灵活运用赋值法，快速求解抽象函数问题

潘林

抽象函數是没有明确的函数表达式的一类函数.赋值法是解答抽象函数问题的一种非常有效的方法.在赋值时，往往要注意考虑以下几个方面：①令 x =0， ±1， ±2， …等特殊值，将其代入题设中求出抽象函数的值;②令 x =x2，y =x1或 y =  ，且 x1<x2，可根据这些值判定抽象函数的单调性;③令y =-x ，可由此判定抽象函数的奇偶性;④将 x 替换为x+ T ，可由此确定抽象函数的周期性;⑤利用x = x+ x 或将x 替换为，可解答有关抽象函数的一些函数式变换问题.

一、求抽象函数的值

赋值法是解抽象函数求值问题的常用技巧.一般通过观察已知关系式与所求目标，巧妙地进行赋值，以便把已知条件与所求目标相互关联起来，从而求得函数值.在求抽象函数的值时，通常要给一些变量赋予适当的值，从而使变量“消失”，再通过整体代换求得函数值.

例1.已知定义域为 R 的函数 f（x），同时满足下列条件：① f（2）=1，f（6）=  ;② f（xy）=f（x）+f（y），则 f（3）=______，f（9）=______.

解：分别取 x =2，y =3 可得 f（6）=f（2）+f（3）. 又因为 f（2）=1，f（6）= ，所以  =1 +f（3），解得 f（3）=- .再取 x =y =3，得 f（9）=f（3）+f（3）=2 ×（-）=- .

我们分别令 x =2，y =3 ，便可根据已知条件，通过整体代换求得 f（3）的值.求 f（9）有一定的难度，需要充分利用抽象函数所满足的条件以及xy之间的关系，得到含有 f（3）、f（9）的式子，通过整体代换求得x =9的函数值.

二、判断抽象函数的单调性和奇偶性

在讨论函数的奇偶性及单调性时，常用赋值法，通过选取合适的特殊值，建立关于变量的关系式，从而判断出函数的单调性和奇偶性.一般地，需令x =-x，或 y =-x ，以便建立关于 f（x）、f（-x）的关系式，根据奇偶函数的定义判断出函数的奇偶性，若 f（x）=  f（-x），则函数为偶函数;若 f（x）=- f（-x），则函数为奇

函数.令 x =x2，y =x1或 y =  ，且 x1<x2，来判定抽象函数的奇偶性.若 fx1<fx2，则函数单调递增;若fx1>fx2，则函数单调递减.

例2.设函数 f（x）对任意x，y∈ R 都有 f（x +y）=f（x）+f（y），且当 x >0时，f（x）<0.

（1）证明 f（x）为奇函数;

（2）证明 f（x）在 R 上是减函数;

（3）若 f（1）=-4，求 f（x）在区间[-3，3]上的最大值

和最小值.

（1）证明：由于函数 y =f（x）对任意x，y∈ R 都有f（x +y）=f（x）+f（y），

所以该函数的定义域为 R，

令 x =y =0，可得 f（0）=0.

再令 y =-x，可得 f（x -x）=f（x）+f（-x），

即0 =f（x）+f（-x），

所以 f（-x）=-f（x），

因此，根据函数奇偶性的定义可知函数 y =f（x）为奇函数.

（2）证明：设 x1>x2，则 x1-x2>0，

因为当 x >0时，f（x）<0，

所以 f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）<0，

可得 f（x1）<f（x2），

因此，根据函数单调性的定义可知函数 y =f（x）在R 上是减函数.

（3）解：由（2）知函数 y =f（x）在 R 上是减函数，

所以函数 y =f（x）在[-3，3]上也是减函数，

所以函数 y =f（x）在 [-3，3]上的最大值和最小值分别为 f（-3）和 f（3）.

因为 f（1）=-4，

所以 f（3）=f（2）+f（1）=3f（1）=3 ×（-4）=-12，

由（1）可得 f（-3）=-f（3）=12.

故所求函数 y =f（x）在 [-3，3]上的最大值为12，最小值为-12.

若将已知条件“当 x >0时，f（x）<0”修改为“当x >0时，f（x）>0”，则按照上述思路判断函数 y =f（x）在 R 上是增函数.解答本题的第三个问题，需在第一、二个问题的基础上，根据函数的单调性和奇偶性来确定函数在定义域上的最值.

例3.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（  ）.