去掉“高÷2”的小括号，要不然不容易懂。

课件展示其他推导方法（见图10）：

（3）归纳方法

师：想一想，这些不同的方法之间有联系吗？它们的共同点是什么？

生1：都是把三角形转化成已经学过的图形。

生2：都是把未知转化成已知。

师：看来“转化”真是一种重要的数学方法！在这么多“转化”的方法中，你更喜欢哪一种？

生3：我喜欢用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形的方法，比较简便。

生4：我喜欢剪拼法。

师：我们知道长方形和平行四边形的面积计算的是面积单位的个数，那么三角形的面积计算的又是什么呢？

生：也是面积单位的个数。

【设计意图】经过对三角形面积公式不同推导方法的比较，学生会发现“不同方法背后有共同的道理”，即都是将未知转化为已知，数学“大观念”逐渐深入人心。

三、典型课例3：梯形的面积

在推导梯形面积公式之前，学生已经学会了两种转化方法—“剪拼法”和“合拼法”，积累了大量的经验。尽管从模型建构的角度看，“梯形的面积”属于一节新授课，但从学生已有的学习经验迁移的角度看，它也可以看作一节图形面积公式推导的练习课。因此，教学中教师应充分“放手”，鼓励学生用多种方法推导梯形面积公式，进而在比较、辨析中明白不同方法背后共同的道理，深入理解和形成相关的数学“大观念”。

1. 回顾旧知，提出设想

（1）回顾推导过程

课件演示：回顾平行四边形、三角形面积公式的推导过程。

提出研究问题：怎样求梯形的面积？

（2）鼓励学生提出设想

生：运用“剪拼法”和“合拼法”，是否也可以求出梯形的面积？

【设计意图】对图形面积公式推导方法进行复习梳理，启发学生进行类比联想，鼓励学生提出个人的想法和见解。

2. 自主探索，交流分享

学生自主探究后，全班交流。

生1：用两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形（见图11），平行四边形的高=梯形的高，平行四边形的底=梯形的（上底+下底），根据“平行四边形的面积=底×高”推导出“梯形的面积=（上底+下底）×高÷2”。

生2：沿着梯形两个腰的中点连线并剪开，拼成一个平行四边形（见图12）。平行四边形的面积=梯形的面积，平行四边形的底=梯形的（上底+下底），平行四边形的高=梯形的高÷2，所以梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。

生3：沿着梯形的对角画一条线，把它分成两个三角形（见图13），左边三角形的面积=上底×高÷2，右边三角形的面积=下底×高÷2，所以梯形的面积=上底×高÷2 +下底×高÷2 =（上底+下底）×高÷2。

在交流分享环节，教师鼓励学生结合直观图示解释自己的推导过程，并紧密围绕“为什么除以2”这一核心问题，让学生在多种方法的对比、辨析中，理解不同方法背后共同的道理，深入体会“将未知转化为已知”的思想方法。

【设计意图】正是由于教师的充分信任、敢于“放手”，学生“火热的思考”被激发，创新的火花不断迸发。在交流环节，教师鼓励学生“说理”，借助图示解释面积公式的推导过程，把推理意识的培养落在了实处。

3. 回顾反思，积累经验

师：回顾一下梯形面积公式的推导过程，你有哪些收获？

师生交流，总结梯形面积公式推导的方法及学习经验。

师：想一想，梯形面积公式和平行四边形、三角形面积公式之间有什么联系吗？

生1：它们都是将未知转化为已知。

生2：它们计算的都是面积单位的个数。

……

【设计意图】让学生“回头看走过的路”，并把几个多边形的面积公式联系起来思考，有助于将各种相关概念和理解联系成为一个连贯的整体，形成结构性认识。

（作者单位：北京亦庄实验小学）

责任编辑：赵继莹