解答与圆有关的定点问题的两个措施

孙昌盛

在解析几何试题中常常会出现与圆有关的定点问题.此类问题一般会涉及动点或者变量，难度通常较大.解答此类问题，往往要深入挖掘图形的几何特征，灵活运用平面几何的知识，将动点或变量转化为确定的点的坐标或数值.下面详细介绍两个解答与圆有关的定点问题的“措施”.

一、利用圆系方程

若圓 C1：f1（x，y）=0和圆 C2：f2（x，y）=0相交，那么 f1（x，y）+λf2（x，y）=0表示过两个圆交点的动圆.相反，若一个圆能够表示为上述形式，那么这个圆必定过两圆的交点.若问题中涉及两个圆的交点，就可根据两个圆的方程建立圆系方程，通过解方程组求得定点的坐标.

例1 .已知圆 O 的方程为 x2+y2= 1，它与 x 轴交于 P，Q 两点，M 是圆 O 上异于 P，Q 的任意一点，过点 A（3，0）的直线l2与 x 轴垂直，且与直线 PM，QM 交于 P，Q 两点，求证：以 PQ 为直径的圆 C 总过定点，并求出该定点的坐标.

证明：令y =0，由 x2+y2= 1可得 x =±1，即P（- 1，0）， Q（1，0）.

又直线 l2过点 A 且与 x 轴垂直，所以直线l2的方程为 x =3，

设 M（s，t），所以直线 PM 的方程为 y = （x +1）. 由î（ì）y（x）  （x +1）， 得 P′（3，） ，同理可得：

Q′（3，），

所以以 P′Q′为直径的圆 C′的方程为（x -3）x -3+è（æ）y - ø（ö）è（æ）y - ø（ö）=0，

又 s2+t2= 1，则（x2+y2- 6x +1）+  y =0，

若圆 C′经过定点，则 y =0，由 x2- 6x+1 =0得 x =3 ±2  ，

所以圆C′总经过定点（3±2  ， 0）.

通分析题目可知，以 P′Q′为直径的圆 C 是动圆，且与圆 O 相交，于是将动圆的方程改写为圆系方程，进而求出定点的坐标.

二、运用恒等式的性质

一些几何对象的测度或比值在动态变化的过程中始终保持不变.要求得定点的坐标，我们需挖掘出这些几何对象的测度或比值，建立恒等式，利用恒等式的性质来解题.在解题时，可先通过分析与动点、变量相关的因素，引入合适的参数，建立关系式，从而将问题转化为等式恒成立的问题，通过代数运算求得问题的答案.

例2 .已知圆 M 的方程为 x2+（y -2）2= 1，点 P 在直线 l： x -2y =0上，过点 P 作圆 M 的切线 PA，PB，切点为 A，B .证明：经过 A，P，M 三点的圆必过定点，并求出定点的坐标.

证明：

由于点 P 在直线 l 上运动，因此引入参数x0，设出点 P 的坐标 （x0， x0），并用该参数来表示经过 A、 P、 M 三点的圆，由于定点与点 P 的位置无关，所以将圆的方程整理为关于x0的恒等式，根据 x0有无数个取值，建立方程，求出定点的坐标.

解答与圆有关的定点问题，需明确定点与哪些变量、动态的因式有关，然后构建圆系方程，合理引入参数，建立与定点相关的关系式，求得问题的答案.

（作者单位：江苏省盐城市大冈中学）