以动态数学技术助力核心素养发展*
——以“正弦定理”教学为例
2022-04-11甘丽娟李欣欣
甘丽娟 周 莹 李欣欣
(广西师范大学数学与统计学院,541006)
Hawgent皓骏动态数学软件是一款集“制作素材”与“辅助教学”为一体的动态教育技术工具,具备制作可操控动态数学积件、测量动态数值、控制动态参数、处理动态数据、模拟随机过程、跟踪对象轨迹等功能[1].软件可以展示对象运动或变化过程,呈现对象变化或运动轨迹,实时观测对象相关参数,化静为动,化虚为实,解决传统教学中的“成像”难题,减轻教师教学苦点,抚平学生学习痛点,极大地提高课堂教学的效率.
本文以 “正弦定理”的教学设计为例,借助动态数学技术,让学生在正弦定理相关知识的学习过程中内化和发展数学核心素养.
一、创设情境,发现问题
1.问题情境
如图1所示,某渔船B在航行中不幸遇险,发出求救信号.海上巡视军舰A获悉后,立刻向4.2海里外的指挥部C请求救援指令.经观测,知∠BAC为45°,∠ACB为105°,已知军舰航速为18海里/小时,则遇险渔船需要坚持多久才能获救?
设计意图选取“海上救援问题”作为背景引入,充分调动学生“抢险救灾”的紧张氛围和积极行动心理,让学生跃跃欲试.
2.问题抽象
分析已知三角形中AC的长度及∠BAC和∠ACB的大小,求AB的长度,问题抽象为“已知三角形其中的两个角和一条边,求另外两边的边长”——问题的实质是三角形边和角的数量关系.
问题1由于解直角三角形的知识无法直接运用到斜三角形上,初中学过的三角形“大边对大角,小边对小角”一般性质也无法满足解决问题的需求,能否把三角形的边角关系进行准确量化呢?
设计意图让学生体会数学知识源于生活,引导学生将现实情境抽象为数学模型与问题,渗透数学抽象和数学建模素养,培养学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界的能力.
二、问题驱动,探究新知
问题2要量化三角形的边角关系,可以从熟识的直角三角形入手.请大家回忆一下直角三角形中(图2)有哪些边角关系?(具体关系略)
问题3观察上述式子,挖掘共同点,能否找到某些等量关系式?
设计意图通过观察直角三角形的三角函数,分析它们内在联系,寻找数量关系,变形转化,初尝正弦定理公式,培养学生逻辑推理和数学运算素养.
三、直观感知,抽象概念
师:同样也可以利用动态数学技术观测在一般三角形中的情况.
对边a=3.1b=1.8c=2.5角∠A=90°∠B=36°∠C=54°对边sin(角)asin A=3.1bsin B=3.1csin C=3.1
对边a=1.9b=3.9c=2.6角∠A=23°∠B=124°∠C=33°对边sin(角)asin A=4.7bsin B=4.7csin C=4.7
活动2操作动态积件(任意拖动点A、点B或点C,改变三角形ABC的形状和大小,如图4所示,扫码参见详情),让学生观察数据栏数值变化情况,总结归纳共同点.
设计意图借助动态数学技术,对三角形形状大小及其参数变化进行实时观测,化抽象为具体,让学生直观感知正弦定理,并从具体的数值规律中抽象概括出本节课的概念,促进学生直观想象和数学抽象的核心素养发展.
问题4通过前面具体数值测量计算,我们知道正弦定理在一般的三角形中也成立,但如何证明呢?
设计意图抛出疑问——如何进行一般性证明,引发学生进一步思考探究,培养学生知识应用与迁移能力、分析与图形构造能力,为培养学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算素养提供基础条件.
活动3分组探究,让部分学生证明在锐角三角形(图5)中的情况,另一部分学生证明在钝角三角形(图6)中的情况?教师可启发与引导学生充分利用已有的经验,让一般三角形搭上直角三角形的“顺风车”,寻找等量联系.对于有其他想法的小组,予以鼓励与引导.
活动4学生分享与交流,教师总结归纳(推导过程省略)
设计意图引导学生化一般为特殊,巧妙化解难点,使旧知发生迁移和创造,既培养学生利用直观图形分析和解决问题的能力,也让学生体会从一般到特殊和转化化归的数学思想,推动学生的直观想象和逻辑推理素养悄无声息地生长.
① 具有“结构不变,字母可变”性;
② 具有“分子为‘边’,分母为‘边所对角的正弦’”的统一性、对称性和简洁性.
设计意图通过赏析定理公式,让学生感受数学的统一美、对称美和简洁美,感受到数学的逻辑性和严谨性以及数学思想精神的丰富性,提升学生数学素养.
四、拓展提升,发展思维
1.追根溯源,了解正弦定理背后的数学文化
活动5向学生阐述展示正弦定理的发展历程和背后人物故事.主要讲述希帕科斯的故事，解释“正弦”这一概念的产生和“正弦定理”的发现,展示不同时代定理证明的演化过程和证明的思想方法,例如，纳绥尔丁的同径证明法、韦达开创性的外接圆证明法以及伍德豪斯直角三角形证法等[2][3].
设计意图讲述正弦定理的历史发展,为下面引出正弦定理的比值意义和外接圆证明方法做铺垫.
2.直观感知,透析正弦定理比值意义
活动5操作积件(拖动变量尺改变三角形的大小(外接圆随之变化),拖动三角形的顶点改变三角形的形状,如图7所示,扫码参见详情),通过数值观测向学生揭示:在任意三角形中,各边和它所对角的正弦值的比值等于其外接圆半径的2倍.
设计意图借助正弦定理的历史文化知识启发学生,让学生“跳一跳”就能够得到正弦定理背后比值的意义,动态数学技术辅助猜想,化抽象为直观,使学生对正弦定理有更完整的认识,逐步提升学生的数学思维品质.
3.课外延伸,类比三维空间
课后探究在平面中,我们从直角三角形出发,得到结论猜想,再证得正弦定理.若把二维平面类比推广到三维空间, 即把三角形类比为三棱柱(如图8), 将会得到什么类似正弦定理结构的结论?
设计意图将正弦定理类比推广到三维空间,为学有余力的学生提供学习发展的需要.
五、应用新知,固化提升
问题8学完本节课的新知识,现在你能用正弦定理估算出遇险渔船需要等待多久才能获救了吗?
解题思路已知两个角(∠BAC和∠ACB)以及一条边的长度(AC),挖掘隐含条件∠C,利用正弦定理可表示出AB和BC边,然后代入已知数据便可迎刃而解.
设计意图让学生运用新知尝试计算海上救援时间问题,既体现问题设置的有效性,又符合学生运用新知解决问题的心理期待,学生通过动手分析和解决问题,有利于加强对数学知识应用价值的认同感和加深对正弦定理的理解,提高学生数学运算素养.
变式训练在∆ABC中,已知a=6,c=3,C=60°,求∆ABC的其他各边和各角,并计算三角形的面积.
设计意图通过变式“知两边和一角,解三角形”,让学生解决不同于情境 “知两角和一边”的问题,学会运用正弦定理解决斜三角两类基本问题,领会解三角的含义,并体会三角形新面积公式求解三角形面积的价值.
