浅谈量子力学中的一些秘密

梁铎强 刘芳远

（2019年度广西工业职业技术学院教科研项目《以技能比赛为导向的建筑室内设计专业课程体系建设研究》

项目合同编号：桂工业院科研2019015KY015）

（2021年度广西高校中青年教师科研基础能力提升项目《虚拟现实技术在广西少数民族室内设计中的应用研究》

项目合同编号：2021KY1264）

摘要：本文总结了量子力学课本或课堂很少提到但初学者应该知道的知识点，让量子力学学习者能避开这些知识盲点。

关键词：量子力学;秘密;教学

一、前言

客观说来，从头开始学习量子力学确实是一种非常不同的学习经历。通常来说，那些没有跨过某个障碍的学生会感到痛苦和失望。而有些人很快就完成了启动的过程，感受到了量子力学的内在逻辑和美丽，在学习过程中得到了积极的反馈，把学习当作一种享受。然而，很多学生很长一段时间都无法完成这一转变，总是在琐碎、困惑和挫折的泥泞中挣扎。工科学生学习量子力学时，容易进入到一些误区，是因为存在量子力学课本很少提到但初学者应该知道的知识点。为此，本文介绍了本文总结了这些知识点，让量子力学学习者能顺利入门。

二、量子力学中的一些秘密

1.波粒二象性的本质

波粒二象性作为量子力学的基础，就是让人们有权利随时使用波或粒子去解释问题。比如势垒贯穿，没法利用粒子的观点，那就用波解释，波可以衍射，此时波只有频率，没有能量。比如倍频晶体，刚开始把激光看作是粒子，为了遵守动量守恒和能量守恒，碰撞电子后反射回来。反射回来后把光子看作是波，这波和后来的波叠加，叠加后的波看作是粒子，所以能量加倍，频率加倍。总之，玻璃二象性让人们有权利是使用波还是粒子来解释，随时可以切换。

光的波粒性质并不代表光的真实形式，从不同的视角得出不同的结论。例如：对于金字塔，从前面看它是一个三角形，但从上面看它像一个四边形。这两种形状都是金字塔的一部分，但由于视角不同，答案也不同。然而，三角形和四边形都不能说是一个或两个形状都是金字塔。事实上，金字塔的形状远比这两种形状复杂。光也是如此。波粒特性是从光的不同角度获得的特性，但它们不能表示光的实际形状。

如果按照经典物理学的假设，“波粒二象性”是違反科学的。但是实验结果是存在的，所以抛弃另一个重要的“常识”。这可能是一个难以接受的结论：粒子是一个伪概念。粒子的概念并不存在，测量并没有导致严格意义上的波函数崩溃，而是概率峰值崩溃到一个范围内，给了“粒子”的错觉。粒子的所有行为都可以用一个特定的波函数值来描述。

在研究未知事物时，最忌讳的是强行使用已知的事物来连接和理解，正如盲人摸象。在理解微观粒子（光子、原子和电子）的方式与盲人触摸大象没有什么不同。因此，无论如何理解“水波/声波”是一种粒子，或“小球”以波的形式反射和衍射，它都是不可理解的。从波粒二象性的角度理解微观事物（为了避免语义学引起的误解，它不被称为微观粒子），无非是：1。事物是一个独立的单位，由许多事物组成的群体不是连续的。2.这种物质的许多组表现出衍射、干涉和其它性质。不需要理解“为什么大象的耳朵像扇子”，只要记住“大象的耳朵像扇子”这样的信息就可以帮助识别大象。

2.量子力学的形式

相对波动力学，矩阵力学更能反应量子力学的本质，是因为矩阵力学更能体现对易关系。波动力学的优势在于薛定谔方程容易被人接受和使用。路径积分对最优化结果的取值有很大关联，而研究量子力学需要掌握能量跃变的机理，则需要路径积分作为理论指导。这样子可以知道量子运动的概率，使得整个量子的探测更加的准确。海森堡图的优点是可以写出动力学方程，而关于状态向量的讨论并不多。薛定谔图的优点是只需要讨论状态向量，所有的机械量都可以以确定性算子的形式参与计算。至于交互场景，将哈密顿量分成两部分的操作，对于近似计算，首选该方法。

事实上，量子力学的形式还很多。九种形式的非相对论量子力学是波形、矩阵形式、路径积分形式、相空间形式、密度矩阵形式、二次量子化形式、变分形式、导频波形和哈密顿-雅可比形式。文中还介绍了多世界解释理论和交易解释理论。总的来说，这些形式在数学上和概念上是不同的，但它们对实验结果做出了完全相同的预测。

3.量子场论的脉络

量子场论的特征是场的量子化、诺特定律、跃迁概率。场的量子化需要泊松括号;诺特定理要求洛伦兹群、庞加莱群等群;跃迁概率需要路径积分、S矩阵、重整化。具体的脉络如下。1） 洛伦兹变换场最明显的特征。这也是狭义相对论的基础。为了反映量子力学的相对论效应，可以引入洛伦兹变换。2） 拉普拉斯测度与拉普拉斯测度，有一切。因为在微观物理学中，只有动能和势能，所以只有动能和势能的转换，当然也包括自旋的能量转换（但它反映在角动量中）。所以动能减去势能一定是一个值得关注的量。哈密顿量和拉普拉斯值是等价的，它只不过是一种表示变换（勒让德变换），使自变量成为坐标和动量。3） 最小作用原理可以导出规则的量子化条件。当然，有很多方法可以导出正则量化条件。4） 泊松括号正则量子化条件的数学形式。5）场的量子化是最彻底的量子化，其中粒子可以看作是场的激发。粒子对应于场。由于相对论的时空是连续的，而量子力学的时空是量子化的，这就导致了所谓的“相对论与量子力学不相容”的悖论。当前的解决方案是重新规范化。6） 规范场理论所有的作用都是粒子场的作用。物质的组成是费米子场，交换作用是玻色子场。玻色子和费米子的跃迁是由鬼场完成的。许多效应是对称的，所以规范场理论更多的是李群、置换群等，它们反过来又使用流形的知识（因为李群是一种特殊的流形）。7） 粒子与粒子的作用是场的作用，与宏观碰撞相对应。基本量子力学介绍散射并讨论粒子之间的相互作用。它让人觉得散射的效果不是很好。然而，实际上，量子场论分散了一切。8） 散射量子场论散射，基于时空和谐，基于场的量子化。散射分为弹性散射和非弹性散射。量子场论的优点在于非弹性散射。9） S矩阵反映了散射结果的矩阵，可用于计算转移概率和选择规则。到目前为止，量子场论的目的已经实现。推导S矩阵的方法可以是正则量化方法和路径积分方法。前者可以与经典方法相比，后者更自然（得益于费曼非凡的思维）。10） 复杂的计算量子场论的计算非常复杂，从四维时空（因此引入了Dalombot算符）、微扰（多体问题）、非线性碰撞（自能、负能、跃迁）综合而来。因此，目前只能计算一些简单的电磁场，其它场的影响不大。

4.量子力学的教学

在教学过程中，优秀教师会注重现象描述和理论分析。典型的方法是从简单具体的例子中得出结论，然后对结论进行归纳，指出其适用范围，并尝试用简单的高等数学进行计算。例如，为了建立薛定谔方程，首先寻求自由粒子的状态函数是如何随时间演化的，然后根据该规则对其进行推广。注重基本的数学推导，发挥数学思维在物理思维中的示范作用。仍然需要必要的数学证明，必须相信数学推理的正确性。例如，量子力学的一些基本原理的介绍，如量子力学的算符规则的介绍，在一般教科书中是以假设的形式介绍的，这使学生感到非常牵强，从而对整个量子力学系统产生负面影响。对于这些简单且非常关键的知识点，必须使用基本的数学推导。另一个例子是求解无限深势阱的问题。由于求解的数学方法和过程相对简单，因此有必要掌握整个过程，并获得其归一化波函数和相应的分离能量值。

牛顿力学在内的经典力学是量子力学的极限，优秀的教师找到尽可能多的“经典对应”将有助于正确理解量子力学的物理图景。光的粒子性质由光电效应、康普顿散射和光子的引力红移（或紫移）解释，光的粒子性质由光的单缝（双缝）衍射（干涉）和x射线在晶体表面的衍射解释。波的性质，学生可以轻松掌握光的波粒二象性;从统一性原理理解微观粒子和光子也具有波粒二象性;然后通过类比光的行为来理解微观粒子的行为。例如，类似于光子的行为，由描述光子（电磁场）的波函数E的叠加而来。同时，阐明了量子力学与经典力学在概念、概念和方法上的区别和联系。例如，量子理论的创立破坏了牛顿力学的确定性观点，取而代之的是统计学观点。例如，与经典力学不同，经典力学使用势向量和速度来描述物体的状态，量子力学使用波函数来描述系统的状态。经典力学用牛顿第二定律来描述状态变化，而量子力学则用薛定谔方程来描述状态变化。

在讲解过程中，优秀的教师会尽量联系实际，帮助学生形象思维。例如，“物质波”概念的辅助图像可以取自电子双缝衍射图像，并且电子波类似于光波。由于学生熟悉光的波粒二象性，很容易将物质波视为具体的。然后，光波以各种可能的方式通过双缝到达观察屏幕，模拟电子波的行为，以了解屏幕上电子波强度的强度分布（或概率分布）。

5.量子力学的教材

通常，所有初等量子力学教科书由三个基本部分组成。第一部分是關于粒子的波粒二象性。本部分主要分析人类是如何认识到微观粒子具有波粒二象性的，以便初学者理解为什么微观粒子的运动规律不同于宏观物体。第二部分是量子力学的基本原理。这是整本书的核心内容。学习这一部分，要注意把握原则的表现形式和内容。这些原理的内容包括：微观状态原理、力学量原理、运动方程原理和各向同性原理。原则的表达形式是指上述原则可以用不同的表述和场景来描述。主要是为了弄清楚什么是外观以及为什么会有不同的外观。第三部分是运用基本原理解决物理实际问题的基本方法。一般来说，量子力学解决两类问题，即粒子在有限空间中的运动和无限空间中的运动。前者是一个束缚态问题。主要是平稳问题;后者是一个散射问题。上述三个部分的内容具有内在联系。粒子的波粒二象性是事实的基础，量子力学的基本原理是核心，如何学会运用基本原理解决基础物理中的实际问题是关键。如果能对这三个部分有一个连贯的理解，并能用简洁的语言准确地描述它们，那么就可以说掌握了量子力学的整体框架。高等量子力学和量子场论的教材有类似情况，限于篇幅，就不再一一赘述。

6.其它一些秘密

1） 薛定谔方程为何是复PDE

从物理上看，波函数必定是以e为底的负指数函数，否则无法做到驻波或定态，这就间接造成薛定谔方程是复PDE;数学上的解释（比如什么傅里叶变换，线性共轭算符）是很牵强的。

2） 对称波函数和反对称波函数

由于波函数是线性的，加减都表示同一个态，所以对称函数和反对称函数的出现就是为了分别反映玻色子和费米子的波函数的对称性和反对称性的。当然，也不能绝对化，比如不在同一轨道上的两个电子，就不用考虑泡利不相容，那么他们照样存在对称性。

3）量子力学的基本特征

量子力学的基本特征，在力学量是量子化，在操作上是对易关系。宏观物理，操作基本是对易的。而微观物理，操作基本是不对易的。所以量子化条件就是泊松括号不为0。这也可以从群论得出解释。

4）高等量子力学的特征

高等量子力学主要是相对论性量子力学和角动量理论，时空是等效的，所以需要是达朗伯特算子。

5） 测量假设

或者平均值假设。测量假设，或者平均值假设，更多是是统计物理的问题。真正的测量，目前还没有从实验或者理论去解释。

6）双缝干涉

双缝干涉中，缝宽以及双缝距离其实都是有条件的，双缝距离不能大于光子的相干长度。缝宽不能大于光的波长。

三、结论

实践证明，了解量子力学课本很少提到但初学者应该知道的知识点，会更好入门之。经过讨论可以得出如下结论。

1）物理例子非常重要（毕竟是在研究量子力学，而不是泛函分析的应用）。主体提到的“对波粒二象性的理解”是不必要的，人们不能像理解宏观规律那样直观地“理解”它。

2）另外两点“记住”知识，会更容易地走出思考的死胡同：波浪的定义不是基于水波或机械波。波的精确定义来自光波之类的东西。所以水波有点像光在波浪中的行为，而不是像水波一样波动。（这是一个假设，但相对合理）微观粒子可能不像想象的那样一个接一个。如果不得不说的话，它是一个虚无的概率，浮动和浮动。就像一朵代表概率的云。它的质量/电荷可能出现在云中的任何地方。只有当去寻找它时，概率才被确定。云已经缩小成更小的云（在通常的概念中，它看起来很像一个微观粒子：一个小实心球）。当小球聚集成一堆时，可能很难理解它们的波动性，但是应该能够理解很多很多波浪状的水/云，它们一起形成一个巨大的波浪状水/云。

3） 所谓的波粒二象性是一种性质。用外行的话说，它既可以表现波的特性，也可以表现粒子的特性。当研究事物时，通过不同的建模方法和实验方法，事物会表现出不同的性质。

参考文献

[1]张思宁.量子化质量视域下的量子力学理论与实验[J].辽宁大学学报（自然科学版），2021，48（04）：365-370.

[2]杨师杰.关于量子力学原理的注记[J].大学物理，2021，40（11）：1-4+20.