二维非交换李代数的低维表示

曹新昌，胡志广

（天津师范大学数学科学学院，天津 300387）

1 引言及主要引理

李代数表示是李代数研究领域中一个比较重要的内容.早在1935年，Ado证明了任意有限维复李代数存在忠实的有限维表示，最新的讨论可见文献[1].对于复半单李代数，其有限维表示完全可约，且不可约表示由最高权确定[2].文献[3]讨论了约化李代数的最小维忠实表示.文献[4-5]研究了可解李代数的表示.文献[6-7]讨论了特殊幂零李代数的最小维忠实表示和低维李代数的表示.文献[8]考虑李代数表示的反问题，证明了在半单的条件下，具有等价表示的李代数是同构的.文献[9]给出了实单李代数的不可约表示存在不变双线性型的充要条件.

二维非交换李代数是最简单的非交换可解李代数.一般的非幂零李代数一定包含二维非交换子代数.在复半单李代数的分类中，sl（2，C）的表示发挥了重要的作用.本文研究二维非交换李代数的忠实表示分类，利用群在集合上作用的轨道分类，给出了四维复表示的完全分类.

定义[2]设L为一个复李代数，V、W是C上的线性空间.若ρ是L到gl（V）的一个同态，则称（ρ，V）为L的表示.设（ρ1，V）和（ρ2，W）是L的2个表示，若存在线性空间的同构f：V→W，使得f（ρ1（x））=ρ2（f（x）），∀x∈L，则称表示（ρ1，V）和（ρ2，W）等价.

使用矩阵语言，设ρi（L）⊂gl（n，C）（i=1、2）为L的2个矩阵表示，则ρ1（L）和ρ2（L）是等价的，当且仅当存在可逆矩阵T，使得Tρ1（x）T-1=ρ2（x），∀x∈L.因此，L的n维忠实表示的分类，等价于gl（n，C）中同构于L的子代数在gl（n，C）的内自同构下的分类.

设L为一个二维非交换李代数，取x、y为L的满足[x，y]=x的一组基.设（ρ，V）为L的一个n维忠实复表示，则在V的一组基下，ρ（L）为gl（n，C）中的二维线性李代数.又因[ρ（x），ρ（y）]=ρ（x），可知ρ（x）幂零.故可选取V的一组基，使得ρ（x）的矩阵为Jordan矩阵diag（J（0，n1），J（0，n2），…，J（0，ns）），其中n1≥n2≥…≥ns，且n1+n2+…+ns=n.

由“李代数由结构常数确定”易知如下引理成立.

引理设X、Y1、Y2∈gl（n，C），满足[X，Yi]=X，令Li=span{X，Yi}，i=1、2，则L1与L2等价，当且仅当存在可逆矩阵T，使得TXT-1=X，TY1T-1=Y2.

推论1设X、Y为gl（n，C）中满足[X，Y]=X的2个矩阵，则∀λ∈C，存在可逆矩阵T，使得TXT-1=X且T（Y-λX）T-1=Y.

给定幂零矩阵X∈gl（n，C），令G={T∈GL（n，C）|TXT-1=X}，易知G为GL（n，C）的子群.令MX={Y∈gl（n，C）|[X，Y]=X}，则由（T，ξ）→TξT-1定义了群G在集合MX上的一个作用.因而，求表示的分类便转化为求该作用下轨道的分类.文献[10]用类似的方法求gl（3，R）中的子代数，实际上给出了L的三维复忠实表示的分类.由于计算的复杂性，本文仅给出L的四维复忠实表示的完全分类.

在复数域C上定义“字典排序”：a、b、c、d∈R，a+bi≺c+di，当且仅当a

2 二维及三维表示的分类

定理1设L⊂gl（2，C）为二维非交换李代数，X、Y为L的满足[X，Y]=X的一组基，则在内自同构下有

3 四维表示的分类

定理3设L⊂gl（4，C）为二维非交换李代数，X、Y为L的满足[X，Y]=X的一组基，则在内自同构下有

其中λ1≺λ2.

其中λ2≺λ3.

证明因为X为幂零矩阵，则在相似意义下有X=X1、X2、X3或X4，下面分情况讨论.

（1）若X=X1，由[X，Y]=X可得

对以上形式相同的结果进行合并，不难得到定理中的各种情形.根据相似的条件，通过简单计算可知，上述矩阵生成的李代数均不等价.

推论2在定理3的所有分类中，情形（1）不可分解，情形（2）的①和②不可分解，情形（3）的①和②不可分解，情形（4）的①、②、③和④不可分解，其他表示均可分解.