有关导数的三个考点解析

沈晓燕

导数是高考试题中的必考内容，且占有较大的比重.导数问题常以选择题、填空题、解答题的形式出现.有关导数的考点有很多，如求导法则、导数的几何意义、导函数与函数单调性之间的关系、极值的定义等.本文重点探究一下有关导数的三个考点.

一、考查导数的几何意义

有关导数的几何意义的问题多以选择题、填空题的形式出现，一般难度较低.常见的命题角度有：（1）求切线的方程;（2）求切点的坐标;（3）已知切线求参数值或范围.我们知道，导数 f′（x0）的几何意义是曲线y =f（x）在点 x =x0处的切线的斜率.在求解有关导数的几何意义问题时，要尝试将曲线的切线、切线的斜率、切点、切线的方程等与导数的几何意义关联起来，对曲线的方程求导，即可求得切线的斜率.

例1.已知曲线的方程为 y =ax -x4，x∈ ë（é），1 ，若

曲线的一条切线垂直于 y 轴，求 a 的取值范围.

解：对 y =ax -x4求导得 y′=a -4x3，

当直线和 y 轴垂直时，直线的斜率等于0，因此 y′=a -4x3=0，解得 a =4x3，

又因为 x ∈ ë（é），1 ，解得 a ∈ ë（é），4 .

本题主要考查了导数的几何意义.需先对曲线的方程求导，得到切线的斜率 f′（x0），然后根据直线的点斜式方程求得切线的方程 y -y0=f′（x0）（x -x0），建立关于 a 的关系式，即可解题.

二、考查导函数与函数单调性之间的关系

导函数与函数单调性之间的关系是：（1）若 f′（x）>0，则函数单调递增;（2）f′（x）=0，则函数为常数;（3）若 f′（x）<0，则函数单调递减.有关导函数与函数单调性之间关系的考查角度有：（1）求函数的单调区间;（2）比较两个函数式的大小;（3）根据函数的单调性求参数的取值范围;（4）解函数不等式.根据导数与函数的单调性之间的关系解题，需首先求得导函数 f′（x）;然后确定 f′（x）在 （a，b）内的符号，再由 f′（x）>0判断函数为增函数，由f′（x）<0判断函数为减函数.

例2.试求 f（x）=x4- 3x2+6的单调区间.

解：对 f（x）=x4- 3x2+6求导可得 f′（x）=4x3- 6x ，

令f′（x）=4x3- 6x >0，解得- <x <0或x >，因此 f（x）的单调增区间是 - ，0 ⋃  ，+∞ ，

令f′（x）=4x3- 6x ≤0，解得x ≤-或0≤ x ≤ ，因此 f（x）的单调减区间是-∞，- ⋃0， .

我们根据导函数与函数单调性之间的关系，建立不等式 f′（x）<0、f（x）>0，由此判断出函数的单调区间.

三、考查函数的极值

有关极值的问题一般难度较大.常见的命题角度有：（1）由图判断函数的极值;（2）由已知函数式求极值;（3）根据已知的极值求参数值或范围.若f′x在 x0两侧的符号为“左正右负”，则 fx0是函数 f（x）的极大值;若f′x在 x0两侧的符号为“左负右正”，则 fx0是函數 f（x）的极小值.因此求函数的极值关键是判断导函数零点左右两侧导函数的符号.

例3.已知函数 f（x）=- x3+x2+（m2- 1）x， m >0.试求函数 f（x）的极值.

解：对f（x）=-  x3+x2+（m2- 1）x 求导可得f′（x）=-x2+2x +m2- 1，

令 f′（x）=0，解得 x =1 -m 或 x =1 +m ，

又因为 m >0，所以1 +m>1 -m .

用表格或者图象能一目了然地展示出导函数零点两侧的导函数符号以及函数的单调性，这样有利于提升解题的效率.

对有关导数的考点进行分析和研究，不仅能明确高考中有关导数试题的考查方向，也能熟悉常考的题型以及解法.因此，在日常学习中，同学们要重视对高考考点的研究，以明确学习的方向和目标.

（作者单位：江苏省启东市汇龙中学）