例析圆的切割线定理的灵活运用

⦿甘肃省天水市清水县王河镇中学 张会军

1 定理及推论

圆的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.

圆的切割线定理及其推论是九年级下册数学(华东师大版)第27章第2节“与圆有关的位置关系”中的一个重要定理.在证明、计算角相等，线段相等，线段成比例等具体问题中，如果能够灵活运用圆的切割线定理及其推论，不仅能拓宽解题思路，而且能够收到化难为易、化繁为简的效果[1].

2 定理及推论的灵活运用

例1已知：在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆交BC于点D，交AC于点F，半圆圆心为点O，过点D作⊙O的切线交AC于E.

(1)求证：DE⊥AC.

(2)若AB∶BC=5∶6，AF=7，求CE的长.

分析：(1)有三种思路.证法一，首先由DE是⊙O的切线，可推证出OD⊥DE，再由△ABC是等腰三角形可推出∠C=∠ABC，∠ODB=∠C，进而可证明OD∥AC，DE⊥AC.证法二，由AB是直径可得∠ADC=90°，只需要证∠CAD+∠EDA=90°，或∠C+∠CDE=90°，即可证得DE⊥AC.证法三，可考虑运用AB是直径及DE为⊙O的切线这两个条件来证明，先由已知条件推证出OD是△ABC的中位线，再根据DE是⊙O的切线即可证得DE⊥AC.

(2)有两种思路.解法一，只需作出虚线BF即可打开思路，先利用切割线定理的推论求出CF的长度，再根据OD是△ABC的中位线就可求出CE的长度.解法二，先利用切割线定理的推论求得AC，CD的长，再结合已知条件解Rt△CDE，再通过列方程即可求出CE的长.

图1

解析：(1)证法一.如图1，连结OD.

∵DE切⊙O于点D，

∴OD⊥DE于点D.

∵OD=OB(半径相等)，

∴∠ODB=∠ABC(等腰三角形底角相等).

∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC.

∴∠ODB=∠C(等量代换).

∴OD∥AC(同位角相等).

∴DE⊥AC.

点评：灵活运用切线和等腰三角形的性质证明.

图2

证法二:如图2，连结AD.

∵ED切⊙O于点D，

∴ ∠EDA=∠B.

∵AB为⊙O的直径，

∴ ∠ADB=90°.

即AD⊥BC.

∴∠DAB+∠B=90°.

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴ ∠CAD=∠DAB，CD=BD.

∴ ∠CAD+∠EDA=∠DAB+∠B=90°.

∴DE⊥AC.

或∵ED切⊙O于点D，

∴∠EDA=∠B.

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°.

∴∠ADE+∠CDE=90°.

∵AB=AC，∠C=∠B，

∴ ∠EDA=∠C.

∴∠C+∠CDE=90°.

∴DE⊥AC.

点评：在利用DE是⊙O的切线的同时，还利用了弦切角定理.

图3

证法三:如图3，连结OD，AD.

∵AB为⊙O的直径，

∴AD⊥BC于点D.

又∵AB=AC，

∴CD=BD.

又∵OA=OB，

∴OD为△ABC的中位线.

∴OD∥AC.

∵DE切⊙O于D，

∴OD⊥DE.∴DE⊥AC.

点评：推证出OD是△ABC的中位线是关键的一步.

(2)解法一：如图1，连结BF.由AB为⊙O的直径，

得∠AFB=90°，即BF⊥AC于点F.

又∵DE⊥AC，

∴DE∥BF(同位角相等).

∵OD∥AC，且OA=OB，

又∵DE∥BF，

∵AB∶BC=5∶6，AF=7，

设1份为k，AB=AC=5k，BC=6k.

又CF·CA=CD·CB,

∴k1=0(舍去)，k2=5.

∴CF=AC-AF=25-7=18.

解法二：∵AB∶BC=5∶6，

设1份为k，AB=AC=5k,BC=6k,

∴CD=BD=3k，AD=4k.

∵DE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，

∵CF·AC=CD·BC,

又CF=AC-AF,AF=7,

∴(AC-AF)·AC=CD·BC.

(5k-7)·5k=3k·6k

∴k1=0(舍去)，k2=5.

或∵ED切⊙O于点D，

∴DE2=EF·EA=(AE-AF)·EA.

∴k1=5，k2=0(舍去).

点评：根据“点C在⊙O外，直线CFA与直线CDB为⊙O的两条割线”的已知条件，可利用切割线定理的推论求得CF的长度，进而求出CE的长度.本题运用了数形结合的思想与方法，灵活运用了切割线定理，达到了一题多证、一题多解、左右逢源的效果.

例2已知PT切⊙O于点T，割线PAB交⊙O于点A，B，且AB过O点，∠OPT=30°，PT=20 cm，求PB的长.

分析：按照“执果索因”的解题思路，要想求PB的长，需先求出PA的长.因为∠OPT=30°是一个特殊角，所以可考虑构造一个直角三角形，连接OT，得到Rt△OPT，则可得出OP=2OT=2r，AP=r，PB=3r，即可由切割线定理求出r，进而求出PB的长.

图4

解析：如图4， 连接OT，设⊙O的半径为r.因为PT切⊙O于点T，所以OT⊥PT.因为∠OPT=30°，所以OP=2OT=2r，于是PB=3r，PA=r.

由PT2=PA·PB(切割线定理)，PT=20，

点评：本题由已知“P为⊙O外一点，PT为切线”，可直接应用切割线定理PT2=PA·PB来求解.

3 结论

圆的切割线定理及其推论是初中平面几何中的重要内容，许多与圆有关的问题，我们都可以直接应用它或借助它的转化获得解决[2].从上述例题的解题思路与方法中我们可以看到，所谓的“灵活运用”，主要是指设法把不能直接运用切割线定理解决的问题转化为能够运用定理来解决的问题.解题思路往往表现为几种方法的综合运用，例如运用数形结合法，利用三角形、线段与比例的性质，结合三角函数转化为方程求解，等等.总之，“运用之妙存乎一心”，只有认真分析题目的已知条件，找到问题的内在联系，灵活变通，才能找到解题的突破口.