追本溯源，变式拓展——对一道教材习题的“再加工”

文／尹雪蔓

数学题目很多，看似变化莫测，难以招架，其实不然。纵观历年的中考题，虽然年年有新题出现，但万变不离其宗，这个“宗”便是教材。

原题呈现（苏科版数学教材九年级上册第92页第10题）如图1，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D。若AB=10，AC=6，求BC、BD的长。

图1

【解析】连接AD。因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=∠ADB=90°。在Rt△ABC中，根据勾股定理可得BC=8。因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠BCD=45°。由圆周角性质可知∠ABD=∠ACD=45°，故∠BAD=45°，△ABD为等腰直角三角形，进而求得BD=5。

【点评】本题中的一个关键条件是CD为∠ACB的平分线，也成为我们尝试变式、拓展探究的条件。

【变式1】如图2，⊙O的直径AB为10，弦AC为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求弦CD的长。

图2

【解析】直接求CD有难度，可利用∠ACB的平分线这一条件，构造等腰直角三角形进行求解。

如图3，过点A作AE⊥CD于点E，易证∠ACD=45°，∴∠CAE=45°，∴AE=CE。

图3

在Rt△AEC中，AC=6，∴CE=AE=3。

在Rt△AED中，AD=5，∴DE=4。

∴CD=CE+DE=7。

【变式2】如图4，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，且AE⊥CD，BF⊥CD，求证：BF=AE+EF。

图4

【解析】易发现△BCF和△ACE都是等腰直角三角形，

可证BF=CF，AE=CE。

又∵CF=CE+EF，

∴BF=AE+EF。

【点评】在遇到线段间的和差关系问题时，我们常通过寻找相等的线段，将分散的线段转化到同一直线上求解。

【变式3】如图5，⊙O的直径AB为10，弦AC为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC于点E，求线段DE的长。

图5

【解析】易得∠DCE=45°，则△CED是等腰直角三角形。由【变式1】可知CD=7，在等腰直角△CED中，借助勾股定理得DE=7。

【点评】以上几种变式的推演主要是利用了角平分线的定义。而如果过点D作角的一边或两边的垂线，则可利用角平分线的性质，进行如下的探究尝试。

【变式4】如图5，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC于点E。猜想线段AC、BC、CE之间的数量关系，并加以证明。

【解析】由【变式3】可作一般猜想：AC+BC=2CE。

证明：如图6，过点D作DF⊥CA，交CA的延长线于点F。

图6

∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，

∴AD=BD。

又∵DE⊥BC，DF⊥CA，∴DE=DF，

∴Rt△AFD≌Rt△BED，

∴AF=BE。

易证四边形CEDF为正方形，

∴CF=CE，

∴AC+BC=AC+BE+CE=AC+AF+CE=CF+CE=2CE。

【变式5】如图5，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC于点E，猜想线段AC、BC、CD之间的数量关系，并加以证明。

【解析】从【变式1】的计算结果得知，AC+BC=14，而CD=7，可猜想AC+BC=CD。证明过程可依据【变式4】继续推演，在此不再赘述。