差动平行极板变极距电容式传感器的误差校正方法

蒲明辉，罗 祺，张金皓，艾振军，苏 飞，黄 伟

(1.广西大学机械工程学院，广西南宁 530004；2.广西制造系统与先进制造技术重点实验室，广西大学，广西南宁 530004；3.湖南科技大学智能制造研究院，湖南湘潭 411201)

0 引言

电容式传感器是通过电容器的电容变化实现对测量信号检测的仪器。电容式传感器具有分辨率高、重复度好、噪声低、功耗低等优点，在力检测[1-2]、位移检测[3]、加速度测量[4]等领域有着广泛的应用。

由于电容式传感器输入输出关系的非线性，对其测量精度有着较大的影响[5]。针对这一问题，一些研究者采用非线性拟合的方式规避了非线性误差这一问题[6-7]，但此方式不适用于需要线性拟合的场景，如多维耦合型电容式传感器的线性解耦[8-9]。为有效降低电容式传感器线性拟合过程中的非线性误差，有些研究者采用差动式电容器结构来减小电容式传感器的非线性误差，贾伯年[10]等应用变极距平行极板电容器，构建了一种二维差动电容式传感器，并通过有限元法从理论上分析了输出特性及其与结构参数的关系；于晓光[11]等开发了一种差动式电容载荷传感器，利用差动式、等位环、圆柱型电容器结构消除了非线性误差和边缘效应的影响。在此基础上，刘沁[5]、张玲[12]等计算出差动式电容组合在理论上与极距变化完全线性相关的表达式；袁有臣[13]等使用电路对电容的非线性关系进行补偿，将非线性误差由25%降至0.6%，但复杂的电路结构增加了系统的复杂度且通用性较差，应用于不同的电容器时不具有互换性。

应用差动式电容器结构是降低电容式传感器非线性误差的良好方案，但受到加工、装配误差的影响，很难保证差动的2个电容器的初始极距严格相等，难以有效减少非线性误差。本文针对加工、装配误差导致差动式平行极板电容器的初始极距不相同的问题，提出了一种误差校正方法。首先，基于差动平行极板变极距电容器测量原理和最小二乘法线性拟合，分析了非线性误差产生的机理；建立误差分析模型，引入差动加权系数，构建误差校正表达式，并提出误差校正的参数估计式，进而对传感器测量数据进行误差校正；最后，通过仿真和实验验证了所提出方法的准确性和有效性。

1 测量原理

1.1 平行极板变极距电容器测量原理

平行极板变极距电容器测量原理如图1所示，当传感器在被测物理量作用下，动极板发生位移，使得动、静极板间距发生变化，从而使电容值发生变化，通过检测电容值的变化实现被测物理量检测。

在忽略电容边缘效应的情况下，电容计算公式为

(1)

式中：ε为极板间介质的介电常数；S为两极板的相对有效面积，mm2；d为两极板间距，mm；d0为两极板初始间距，mm;Δd为动极板的位移变化，mm。

将式(1)使用泰勒展开式得到电容C关于Δd的多项式：

(2)

则电容变化量可以用多项式表示为

(3)

由式(3)可知，理论上，电容变化值的非线性误差主要来自于多项式中的高阶项，因此，若要降低电容变化的非线性误差，则需要消除高阶项的影响。差动式电容器结构可以有效地消去高阶项，降低非线性误差。

1.2 差动式电容器测量原理

差动式平行极板变极距电容器结构如图2所示，由1块动极板和2块静极板组成，即2个平行极板变极距电容器构成差动结构。其中动极板位于2块静极板之间，静极板接入电路，动极板接地，极板初始间距d1=d2=d0。当动极板移动时，静极板1、2与动极板正对距离发生变化，变化大小相等方向相反，从而构成一组差动式电容器[6]。同理，将静极板设置在中间，上下动极板保持位移一致的时候，差动形式也是和上述的电容变化一致，即差动原理一样。

图2 差动式电容器结构示意图

根据式(3)，电容变化量ΔC1和ΔC2可以用多项式表示为：

(4)

(5)

因为d1=d2=d0，则差动电容变化为

(6)

由式(6)可知，此时差动电容变化中，仍然存在高阶项o3(Δd)。当Δd<

2 非线性误差校正方法

2.1 校正方法的基本流程

基于以上差动式平行极板变极距电容式传感器测量原理和电容变化值计算公式，在考虑加工、装配误差的情况下，利用泰勒展开式，构造非线性误差模型，根据最小二乘法线性拟合，进行误差参数估计，引入差动加权系数的方法对误差进行校正，其基本流程如图3所示。

图3 误差校正流程图

2.2 非线性误差分析与建模

根据式(4)～式(6)，在差动式电容器满足Δd<

(7)

(8)

通过差动结构计算差动电容，可以抵消二阶项带来的非线性误差的干扰，提高电容值ΔC与变量Δd之间的线性度。然而，在实际过程中，由于加工、装配带来的误差，会使得差动式电容器中的极板初始极距不相等，即d1≠d2，从而使二阶项无法被消除，此时差动电容变化量ΔCc可以表示为

(9)

显然，由于d1≠d2，二阶项无法消除，从而导致非线性误差无法有效被抵消。因此，直接相减的差动方法在d1≠d2时将不适用。

为了有效消除高阶项对差动电容变化量ΔCc的影响，借鉴加权平均思路，引入差动加权系数ρ，同时，差动结构可以认为成倍提高电容总变化量，综上，引入差动加权系数ρ的ΔCc表达式为

(10)

展开式(10)得：

(11)

2.3 误差参数估计与校正

假设动极板对称地向两侧移动了n次，产生n组位移Δdi(i=1,2,…,n)，静极板1和静极板2分别产生n组电容变化量ΔC1i和ΔC2i。根据最小二乘法，对电容变化量ΔC1和ΔC2，即式(7)和式(8)进行线性拟合，令Δdi=xi(i=1,2,…,n)，ΔCm=ym(m=1,2),可得：

ym=kmxi

(12)

式中：xi(i=1,2,…,n)为第i动极板发生位移Δdi；km为拟合后的直线斜率。

根据最小二乘法线性拟合中的残差平方和，得到误差估计式：

(13)

由式(7)、式(8)和式(12)可知，Qm是关于km的二次函数，则存在一个km满足Qm取得极小值。对Qm关于km求一阶导为：

(14)

(15)

令一阶导数为0，得到关于km的表达式：

(16)

(17)

(18)

(19)

根据式(11)、式(18)和式(19)，可得关于差动加权系数ρ的参数估计式：

(20)

根据以上推导，由式(12)求解k1和k2，确定差动加权系数ρ的取值，再使用式(10)对测量数据进行校正，从而实现对差动电容测量值的非线性误差校正。

3 仿真与实验分析

3.1 仿真分析

为验证本文所提出的误差校正方法的准确性和有效性，采用COMSOL Multiphysics多物理场仿真软件进行仿真分析，利用所得仿真数据对校正方法进行验证，仿真模型见图4。

图4 仿真模型

在仿真分析中，设计2组差动式电容器模型的参数，如表1所示，物理场选择为静电场，通过参数化扫描的方式实现极板位移的变化。

表1 模型参数

图5为2组不同的模型参数下的仿真电容变化值。

(a)模型一电容变化

(b)模型二电容变化图5 仿真模型电容变化图

根据式(13)，分别对2组仿真电容变化值进行最小二乘法线性拟合，得到2组仿真数据对应的线性拟合下的直线斜率。

模型一：

k1=11.635

k2=-21.506

模型二：

k1=21.352

k2=-31.894

根据式(21)，可求得2组差动加权系数此时分别为：

ρ1=0.398

ρ2=0.548

进一步，分别使用直接差动法，即式(6)，得到直接差动法处理的仿真数据；使用误差校正法，即式(10)，得到误差校正法处理的仿真数据，将两者进行对比，如图6所示。同时，求解2种方法处理的仿真数据对应的非线性误差：

(21)

式中：X，Y分别对应样本数据点的横纵坐标；Ymax、Ymin分别为纵坐标的最大值与纵坐标的最小值。

(a)模型一对比

(b)模型二对比图6 差动电容误差校正前后对比

针对模型一，直接差动法得到的数据的非线性误差为8.58%，使用差动加权系数校正后的数据的非线性误差为1.68%；针对模型二，直接差动法得到的数据的非线性误差为8.06%，使用差动加权系数校正后的数据的非线性误差为2.45%。采用差动加权系数误差校正后的仿真测量数据非线性误差相对于直接差动的方法明显降低，证明了所提出的误差校正方法的有效性。

为了进一步验证计算出的差动加权系数对应的非线性误差值最小，根据式(10)代入不同大小的差动加权系数对仿真数据进行处理，然后使用式(21)计算对应的非线性误差，计算结果如图7所示。三角形对应点为该组电容变化数据下的最小非线性误差所对应的差动系数，圆点为误差校正方法所求出的差动加权系数。

(a)模型一非线性误差分析

(b)模型二非线性误差分析图7 非线性误差分析

由图7结果可知，所求出的差动加权系数与最小非线性误差下的差动加权系数具有较好的吻合度，考虑到仿真过程中的网格精度等原因，两者之间的误差是可以接受的。

3.2 实验验证

利用本实验室已有的一款差动电容式六维力传感器[14]，对其中的一对差动电容器进行了数据采集，并使用误差校正方法对实验测量数据进行了误差校正。传感器实物如图8所示，差动电容器由上下动极板和中间静极板组成，其中CIN10通道测量电容C1变化，CIN11通道测量电容C2的变化。

图8 差动式电容六维力传感器实物

为了获得有效稳定的数据，在没有振动、冲击、加速度的环境下进行静态力加载，实验平台如图9所示，将传感器固定在固定台上，通过加载法兰添加砝码，使用电容检测芯片AD7147配套的评估板采集电容数据并传输到上位机上进行数据处理。

图9 力加载实验平台

设置好实验平台后，对传感器进行静态力加载，对Fz正方向添加5 kg砝码，再每次递减1 kg砝码至0 kg，多次读取砝码变化时所选差动电容器对应的通道读数，取其平均值；对Fz负方向添加5 kg砝码，再每次递减1 kg砝码至0 kg，同样多次读取每次砝码变化时所选差动电容器对应的通道读数，取其平均值。实验中所得电容变化测量数据如图10所示。

图10 电容变化测量数字量

根据式(12)，对测量数据进行线性拟合，分别得到CIN10和CIN11的线性拟合直线斜率：k1=11.635，k2=-21.506，则ρ=4.955。进一步，根据式(10)对测量数据进行误差校正，并使用式(21)计算直接差动法和误差校正法处理的实验测量数据的非线性误差，结果如图11所示。

图11 差动电容比较

从图11可以看出，相较于直接差动的方法，利用所提出的误差校正方法对实验测量数据进行误差校正，其非线性误差从9.80%降为2.79%，非线性误差下降了71.53%。

根据式(10)和式(21)，求解不同差动系数下对应的非线性误差，并与差动系数加权法求解的差动系数进行对比。如图12所示，横坐标对应不同的差动加权系数，纵坐标表示不同差动系数处理的实验数据对应的非线性误差。三角形对应点为实验测量数据下的最小非线性误差所对应的差动加权系数，圆点为误差校正方法所求出的差动加权系数。

图12 实验数据非线性误差

图12结果表明，最小非线性误差为2.70%，对应的差动加权系数为3.825，使用误差校正法求解的差动加权系数为4.955，对应的非线性误差为2.79%，两点之间较为吻合。

为了进一步分析两点产生偏差的原因，分析了测量数据线性拟合的残差和对应的拟合多项式。线性拟合的残差可以表示为

εm=ΔCm-ym

(22)

式中：ΔCm为极板电容变化测量值数字量；ym为测量值数字量的线性拟合值(m=1,2)。

图13为实验数据线性拟合残差，横坐标表示载荷大小，纵坐标表示电容变化测量值数字量的线性拟合的残差。三角点实线表示CIN10的电容变化测量值数字量的线性拟合残差，虚线表示CIN10对应残差拟合多项式；圆点实线表示CIN11的测量电容变化数据的线性拟合残差，点划线表示CIN11对应的拟合多项式。

图13 实验数据线性拟合残差

图13表明，线性拟合残差未能与其拟合多项式重合，说明残差曲线不够光滑，这主要是在实验测量的过程中，由于摩擦、装载误差等原因产生的测量误差，对实验数据有一定的干扰，进而影响了对测量数据的误差校正，使得最小非线性误差的差动加权系数未能与误差校正法所求得差动加权系数完全重合。

4 结果讨论

(1)在差动式电容器结构中，差动电容两初始极距严格相等时，直接差动法可以消除差动电容表达式中的高阶项，有效降低非线性误差，而当加工、装配等误差存在时，初始极距不相等，此时直接差动法无法有效消除差动电容表达式中的高阶项。在仿真分析中，通过建立差动式电容器的极板初始极距不相等的差动电容模型，计算了2组仿真电容变化数据，与直接差动法相比，误差校正法有效降低了差动电容的非线性误差，减少了因为初始极距不相等所产生的非线性误差。仿真结果证明了所提出的模型准确性及校正方法的有效性。

(2)误差校正法得到的校正测量数据，其非线性误差为2.79%，相比直接差动法的非线性误差9.80%，非线性误差降低了71.53%。证明了误差校正法有效降低了差动电容器初始极距不同导致的非线性误差的影响。

(3)利用参数估计式求解得到的差动系数与最小非线性误差对应的差动系数有一定的偏差。线性拟合的残差与其拟合多项式未能完全重合，这是由于实验条件的局限性，文中所测得的实验数据可能受到了一些实验过程误差的干扰，使得测量数据有一些不规则的波动，从而对误差校正方法有一定的影响，使得校正方法得到的差动系数与最小非线性误差点有一定的偏差。

5 结束语

传统的差动式电容器在电容求解过程中，没有考虑到电容传感器加工、装配等导致差动电容器极板初始极距不一致的问题，无法有效降低差动电容的非线性误差。针对这一问题，本文提出了一种误差校正方法，与传统的直接差动法相比，该方法根据测量数据的线性拟合，引入差动加权系数，以抵消高阶项，降低非线性误差，实现了差动电容器在极距不一致情况下的测量数据误差校正。仿真分析证明了误差校正方法所建立的模型和校正方法的准确性。实验结果中，采用误差校正法对测量数据进行修正后，非线性误差为2.79%，相比直接差动法的非线性误差9.80%，非线性误差降低了71.53%，进一步验证了所提出的误差校正方法的有效性。所提出的误差校正方法，针对差动式平行极板变极距电容器，可以有效解决加工、装配误差导致的差动极板初始极距不同的问题，降低加工、装配误差所产生的非线性误差。