“圆”来如此——圆中典型易错题分析

文／陈 明

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，而且还具有旋转不变性，这些特性使得有关“圆”的问题复杂多变。有关“圆”的多变题型，也让同学们头疼不已，往往望“圆”兴叹。其实只要抓住点、线在圆中的基本位置关系，问题就可以迎刃而解。

一、一条弦对两条弧

例1若圆的一条弦长等于半径，弦所对的圆周角的度数是________。

【错误分析】同学们往往会忽略一条弦所对的弧有两条——劣弧和优弧。

【正确解答】弦AB将圆分为优弧和劣弧两段。

（1）如图1，点C在优弧上。

图1

（2）如图2，点C在劣弧上。

图2

综上可得，∠ACB=30°或150°。

二、弦与圆心的位置关系

例2在⊙O中，弦AB和弦AC构成的∠BAC=48°，M、N分别是AB和AC的中点，则∠MON的度数为________。

【错误分析】很多同学由于思维定式，认为只有“圆心在角内”这唯一的情形。

【正确解答】（1）当圆心在两条弦所夹角的内部时。

如图3，连接OM、ON。

图3

由垂径定理，得OM⊥AB，ON⊥AC。

∵∠BAC=48°，∴∠MON=132°。

（2）当圆心在两条弦所夹角的外部时。

如图4，连接OM、ON。

图4

由垂径定理，得OM⊥AB，ON⊥AC。

∵∠BAC=48°，∴∠MON=∠BAC=48°。

综上可得，∠MON=132°或48°。

三、圆心与圆内接三角形的位置关系

例3已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O半径为6，圆心O到底边BC的距离为2，则AB的长为________。

【错误分析】一些同学在解决此题时，忽略了圆心与三角形的相对位置存在多种情形，只考虑“圆心O在△ABC的内部”这一种情形。由已知条件可得，此题分为圆心O在△ABC的内部和外部两种情形。

【正确解答】（1）如图5，当圆心O在△ABC的内部时。

图5

连接AO并延长，交BC于点D，连接线段OB。

（2）如图6，当圆心O在△ABC的外部时。

图6

连接OA，交BC于点D，连接OB。

简约而不简单的“圆”，需要我们从多种角度去思考。因此，我们在以后的学习中要养成周全的解题思路，每得到一解还要多想想，有没有其他的情况。