求解平面向量数量积问题的三种途径

潘菊平

平面向量中的数量积问题侧重于考查平面向量的数量积公式、数乘运算法则、三角形法则、平行四边形法则、共线定理以及及空间向量坐标运算法则.解答平面向量数量积问题，不仅要熟练掌握平面向量中的基本知识，还需灵活运用一些方法、技巧.下面介绍三种求解平面向量问题的途径，供大家参考.

一、采用公式法

平面向量的数量积公式是：，其中θ为向量、的夹角.在求平面向量中的数量积时，需分别求得两个向量的大小以及其夹角，再代入公式中进行求解.值得注意的是，数量积公式中夹角的取值范围为0， 180o.

例1.已知正方形 ABCD 的边长为1，点 E 是 AB 边上的动点，求 D E·D C 的最大值.

解：如图1，过点 E 作 EF⊥DC 于点 F .

设向量 D E 与 D C 的夹角为θ，

则|D E| cos θ= |D F|.

又 DE·DC =|DE|·|DC| cos θ，

因此 D E·D C =|D F|·|D C|= |D F|，

故当点 F 与点 C 重合时，|D F|的值最大，可得 D E·D C 的最大值为1.

解答本题主要运用了公式法，得到 D E·D C 的表达式.解答本题的关键在于根据余弦函数的定义，过点 E 作 EF⊥DC，于是将 D E·D C =|D E|·|D cos θ转化为求 |D F|·|D C|的值.

二、运用基底法

运用基底法求解平面向量的数量积问题，需首先根据题意和几何图形的特点选取两个合适的基底，然后用这组基底表示所求的向量，再运用平面向量的数量积公式进行求解.运用基底法解题的关键是选取合适的基底.

例2.如图2，若在三角形 ABC中，OM =1，ON =2， ∠MON =120°，B M =2M A ， C N =2N A，求 B C·O M 的值.

解：B C = A C - A B =3A N -3A M =3（A N - A M）    =3MN =3（ON - OM），

所以B C·O M =3（O N - O M）·O M =-3O M2+ 3O M·O N

=-3×1+3×1×2× cos 120°= -6.

由于題设中已给出 O N，O M 的夹角及其长度，所以可采用基底法求解.把 O N，O M 作为基底，用这组基底来表示 B C，再运用平面向量的数量积公式进行求解即可.

三、利用坐标法

若遇到一些特殊的图形，如长方形、正方形、圆、直角三角形等，在求平面向量的数量积时，我们可根据这些图形的性质、特点建立平面直角坐标系，分别求得各个点、线段的坐标，通过向量运算求得所求向量的坐标，再根据向量的数量积坐标公式，就能顺利求得向量的数量积.

例3.如图3，在四边形ABCD 中， AB⊥BC，AD⊥ CD，∠BAD =120°，AB =AD =1 .若点 E 是边 CD 上的动点，求 A E·B E 的最小值.

解：以 D 为原点、DA 所在的直线为x 轴，以 DC 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系xDy，则点 A（1，0），B， .

连接AC ，由AB⊥BC ，AB =AD =1，

可知Rt△CDA≌ Rt△CBA ，

由∠BAC =120°，可得∠CAD =60°，则 CD = ，设点 E（0，y），y ∈[0， ]，

因为 A E·B E =（-1，y）∙（- ，y - ）=（y - ）2+  ， 所以当 y = 时，A E·B E 的最小值为 .

运用坐标法解答该题，能够快速求得问题的答案，这也充分体现了用代数方法解答几何问题的思想.

相比较而言，第一、三种途径较为简单，第二种途径稍微复杂，用第三种途径运算量较大.因此，在解答平面向量的数量积问题时，要首先考虑运用公式法，若遇到困难，再考虑运用坐标法、基底法.

（作者单位：江苏省射阳县高级中学）