高中数学新教材函数建模内容比较研究*——以湘教版、人教A版和北师大版为例

⦿长江大学信息与数学学院 何 琴 郭金海

1 数学建模在高中数学教材中的意义

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》将“数学建模”列入数学六大核心素养之一.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养[1].高中数学建模活动通常以小组为单位进行，有利于培养学生的团队意识和分工协作精神[2].数学建模可以拉近人们在心灵上与数学的距离，促使人们在应用过程中更好地品味数学、理解数学和热爱数学，启迪人们的数学心智，促进优秀数学人才的培养[3].所以，数学建模应该是富有创新性的活动，能激发起学生的数学学习兴趣.

2 教材比较

2.1 数学建模例习题数量与模型类型比较分析

湘教版、人教A版和北师大版三套教材的编写侧重点不同，对数学建模内容设计重视程度各有千秋.湘教版必修(第一册)有关函数建模的主要内容分布在教材的第四、五章，就篇幅而言占17页，共计24道题；“湘教版的亮点在于涉及应用的案例整体更具情境性”[4].而人教A版有关函数建模的主要内容分布在教材第三、四、五章的函数应用中，占29页(包括数学建模专题)，共计31道题；从篇幅和数量来看，人教A版的题目数量最多，但更多的题目是为了让学生熟悉问题的求解，而对观察实际情境、如何建立函数模型的思考是欠缺的，可见教材对例习题的质量方面还有待提高.北师大版在题目数量上相对薄弱，主要分布在第五章和第八章(数学建模活动专题)，占23页，共计15道题；题目设置比较开放、综合性强，给学生更大的思考空间，着重培养学生观察实际生活情景、运用自己的方法解决问题的能力；但在学生学完必修一基本内容之后开展数学建模活动，将内容编排在最后一章节，学生已经学完函数的基本内容，会忽视数学建模的重要性.

三套教材都对指数函数、对数函数、幂函数以及三角函数刻画了一系列模型，涉及人口调查、金融投资、放射性物质的衰减等较多现实生活中或者学科交叉的内容，让学生更能感受到数学既来源于生活，又能解决其实际问题.其中湘教版和北师大版对幂函数模型应用次数最多，而人教A版应用指数函数模型最为频繁.如果教材能够让学生对所学的函数模型都有接触使用，了解各个函数模型在日常生活中的作用，遇到问题能够“对症下药”，不只侧重某一方面，而是接触更多原生态真实模型，才能让学生感受数学建模的魅力.

2.2 建模题目功能的比较分析

根据分析可以发现，湘教版在学完指数函数、对数函数以及幂函数后，通过几种函数增长快慢的比较，把不同类型的函数比喻成不同的人赛跑，如函数开运动会、函数赛跑等，语言幽默，增加了学生学习数学的趣味性.不同类型的模型之间进行比较，找出跑得最快的函数，这样的安排能让学生更好地掌握不同类型函数的相关性质及其特点.

湘教版在“形形色色的函数模型”例3中，1-4月的产量分别为1万台，1.2万台，1.3万台，1.37万台.公司暂时不准备增加设备和工人，为了保持供给和需求平衡，需要估测以后几个月的产量.

用“超级画板”进行四个函数模拟(见图1：一次函数、二次函数、幂函数和指数函数)，估算出无人机几个月后的产量.一次函数模拟在不增加工人和设备的条件下，产量会每月增加1 000台，这是不太可能的；二次函数模拟四月份的产量比实际产量少了700台，8月之后产量为负数，很明显不符合实际情况；利用幂函数模拟时，三月的产量比实际多了500台，四月的产量比实际多了1 100台，与实际产量差距较大；而在指数函数模拟过程中，四月的产量为1.35万台，这与第四个月的实际产量比较接近.选择函数模型时，不仅要考虑到生产的实际情况，同时还要使误差最小，经过筛选，选出指数函数为比较接近客观实际的模型.其中在利用幂函数模拟时，将数据理想化，简化了建立函数模型的步骤，虽然便于求解，但是不利于学生形成良好的数学建模思维.

图1

人教A版在函数的应用中呈现了两道分段函数例题，研究了生活中的税收问题和时间与路程问题，对后面的人口模型、放射性物质的衰减模型、投资回报模型以及奖励模型的学习起到了抛砖引玉的作用，由浅入深，逐步推进.在数学建模专题中，“85 ℃的绿茶降至60 ℃时饮用，口感最佳”，为解决“刚泡好的茶水在室温25 ℃下达到最佳口感的时间”问题，以小组为单位，首先利用秒表、温度计等工具收集数据，然后整理数据画出散点图，考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，选取指数函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，最后检验这个函数模型与实际数据基本吻合，说明刚泡好的茶水在室温25 ℃下达到最佳口感大约需要7 min.在学生结束活动后，教材通过数学建模的框图(如图2)概括了活动过程，并给出了不同的选题供学生参考，使学生感悟数学与现实之间的关联.类似于专题这样完整的数学建模过程在教材中非常少见，更多的题目则是明确地告诉学生应该用哪个函数模型，学生在练习的过程中，什么题型套用什么模型能迅速作出判断，这种问题更像是“披着数学建模头纱的应用题”，虽然为解题节省了大量的时间，但会让学生缺失提出问题以及自行建立数学模型的体验，很难提高学生的数学建模素养.

图2

北师大版教材第五章对函数问题进行探究，其中实际问题的函数模型分为两部分：实际问题的函数刻画和利用函数模型解决实际问题.案例充分展示了建模的过程，有利于培养学生的建模思维.另外，完成一系列的建模过程后，结尾处总结了函数模型，同时在后面的习题中鼓励学生通过独立思考或查阅资料，自行给出一般情况下的函数模型.不仅可以检测学生知识点的掌握情况，同时也可以培养学生数学建模的兴趣.在数学建模活动专题中，以数学史——欧拉的七桥问题作为导入走进数学建模，通过哥尼斯堡七桥问题的解决展示了数学建模的过程和意义.为了更好地让学生体验建模的过程，教材以绿灯亮时(每次亮绿灯的时长为15 s)通过十字路口汽车的数量为例，经过收集数据对相关因素的分析，提出几个有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，将实际问题转化为数学问题建立相关模型求解，最后到十字路口实地调查，对结论进行检验，在结尾处总结了数学建模的步骤(如图3)，并摘录了一些关于自然、社会和生活方面的问题供学生参考.虽然北师大版的函数建模内容与实际生活联系紧密，但缺乏主线知识与数学建模之间的联系.若一道题目涉及多种函数模型，则可以提高题目效用，像湘教版那样对不同的函数模型进行模拟，学生不仅能够比较不同函数之间的特点，更能提高数学应用能力.

从题目功能来看，教材都能很好地通过题目示范来引领学生提升建模能力.湘教版侧重于简化模型步骤，但不利于学生形成良好的数学建模思维.人教版更侧重于提示学生选用哪种数学模型，却很难达到培养独立建立模型能力.北师大版则重视示范，综合性强，培养思维育人能力，能帮助学生深刻理解建模，但与主线知识联系不太紧密.

2.3 数学软件的使用比较分析

依据实际问题建立模型后，数学软件的辅助，一定能起到锦上添花的效果.湘教版涉及了四个数学实验板块，介绍了如何用“超级画板”画函数图象并插入相关表格，结合“超级画板”进行函数模拟从而解决实际问题.人教A版和北师大版的信息技术应用栏，也都利用了数学软件《GeoGebra》绘制函数的图象和表格.尤其是北师大版教材在阅读材料部分专门介绍了《GeoGebra》，另外在第四章设置了“信息技术支持的函数研究”一节，以画对数函数图象为基础，研究其单调性以及变化规律，为学生学习数学建模提供了良好的技术支持.由于在该节内容中没有具体的数值，学生操作起来可能比较困难.虽然北师大版教材花费了大量篇幅介绍了数学软件的相关应用，但在函数建模的过程中，并没有借助《GeoGebra》软件对函数进行模拟，因此，学生既体验不到数学软件的方便之处，又不能激发学生数学建模的兴趣.与北师大版类似，人教A版在第四章结束后设置了建立函数模型解决实际问题的专题，用“茶水水温问题”来演示数学建模过程，如果能够利用信息技术，通过函数拟合的方法选择合适的函数模型，会大大地提高数学建模教学的效率，课堂教学氛围也会更加浓厚，这是传统的画散点图很难做到的.函数模型应用中的资金投资模型虽然运用了数学软件进行函数模拟比较，但这个例子缺乏真实情境，不利于学生收集数据以及提出问题.相比于这两个版本，湘教版也同样只有一道例题在进行函数建模时借助了信息技术模拟.

通过比较发现，这三个版本教材的数学软件在函数模型中使用频率并不高，尽管有篇幅介绍数学软件的便利性和重要性，却没有将其应用到模型中.如果教材能够充分利用数学软件帮助学生理解函数模型，则会对学生构建数学建模思想起到事半功倍的效果.比如，将数据用计算机绘制成图象分析出合适的函数模型，以及根据实际情况修改模型等.

3 结论

依据《普通高中数学课程标准》，通过对三个不同版本教材中的数学建模内容进行分析，能够促使教师对教材中建模内容的重视，提升学生数学建模的素养.建模题目功能的介绍帮助教师向学生传达数学的价值，将生活与数学建立联系，注重数学模型的应用.数学软件的使用不仅让图象更加直观形象地展示在学生面前，还能引导学生积极地参与到数学建模过程中去，提高学生的动手操作能力，使学生对数学有了新的认识.