培养建模思想建构数学高品质课堂

摘要：建模思想是数学学科的一项核心素养，是联通数学理论和现实社会中实际应用的重要桥梁，更是培养学生抽象思维能力的主要手段之一，因此，如何在课堂教学中渗透数学建模思想，培养学生在实际应用中使用建模思想具有重要的研究意义。文章结合教学案例对如何在教学中循序渐进地渗透建模思想，培养建模能力进行分析。

关键词：高中数学;建模思想;核心素养

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-8918（2022）07-0074-04

数学建模思想不仅是一种降低数学知识理解难度的学习方法，同时也是一种高效的数学解题思路。在数学课堂中培养数学建模思想，首先要引导学生理清建模思想的主线，明确建模思想的应用场景，之后结合案例步骤培养学生循序渐进自主建模的能力，最后需要对建模思想的应用加以延伸，引导学生自主归纳举一反三，提升建模综合能力。

一、 感知价值，了解建模思想在高中思想教学中的意义

建模思想是高中数学中的一种重要思想，在高中数学教学中培养学生的建模思想能够极大地活化数学教学的实效，在提升学生解题效率的同时，发展学生的数学素养。

（一）有助于提升学生的数学解题效率

数学知识庞杂而晦涩，很多知识看似互不相干，其实它们彼此之间存在着千丝万缕的联系，在平时的数学教学中，教师要善于帮助学生完善认知体系，建构属于自己的认知框架，而数学思想无异于贯穿数学学习始终的红线，能将数学知识新知系统地贯穿起来，让学生在纷繁复杂的数学知识之间发现彼此的相通相融。模型意识更是学生数学学习进程中一种自发的对数学问题的升华，帮助学生培养数学模型意识，让学生在面对数学问题时，自觉将其内化为数学模型，使数学问题有了着力点，从而帮助学生轻松解决数学问题。

（二）有助于学生数学能力的提升

学生数学能力的发展不是一朝一夕之功，它需要学生在平时的数学问题的处理过程中不断积累，不断碰撞，在点滴之间升华而成。纵观优秀的学生，其对数学的认知绝非停留于问题的表象，也不会像其他学生那样，处理问题仅仅能够联想到简单的关联性知识。而这样一种优秀的数学品质需要学生具有缜密的思维与严谨的数学逻辑，对问题能有洞如观火的眼光，这就需要学生面对数学问题，能够站在更高的层次审视问题，从最本质的维度去剖析问题，这样才能高屋建瓴，让问题变得游刃有余。对此，唯有帮助学生形成对数学问题的本质认知，抓住数学问题的内在联想，建构起问题解决的自然框架。所以，培养学生的数学建模思想，使得学生抓住数学问题的本质联系，引导学生在面对新问题时自然产生正向迁移，从而使得数学问题得以高效解决。

（三）助力学生感知数学的内在奥秘

学生热爱数学，迷恋数学才会去主动探究数学，也只有这样才会逐渐体会到数学世界的奥妙，进而使其产生对数学世界的浓厚兴趣。如果我们在数学学习之中，零敲碎打、支离破碎的学习数学，不仅会让学生的数学解题效率大打折扣，弱化数学学习实效，更丝毫不会体验到数学学习的快乐，长此以往，则会导致学生厌倦数学，从内心深处产生对数学的抵制。而如果我们引导学生感悟数学的本质，通过数学思想厘清数学问题的本质，使得学生体会到数学的内在奥妙，则不仅能促进学生数学解题效率的提升，更能使得学生走进数学的内在，体会数学的奥妙，进而在数学问题的顺畅求解中产生对数学学科的浓厚情感，为学生以后进一步深入学习数学奠定坚实的基础。

二、 条分缕析，探析培养建模思想的主线

探析建模思想的主线旨在引领学生分析常用的数学建模思想，理解每一类的应用应该如何与建模思想相结合，最后掌握一种以不变应万变的建模方法。教师在课堂上要充分地发挥指引作用，对适用建模思想的情境條分缕析，助力学生掌握建模思想应用的方法论，能够在实际应用中灵活地运用所学知识对问题进行建模，达到快速解决的效果。

（一）几何与代数，建立联系

数形结合是一种重要的数学建模方法，通过代数的几何图像表达将抽象的数字、公式表达转换为直观可见的图形进行观察分析，同样也可以将比较复杂的图形表示转换为简洁的数学表达便于求解。因此，数形结合的建模思想是解决几何与代数问题的强力方法，通过数与形的转换建立图形和代数的数学联系，进而完成求解。

例如，在讲解“函数的单调性”这部分内容时会遇到两种常见的习题，一种是给出一个函数要求确定该函数在什么时刻会有最值，以及在不同区间范围内的函数取值变化规律;另一种则是给出一个图像，要求根据该图像中函数的变换规律确定该函数的代数表达。这一类型的题目就要用到数形结合进行求解，而其中图形之间转换的联系便是课堂上学过的导数相关知识。比如给出函数y=3x2+3，要求该函数的取值规律，首先对函数求导得到y′=6x，画出y′的图像可以看到原函数的导数在x<0时，y轴小于0，而x>0时，y轴大于0，从而可以得出原函数在x<0时递减，当x=0时有最小值，当x>0时函数无限递增。同理，对原函数继续求导可以进一步分析原函数递减和递增过程中的规律。

由此可见，在建立数形结合的数学模型时最重要的就是找到数与形之间的数学关系，通过这一数学关系建立图形和代数表达之间的逻辑联系，从而可以得到模型建立的思路。因此，教师在课堂教学中要指导学生明确不同图形和代数之间的关联，在脑海中建立图形和代数之间的桥梁，这样才能迅速地建立数学模型完成求解。

（二）统计与概率，融合应用

统计与概率的知识是与实际生活联系十分紧密的内容，日常生活中许多需要决策的必然性和可行性都是相关知识的运用。同时，这一部分的教学内容也是多种概率模型为基础。因此，教师在教学中应当结合实际应用场景引导学生建立起相应的概率与统计数学模型，将细碎的知识点融入应用场景中帮助学生完成相关知识的归纳梳理，渗透数学建模思想。

例如，在讲解概率模型时以生活当中的两种实例为切入点引导学生展开探究建立概率模型。第一种为常见的掷骰子游戏，总的可能出现的情况是固定的，让学生对多次投掷的结果进行统计分析。第二种实例为商场常见的转盘抽奖活动，转动转盘当转盘停止后指针所指区域对应所抽到的奖项，这种实例让学生用转笔的方式探究，转动铅笔最后统计分析笔尖所指向的区域，通过统计分析学生发现在第一种探究中无论做多少次实验会出现的情况总共只有六种，并且对统计的结果显示六种情况出现的次数几乎相等。在第二种探究结果中发现笔尖所指向的方向完全不固定，去除人眼所能观察统计的误差可以存在无限种可能，但是通过统计发现指向指定区域的数量与该扇形区域的角度相关。通过以上分析便可以引领学生对两种概率概模型进行数学建模，符合第一种规律的则是古典概型，第二种则是几何概型。

可见，在统计与概率相关知识的模型建构中，要在课本教学内容的基础上融合实际应用中的相关内容，以实际生活当中的应用为课堂教学的切入点，引导学生通过实验探究得出相应的数学规律，理解概率模型的应用场景。因此，要想在概率统计相关知识教学中渗透数学建模思想，教师要充分地融合实际应用，在应用场景中完成模型建构。

三、 循序渐进，探析培养建模思想的步骤

建模思想的培养不能是一蹴而就，而应该有规律，循序渐进地进行渗透，这样才能帮助学生在潜移默化中培植建模思想。为此，教师首先要让学生了解建模思想的主线，并且能够通过实际应用和实践探索验证对模型的正确性进行验证，在此基础上引导学生对模型进行反思内化，解释为什么要这样建立模型，这样才能够真正理解模型建构背后的数学原理，为学生建模思想的形成积累基础，在点滴之间铸就学生对数学问题的本质认知，在日积月累中形成对数学问题的本质认识。

（一）验证猜想，建立模型

建模思想培养的第一步必然是模型的建立，但是不能為了建立模型而建立，把对某一猜想的验证作为目的，以模型建构作为手段去验证有着更自然而然的效果。因此，教师应当结合教学内容设置相应的问题，引导学生自主思考并且提出猜想假设，之后再带领学生通过模型建构的方法进行验证，在这一过程中自然而然地完成了建模思想的渗透。

例如，在讲解“等差数列前N项和”相关的知识时，首先提出问题：给出两个数列如下：1，3，5，7，9…;3，8，13，18，23…，请写出各数列的第10，100项各是多少，并求出各数列的前5，10，100项之和分别是多少，最后分析前N项和是多少。学生首先观察两个数列的规律确定其均是等差数列，公差分别为2和5，并由此规律推算出两数列的第10和100项分别为19，199和48，498。之后要对数列的前10，100和N项进行求和计算，学生的第一种方法是逐个累加，但是当计算前100项之和时就发现运算量太大，进一步地对数列各项的规律进行分析发现3+23=8+18，通过这一规律将大量的加法运算转换为乘法运算，得到前N项和计算模型S=N×（a1+aN）÷2，之后通过该模型多次计算进行验证。

学生是学习的主体，在建模思想的渗透中不能忽视学生的主观能动作用，要充分地给予学生主动探究的机会，让其通过自主探究得出数学规律并对之进行数学建模，然后用自主建构的模型进行猜想验证，这样可以让学生更清晰地感受到建模思想在数学运用中的便捷性，加深对数学知识的理解，在这一过程中获得珍贵的思考和建模体验。

（二）反思内化，解释模型

对一个新的知识点或者一种新的数学模型不经过反思内化就很难将其彻底转化为自己的东西，难以做到灵活运用。因此，教师在教学以及数学模型建构培养过程中应当加强反思内化的教学强度，鼓励学生对所学内容和模型建构进行深入的思考和消化吸收，深入理解模型建构中各知识点之间的关联，通过对模型加以解释以加深理解。

例如，在讲解“直线的方程”这一小节时，对同一直线在同一直角坐标系中给出了三种不同的模型建构方法，分别是点斜式、两点式、一般式。为加深学生对这三种模型描述方式的理解，要求学生对三种模型进行解释，搞清楚其中各个参数的含义。其中点斜式模型的数学表达式为y-y1=k（x-x1），在这一模型中k表示直线的斜率，（x，y）和（x1，y1）分别表示两个位于线上的点，对这一模型进行深入反思得出，该模型用到了斜率的定义进行表达，斜率的定义为线上两个点之间纵坐标之差比上横坐标之差，将点斜式模型的表达式左右两边各除以（x-x1）则得到了k的表达式。同理要求学生对另外两种模型分别进行反思和解释以加深理解。

学生的反思能力是学生综合素养的重要衡量。学生的反思更能促进学生认知结构的进一步完善，在学生建模思想的形成过程中，教师要不断引导学生针对自己的认知反思，从而针对自己的认识不断给予纠正，从而助推学生形成对数学建模的正确认知。在上述案例教学中，教师通过解释模型的方法引导学生对已学的模型进行反思内化，这无疑也是一种十分有效的思路，在解释的过程中学生能够更加深入地去反思模型中为什么是这样表达，理解各个表达式的内部原理，将其彻底的内化为自己的本领。

四、 匠心独运，探析培养建模思想的途径

建模思想的形成不仅需要教师帮助学生逐步形成，更应通过教师的适时引导，让学生及时消化吸收，并学会运用，在具体的实践运用中感知和内化。为此，教师在完成建模思想主线的探究以及建模思想的渗透之后，需要有一系列的配套途径帮助学生巩固数学建模的应用，巩固内化之后才能让建模思想在学生脑海中生根发芽。变式练习以及自主归纳的方法是巩固学生建模能力的高效手段。

（一）变式练习，引导举一反三

解决问题是检验对所学知识掌握程度的最有效的办法，同时也是帮助学生巩固建模思想一个主要途径。因此，教师要注重这一方式的使用，在课堂教学中联系任务，引导学生在练习中举一反三，灵活地利用建模思想对问题进行高效求解。

例如，有问题如下：若函数f（x）=（x+a）（x-4）是偶函数，则a=？这道题常规的解法是根据偶函数定义f（x）=f（-x）列出（-x+a）（-x-4）=（x+a）（x-4）求解得出a=4。在此基础上引导学生继续深入思考偶函数的定义，并将学生的思路向数形结合模型以及函数导数模型上迁移，尝试利用这两种已经学过的模型求解。通过数形结合模型，学生发现偶函数关于y轴对称，因此必然会在x=0处取得极值点，在联系到函数求导的模型可以推断出f（x）的导数f′（x）必然在x=0出有零值，因此列出f′（0）=2×0+a-4=0，同样得出a=4。

可见，在解决问题的过程中，教师要引导学生发散思维，对常见的解题思路进行变式，引申到相关的数学模型，进而轻松解决思想问题，这样可以达到很好的变式练习，联系前后所学助力学生加深对数学模型理解的作用，更让学生在这样的训练中升华对建模思想的认知。

（二）自主归纳，形成知识体系

培养建模思想的另一个重要途径是自主归纳，仅靠教師的讲解终究是空中楼阁，只有引导学生自主归纳，将建模的主线和建模的步骤融会贯通，理解其中的知识内涵，形成完善的知识体系才能灵活地运用建模思想，也只有这样，学生才会将建模思想灵活运用于思想解题之中。

例如，在讲解“平面向量”相关知识时，对向量平行和垂直关系的性质需要学生加以归纳，形成向量位置关系的知识体系建构起数学模型。首先是对两个向量a和b平行的情况进行归纳，如果a和b的坐标表示分别为（x1，y1），（x2，y2）那么在a和b平行的情况下可以得出x1y2-x2y1=0。对a和b垂直的情况可以得出a点乘b等于0，等价于x1x2+y1y2=0。从而完成了向量位置关系的知识体系构建。

可见，对知识点进行自主归纳不仅是一种巩固所学形成知识体系的方法，同时也是一种有效建立数学模型的手段。通过对知识的自主归纳理清其间的数学知识脉络，这样在应用解题时就能更加得心应手，掌握数学建模的精髓。

综上所述，数学建模不仅是一种重要的数学思想，同时也是一种高效的数学学习和解题方法。在高中数学教学中，教师要充分认识建模思想在学生学习进程中的重要作用，在培养数学建模思想时要有针对性地展开主线教学，对数学建模的步骤要细致讲解，并鼓励学生自主归纳和反思总结，提高学生的数学建模及应用能力。

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作者简介：上官志薇（1983～），女，汉族，江苏淮安人，江苏省淮阴中学，研究方向：高中数学高效课堂的研究。