概率教材比较与单元教学设计分析

江苏省高邮中学 (225600) 黄桂君

1.初、高中“统计与概率”的衔接

初中“统计与概率”的主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断；简单随机事件及其发生的概率.

高中必修第二册在初中学过“统计与概率”知识的基础上进一步学习“概率与统计”.从初中到高中，是一个统计(样本估计总体等)→概率(简单随机事件的概率)到高中必修第二册再统计→概率，然后到选择性必修第三册又进一步概率(随机变量)→统计(案例：独立性检验和相关性检验)的递进式学习过程.承担的主要育人任务是培养学生分析随机现象的能力，学习数据分析(数学学科6个核心素养之一)的方法.

2.普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)概率教学要求

主题四——概率与统计.总计建议20课时.

通过本单元的学习，可以帮助学生结合具体实例，理解样本点ωi、有限样本空间Ω、随机事件A等，会计算古典概型中简单随机事件的概率，加深对随机现象的认识和理解.

内容包括：(1)随机事件与概率

①结合具体实例(抛掷硬币、骰子，摸球、扑克牌等)，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系(参见案例12).了解随机事件的包含、并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.

②结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.

③通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.

④结合实例，会用频率估计概率.

(2)随机事件的独立性

结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.结合古典概型，利用独立性计算概率.

3.苏教版新旧教材的比较

必修3(模块)：随机现象、随机事件的概率，古典概型、几何概型(不要了)，互斥事件、对立事件.

最大的不同是：用集合语言来刻画事件：首次引入样本空间Ω，样本点ωi(i=1,2,…,n).随机事件A,B(Ω的子集)等，Ω为必然事件，∅为不可能事件.这样比过去侧重于文字表述简单、更科学、规范.为用数学语言描述随机现象和随机事件提供了工具.独立事件提前了，直接通过集合间的关系，具体的实例，由P(AB)=P(A)P(B)，给出事件A与B相互独立，而不再如选修2-3专题中那样通过有难度的“条件概率”，过渡得出独立事件.“条件概率与全概率公式”放在选择性必修中了.这样的安排(调整)更符合实情，因为有许多问题已不知不觉的运用了独立性概率的运算公式(乘法).

4.新教材必修第二册苏教版与人教版的比较

大单元的设计安排：都安排了3节.就第1节内容(小单元设计)而言，感觉苏教版内容“少”了点，人教版内容似乎又“多”了些.

苏教版 第15章 概率

15.1 随机事件与样本空间

15.2 随机事件的概率

15.3 互斥事件和独立事件

有关概念：确定性现象，随机现象(初中的，人教版没有特别提).随机试验(简称试验).

样本点ω，样本空间Ω.随机事件A(简称事件)，基本事件(仅包含单一样本点的事件，类似于单元素集合).显然，Ω为必然事件，∅为不可能事件.

指出：当一个试验的结果是A的一个元素时，就称事件A发生了.

例1——写出样本空间Ω及事件A所包含的样本点.

例2——写出两个事件A,B所包含的样本点，并用集合的语言分析两者之间的关系(B⊆A)，引得事件A包含事件B(或事件B包含于事件A).

例3——写出三个事件A,B,C所包含的样本点，并用集合的语言分析三者之间的关系(C=A∪B)，引出事件A与B的并，也称A与B的和，并记作C=A+B.

例4——同上，写出三个事件A,B,C所包含的样本点，并用集合的语言分析三者之间的关系(C=A∩B)，引出事件A与B的交，也称A与B的积，并记作C=AB.

突出了数学语言的表示：自然文字语言，集合符号语言，文氏图形语言及其相互转化.

人教版 第十章 概率

10.1 随机事件与概率

包括：10.1.1有限样本空间与随机事件.

10.1.2事件的关系和运算.

10.2 事件的相互独立性

10.3 频率与概率

有关概念：随机试验E.样本点ω，样本空间Ω，有限样本空间.

例1——抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.

例2——抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.

例3——抛掷两枚硬币，观察它落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.

接着通过体育彩票摇号试验给出随机事件A(简称事件)，基本事件(仅包含单一样本点的事件，类似于单元素集合)，事件A发生(同样指出：在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时).称Ω为必然事件，∅为不可能事件.

例4——电路图，用集合表示事件.

例5、例6——写出样本空间、事件，以及各事件之间的关系.

同样突出了数学文字语言，集合符号语言，文氏图形语言的表示和转化.

5.概率第一课时教学参考建议

教学设计的目的：理解样本点、样本量、有限样本空间的概念，以及有限样本空间中随机事件的相关运算，理解随机事件的表达，体会随机思想.这个是必须的.也可以到此为止(如苏教版).如果觉得内容少、学生表现也较好，则可以在讨论例4后请学生思考(类比，有集合知识的基础难度不大)：画出文氏图，其中A∩B=∅，试问事件A与B有什么关系？给出概念(互斥事件(或互不相容事件))，或不给出概念下次再学习.同样，画出文氏图，其中A∪B=Ω，且A∩B=∅，试问事件A与B有什么关系？给出概念(互为对立事件)，或留给学生思考.

(1)要重视——用集合语言来刻画事件(描述有关概念)：样本空间Ω(主要是有限样本空间，类似于全集)，样本点ωi(i=1,2,…,n)(样本空间Ω集合中的元素).随机事件A,B(Ω的子集)等，Ω(全集)为必然事件， ∅(空集)为不可能事件.

“随机事件”是核心概念之一，如果理解不深刻，将影响整个概率的学习.引入样本点、有限样本空间概念，再用样本空间的子集表示随机事件，这是“随机现象数学化”的关键一步，教学中要给予重视.

帮助学生学会使用简单的符号(字母、数字、有序数组等)表示试验的样本点、列举样本空间(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)，这既是重点也是难点.用简单事件的运算表示复杂事件是又一个难点，采用不同数学语言的转换，通过多种不同的方法，可以有效的突破这一难点.

两个重要的案例：

①投掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况.(有学生往往认为有3种可能的结果)

引导学生学会书面表达：第1枚硬币可能的基本结果用x表示，第2枚硬币可能的基本结果用y表示，则样本点可用(x,y)表示.于是试验的样本空间为Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}或Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.

②投掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.

(2)要了解——为后面选择性必修第三册事件用随机变量X表示后的概率分布做铺垫，打牢基础.

从必修课程关注随机现象出现某一个结果(事件)的概率，到选择性必修内容关注随机现象整体分布，学生在认识上往往存在困难.我们注意到教材有意用“1”表示硬币“正面朝上”，用“0”表示硬币“反面朝上”等.将事件数字化，其做法是为后面选择性必修第三册事件用随机变量X表示做铺垫.

是先学习概率——将事件用随机变量X(数)表示后，研究和讨论离散型随机变量X的概率分布列(类似数列——一列函数值)、分布表(两点分布X～0-1(对立事件)、超几何分布X～H(n,M,N)(互斥事件)、二项分布X～B(n,p)(独立重复事件)).连续型随机变量X的概率分布图——正态分布N～(μ,σ2).

后学统计——统计案例：独立性χ2检验，相关性r检验(主要是线性回归分析).

类比运用函数的思想方法，将概率分布看成是函数的取值分布：f(x0)与P(X=x0)；y=f(x)与P(A).不过概率的研究对象要比函数的研究对象复杂得多.

(3)要转变观念——这一块的教学内容及例题、练习题与函数、三角、数列等有很大不同，就是规定的定义、概念比较多，这些又不好让学生探究.当然，也有可以让学生思考的问题，如等可能的所有样本点及其个数，用集合来理解事件之间的关系等.教学中要注意利用典型例子，针对随机现象的特征、样本点、样本空间、随机事件及其关系等提出问题，最好是让学生自己提出问题.教师上课讲的不要认为简单问题繁琐化，学生作业做的不要嫌不带劲(我们知道过去学生求概率就写一个式子或数字，不少老师和学生连“记……为事件A”等都懒得写).尤其是认为写出样本空间Ω及其中的元素即样本点ω、事件A及其中的样本点，没有什么意思.要抛弃这样的想法，这样的训练是基础性的，对于认识和理解随机现象有重要意义，不能匆匆而过多.要多引导学生用适当的符号表示试验所有的可能结果，重视学生数学语言表达的训练.