函数巧同构 导数妙应用

⦿东营市第一中学 张琳琳

1 引言

同构意识是破解一些相关数学问题比较常用的一类解题意识与技巧.特别在解决一些函数与方程、不等式等相关问题时，结合相关关系式进行合理转化或变形，提取出其中相同或相似的结构，寻找结构的同型或共性，进而合理同构相应的函数模型，结合导数的应用来解决相应的数学问题.

2 导数妙用

2.1 巧求范围

分析：结合条件中不等式的恒等变形与转化，使不等号两边的结构均衡、同型，从而合理同构函数，通过求导，结合函数的单调性与最值的应用来确定对应的参数的取值范围.

所以ex+lna+x+lna>x+2+ln(x+2)，即ex+ln a+x+lna>eln(x+2)+ln(x+2).

由于函数y=ex+x在R上单调递增，则有x+lna>ln(x+2)，即lna>ln(x+2)-x.

当x∈(-2，-1)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x∈(-1，+∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减.

故lna>gmax(x)=g(-1)=1，即a>e.

所以实数a的取值范围为(e，+∞).

故填答案：(e，+∞).

点评：在解决一些相关含参不等式恒成立问题时，往往可以考虑从函数自身出发，巧妙恒等变形，合理同构相应的函数，利用导数及其应用，结合函数的单调性去分析与解题，简洁自然.

2.2 妙判大小

例2(2022届江苏省南师附中、淮阴中学、天一中学、海门中学四校高三年级12月联考数学试卷·8)已知a=5，b=15(ln 4-ln 3)，c=16(ln 5-ln 4)，则( ).

A.a

C.b

分析：结合三个数所对应的关系式的合理恒等变形，先结合重要不等式性质确定a与b的大小；再通过同构函数，结合求导处理与转化，利用函数的单调性来确定b与c的大小.

综上可得，a>b>c.故选择答案：B.

点评：在判断一些比较复杂的代数式的大小关系问题时，可以考虑从对应代数式的共同特征入手，合理同构函数，借助同构函数来构造相应的新函数，利用函数的单调性等基本性质来巧妙转化，进而判断大小，从而将原问题中所蕴含的内在规律外显化，揭示问题丰富的背景和内涵，展示同构函数的巨大魅力.

2.3 巧定最值

例3[2022届江苏省G4(苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学)高三年级12月联考数学试卷·8改编]若不等式2ex-2>-aln(x+1)+(a+2)x对x∈(0，+∞)恒成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的最大值为______.

分析：根据题目条件中的不等式加以移项变形，合理同构函数，结合重要不等式性质确定自变量的大小关系，进而确定函数的单调性，结合求导处理，利用导函数所对应的不等式恒成立来构建不等式，进而确定参数的最大值.

解析：由2ex-2>-aln(x+1)+(a+2)x，移项可得2ex-ax>-aln(x+1)+2(x+1)，整理可得

2ex-ax>2eln(x+1)-aln(x+1).

同构函数f(x)=2ex-ax，则有

f(x)>f(ln(x+1)).

而结合重要不等式性质“对于x>0恒有lnx≤x-1，当且仅当x=1时等号成立”，可得x>ln(x+1)>0，则知函数f(x)=2ex-ax在(0，+∞)上单调递增.

求导可得f′(x)=2ex-a，则只需f′(x)=2ex-a≥0在(0，+∞)上恒成立，所以2-a≥0，解得a≤2.

故实数a的最大值为2.故填答案：2.

点评：在确定一些参数的最值时，关键是利用不等式的巧妙变形与转化，合理同构函数，借助函数的图象与性质，合理构建相应代数式的大小关系，为进一步求解代数关系式或参数的最值提供条件.在解决此类问题时，对于等式、不等式不同视角的变形，不同的同型形式往往可以同构不同的函数.

2.4 妙证不等式

例4(2021年高考数学新高考Ⅰ卷第22题)已知函数f(x)=x(1-lnx).

(1)讨论f(x)的单调性；

分析：第(1)问首先求得导函数的解析式，结合导函数的正负取值符号即可确定函数的单调性；第(2)问利用同构关系将原问题中不等式的证明转化为极值点偏移的问题，结合变形的关系式的特征同构相应的函数，结合求导处理，利用函数的单调性与极值问题来证明对应的不等式.

解析：(1)由函数的解析式可得f′(x)=-lnx.

则当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减.

所以,f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减.

由(1)可知函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以fmax(x)=f(1)=1，且f(e)=0.

先证22-x1>1，即证f(x2)=f(x1)

令函数h(x)=f(x)-f(2-x)，x∈(0，1).

求导可得h′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)]，则h′(x)在(0，1)上单调递减.

所以h′(x)>h′(1)=0，即函数h(x)在(0，1)单调递增.所以h(x1)

再证x1+x2

同理，根据(1)中函数f(x)的单调性，可知即证f(x2)=f(x1)>f(e-x1).

同构函数φ(x)=f(x)-f(e-x)，x∈(0，1).

求导可得φ′(x)=-ln[x(e-x)].令φ′(x0)=0.则当x∈(0，x0)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增；当x∈(x0，1)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减.

又00;x>e时，f(x)<0,且f(e)=0.

故x→0，φ(0)>0，φ(1)=f(1)-f(e-1)>0.

所以φ(x)>0恒成立，即x1+x2

点评：在证明一些不等式时，经常借助所要证明的不等式的结构特征，合理同构对应的函数，结合函数的导数及其应用，利用相应函数的单调性、极值或最值，进而合理转化巧妙证明相应的不等式.

3 结语

在破解一些函数与方程、不等式等相关问题时，需要借助我们的慧眼去识别问题中代数式等的结构特征，寻找同型，巧妙同构，证实共点，妙用共性，合理同构相应的函数模型，结合导数及其应用来巧妙解决，从而实现应用共性解题，增强化归思想、创新意识、同构意识，合理进行数学知识交汇，让数学思维与数学品质得以飞跃，形成数学能力，培养数学核心素养.