如何求函数的解析式

谢定亮 冯艳玲

函数的解析式是研究函数问题的重要依据和前提条件，因此掌握一些求函数解析式的技巧是很有必要的.下面主要谈一谈求函数解析式的几个常用技巧，以帮助大家提升解答函数问题的效率.

一、配凑

配凑法是求函数解析式的常用方法之一，主要适用于由复合函数 f（g（x））的解析式求函数 f x的解析式.运用配凑法求函数的解析式，需先明确将已知关系式变形的方向和目标：将 f（g（x））的解析式配凑成gx的倍数，再利用整体代换思想，用 x 替换gx，即可求得函数 f x的解析式.常用的配凑方法有观察法、配方法、凑项法.

例1.已知函数 f x满足 f 2x +1=4x2- 6x +5，求函数 f x的解析式.

解： f 2x +1=4x2- 6x +5 =2x +12- 52x +1+9，

用 x 替换2x+1，可得函数 f x的解析式为： f x=x2- 5x +9.

首先将 f 2x +1的表达式配凑成2x+1 的平方、倍数，然后运用整体思想，将2x +1 替换成 x，便可求得函数 f x的解析式.

例2.已知 f（ +1）=x +2  ，则f（x）的解析式___.

解：∵ x +2  =（ ）2+2  +1 -1=（  +1）2- 1，

∴ f（  +1）=（  +1）2- 1，

∴ f（x）=x2- 1（x ≥1）.

将x +2  配凑成 +1 的倍数，便可通过整体代换求得函数 f x的解析式.在解题时，同学们需注意 f x中的 x 与 f（g（x））中的gx意义相同，而不是与 f（g（x））中的 x 的意义相同.

二、构造方程组

若已知关系式中含有 f x、fè（æ） ø（ö）、f -x，则可根据已知条件构造关于 f x的方程组，通过解方程组求得 f x的表达式，得到函数 f x的解析式.运用

方程组法求函数的解析式，关键在于在建立关于 f x的方程组后，合理进行消元.

例3.已知函数 f x满足 f x-2fè（æ） ø（ö）=xx ≠0，求函数 f x的解析式.

解：∵ f x-2fè（æ） ø（ö）=x，

令 x = ，∴fè（æ） ø（ö）-2f x=  ，

可得：

消去fè（æ） ø（ö），得 f x= x ≠0，

∴函数 f x的解析式为 f x= x ≠0.

已知关系式中同时含有 f x、fè（æ） ø（ö），于是令 x =  ，构造出新方程，通过消元得到 f x的表达式.

三、赋值

赋值法是求函数解析式的一种有效方法，主要适用于求解已知关系式中含有多个变量的函数解析式问题.运用赋值法求函数的解析式，需根据题意选取合适的特殊值，如0、1、-1等，将其代入已知关系式中，通过整体代换求得只含有一个变量的表达式，即可得到fx的解析式.

例4.对任意x，y都有fx +y-fy= xx +2y +1，且 f1=0，求函数fx的解析式.

解：∵对任意x，y都有fx +y-fy=xx +2y +1，

∴令 x =1， y =0，

∴ f 0=f 1-2= -2，

設 y =0，得 f x -0-f 0=xx +0+ 1，

可得 f x=x2+x -2，

即函数 f x的解析式为 f x=x2+x -2.

令x =1、y =0，通过赋值并将其代入已知关系式中进行计算，便可分别求得 f0、f1，再令 y =0，便可根据 f0的值求得函数fx的解析式.

求函数解析式的技巧还有多，如采用代入法、换元、引入待定系数等，每种技巧的特点和适用题型各不相同.同学们在解题时要仔细研究已知关系式，明确其与 f x之间的联系，然后合理进行配凑、构造方程组、赋值，求得函数的解析式.

（作者单位：谢定亮，福建省三明第一中学;冯艳玲，福建省三明市第九中学）