基于问题的学生表征能力培养策略探究

陈姗姗

摘  要：高中数学学习的过程就是数学对象多元表征的过程，表征能力的培养有利于学生更深刻地理解数学对象. 而“复数的几何意义”就是复数多元表征的体现，通过问题情境设置问题的基础性、适应性、层次性及开放性探究，培养学生对复数的表征能力.

关键词：问题;表征能力;复数;几何意义

数学问题解决的典型特征是解题者对问题生成了适宜的表征. 适宜的表征可以缩减运算量、缩短思维过程. 高中数学学习的过程就是对数学对象进行多元表征的过程. 多元表征主要包括语言表征、符号表征和图形表征. 如果学生能够对同一对象进行不同表征，不仅可以加深学生对数学对象的理解，而且有利于数学知识发生迁移，使学生在不同的问题情境中均能熟练应用数学知识.

“复数的几何意義”是人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册第7章第7.1.2节的内容，是复数的概念的第二节课，在复数内容中起着承上启下的作用，是实现数与形融合的关键点. 学生不太了解数系扩充的“规则”，也不适应复数代数形式是两项的和，更难理解复数的几何意义. 通过问题设置帮助学生对复数进行多元表征，帮助学生从数与形的角度理解复数的概念，实现从数到形的自然过渡，培养学生对数学对象多元表征的能力.

一、问题的基础性：表征能力的起始点

教师提出问题，学生根据问题进行思考，避免学生学习思维的盲目性. 作为课堂教学的第一个问题，问题不能太深，这是培养学生表征能力的起始问题，要体现基础性，问题的设置要在学生思维的最近发展区，要让大部分学生都能理解并表征.

复数的几何意义是在学习复数的概念之后的一节课，先行组织者是复数的代数形式，所以课堂教学要从复数的概念入手，让学生在学习新知前对旧知进行回忆.

问题1：数系的扩充过程是怎样的？为什么要引入虚数单位[i]？

问题2：复数的代数形式是什么？满足实数、虚数、纯虚数的条件分别是什么？

问题3：两个复数相等的条件是什么？

问题1、问题2和问题3是回忆旧知，吸引学生的注意力，完善学生已有的认知结构，为新课的学习做准备. 问题1帮助学生从语言表征的角度对数系的扩充进行梳理，问题2则是帮助学生从符号表征的角度对复数的代数形式进行回顾. 两个问题都是基础问题，目的是让每名学生都能解决，为接下来复数的几何意义的学习奠定基础. 学生不仅要会用语言表征复数的概念及虚数单位，还要会用符号表征进行描述. 教师可以根据学生的回答在黑板上板书符号表征，让学生清楚语言表征与符号表征一一对应. 部分学生可能会对第二个问题的后半部分即“满足实数、虚数、纯虚数的条件分别是什么？”感到困难. 尤其是当一个数是虚数时，对虚部含不含虚数单位[i]经常混淆. 其主要原因是学生对复数的符号表征没有理解透彻. 因此，教师不仅要加强对复数的语言表征，也要强调对复数的符号表征. 问题3说明复数与有序实数对之间是一一对应的关系，为复数与复平面内的点的对应做铺垫.

二、问题的适宜性：表征能力的切入点

旧知回顾的问题设置基本都很基础，但是新知探究过程中的每个问题对学生来说都是新的. 因此，新知探究过程中的问题要尊重学生的认知规律，既能引起认知冲突，激发学生学习新知的欲望，又不会增加学生的畏难情绪.

基础教育阶段的学生既不能快速理解复数的几何意义，又会感觉到虚数单位的引入有点突兀，再加上复数的代数形式与学生之前学习过的数相差甚远，所以对复数进行几何表征，学生理解起来非常困难. 因此，新知探究的第一个问题就是学生对复数进行图形表征的切入点. 要充分考虑到问题的适宜性，必须充分考虑到学生已有的认知结构和学习情绪.

问题4：根据复数相等的定义，任何一个复数[z=][a+bi a，b∈R]都可以由一个有序实数对[a，b]唯一确定，反之也对. 由此你能想到复数的几何表示方法吗？

问题4并不需要学生具体回答，而是作为一个指引性问题，让学生由实数的几何表征类比到复数的几何表征，这是复数从语言表征、符号表征到几何表征的切入点. 接着，教师再抛出具体问题激发学生的探究兴趣，让学生带着问题阅读教材.

问题5：复平面是如何定义的？

问题6：复数与复平面内的点的关系如何？

问题5和问题6是学生自行阅读教材，类比实数的几何表征. 在建立复平面后，学生较容易理解复数与复平面内的点之间的关系. 学生已经具备较丰富的类比活动经验，所以教师抛出问题，通过类比思想让学生由对实数的认知引发对复数的几何意义的初步思考. 让学生带着问题阅读教材，既培养了学生自主学习的能力，又留足时间让学生独立思考. 把复数和有序实数对对应起来难度不大，因为学生学习过实数与数轴上的点之间的关系. 但是再把复数和平面直角坐标系中的点对应起来，学生会有理解困难，教师要多引导学生通过实数与数轴的对应关系进行类比.

这两个问题是复数的图形表征的切入点，用复平面内的点表示复数就是复数的图形表征形式之一——几何表征. 只要学生能够接受复数的点的表示形式，那么接下来另一种图形表征——向量表征也就显得顺理成章了.

三、问题的层次性：表征能力的固着点

在用点表示复数（也就是复数的几何表征）之后，学生对复数的几何意义已经有了初步的认识，理解了复数与实数一样也有几何意义，区别在于实数的几何意义是与数轴上的点一一对应，而复数不仅与复平面内的点一一对应，还与向量一一对应. 因此，问题的设置要从数到点再到向量，这样具有层次性，也是培养学生表征能力的知识固着点. 所谓知识固着点，是指对学习新知识起支持作用的原有知识，或者说是能使所获得的新知识被固定在认知结构中某一部位的那些知识.

问题7：在平面直角坐标系中，每个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的. 你能用平面向量来表示复数吗？

通过问题7让学生更加清晰地理解复平面内的点与复数之间的对应关系. 教学中，用GeoGebra软件对点的变化与复数的变化进行动态演示，培养学生的直观想象素养. 学生根据教师的提问一边作图一边思考，可以很自然地发现复数与向量之间也是一一对应的关系. 在这一探究过程中，学生根据已经学习过的知识“复数与点以及点与向量之间的关系”逐步顺应、同化复数的另一种几何意义，即复数的向量表征. 从复数到有序实数对再到平面直角坐标系中的点，复数问题几何化逐步呈现，过渡自然，学生理解起来也不难，教学过程显得特别自然. 从问题的层次性入手，找到了培养学生表征能力的固着点.

四、问题的开放性：表征能力的发散点

数学学习的本质之一就是让知识发生迁移，学生能够以点带面地解决问题，能够在不同的情境中抽象出数学问题并解决. 因此，问题的设置不能太固化，教师要适当设置開放性问题. 开放性问题对学生的思维能力要求较高，要求学生能够熟练转化语言表征、符号表征和图形表征，在多元表征中深化对知识的理解. 因此，问题的开放性是表征能力的发散点，只有在开放性问题中，学生的思维才会更加活跃，对数学对象的表征才会更发散.

问题8：复数的几何意义是什么？

问题9：通过本节课你学到了哪些数学思想？

传统的课堂小结要么是罗列知识点，要么是思维导图. 事实上，学生通过阅读教材是可以获得这样的小结的. 而教师的作用则是引导学生跳出教材看教材. 也就是说，教师要引导学生读懂教材背后的数学思想. 要提高小结的教学立意，教师应该围绕本节课的内容及其反映的数学思想方法，以知识的发生、发展过程为线索展开，通过小结使学生头脑中形成关于本节课内容的一个清晰的知识结构（包括相关知识的联系）. 问题8引导学生对复数的三种表征进行归纳，开放程度较高，是学生表征能力的发散点. 问题9的开放程度高于问题8，对学生的思维能力要求更高. 很显然，本节课中涉及的数学思想是数形结合思想和类比思想，要通过类比实数的几何意义探究复数的几何意义，类比复数与点的关系、点与向量的关系探究复数与向量的关系. 另外，从复数到点再到向量是一个从数到形的过程，体现了数形结合的数学思想.

复数的学习过程就是复数的代数形式与复平面内的点、向量之间相互转化的过程，也就是对复数进行多元表征的过程. 不同的表征对应复数的不同研究角度，单一表征不利于学生对复数的理解，也无法使学生体会到复数引入的合理性与必要性. 对此，在学生一时难以接受多元表征的情况下，教师应该基于问题教学培养学生的表征能力，以达到知识的融会贯通.

参考文献：

[1]姜云异. 提升高中学生数学多元表征能力的教学策略[J]. 高考，2017（12）：76.

[2]鲍建生，周超. 数学学习的心理基础与过程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

[3]章建跃. 数学教育随想录（上卷）[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.